มีอัลกอริทึมการประมาณค่าคงที่สำหรับปัญหาการระบายสีสี่เหลี่ยม 2 มิติหรือไม่?

ปัญหาที่เราพิจารณาที่นี่คือส่วนขยายของปัญหาการระบายสีช่วงเวลาที่รู้จักกันดี แทนที่จะเป็นช่วงเวลาเราพิจารณาสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกับแกน มีวัตถุประสงค์เพื่อระบายสีสี่เหลี่ยมโดยใช้จำนวนสีขั้นต่ำเช่นที่สี่เหลี่ยมสองอันใด ๆ ที่ทับซ้อนกันจะได้รับการกำหนดสีที่แตกต่างกัน

ปัญหานี้เป็นที่รู้กันว่า NP-hard Xin Han, Kazuo Iwama, Rolf Klein และ Andrezej Lingas (ประมาณชุดสูงสุดอิสระและการระบายสีจุดสุดยอดขั้นต่ำบนกราฟกล่อง) ให้การประมาณ O (log n) มีอัลกอริทึมการประมาณที่ดีกว่าหรือไม่?

เรารู้ว่าปัญหาการระบายสีช่วงเวลาได้รับการแก้ไขในเวลาพหุนามโดยอัลกอริทึมแบบพอดีโดยพิจารณาช่วงเวลาตามจุดสิ้นสุดด้านซ้าย อย่างไรก็ตามอัลกอริทึมแบบออนไลน์ที่เหมาะสมที่สุดคือ 8 การแข่งขันเมื่อช่วงเวลาปรากฏตามลำดับที่กำหนด

ประสิทธิภาพของอัลกอริทึมแบบพอดีสำหรับปัญหาการระบายสีสี่เหลี่ยมคืออะไร จะเกิดอะไรขึ้นกับอัลกอริทึมแบบพอดีเมื่อสี่เหลี่ยมปรากฏตามด้านซ้าย (แนวตั้ง)

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความช่วยเหลือในเรื่องนี้

ตามคำแนะนำของคำตอบอื่น ๆขอบล่างของ$\Omega(\log n)$ไม่ยากเกินไปที่จะมองเห็น ขอให้เรากวาดก้นด้วยเส้นแนวนอน แนวคิดคือการสร้างส่วนประกอบที่ต้องใช้สีจำนวนมากขึ้นและมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งให้$C(i)$เป็นอุปกรณ์ที่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านบนที่มีสี$i$ (กล่าวคือแบบแรกจะกำหนดให้สี$i$ ) เห็นได้ชัดว่า$C(1)$เป็นเพียงสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดียว ส่วนประกอบ$C(2)$คือ

โดยทั่วไปส่วนประกอบ$C(k)$เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มี$C(1), \ldots, C(k-1)$ห้อยอยู่ด้านล่าง:

ตอนนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าอัลกอริทึมพอดีครั้งแรกกับกวาดแนวนอนจากด้านล่างจะใช้$k$สีสี$C(k)$ ) อย่างไรก็ตามกราฟตัดของ$C(k)$เป็นเพียงต้นไม้และสามารถระบายสีได้$2$สี ตอนนี้$C(k)$เป็นเพียงต้นไม้ Fibonacci ในโครงสร้างและเช่นจำนวนโหนดในนั้นคือ$2^{O(k)}$ซึ่งหมายถึงช่องว่าง$\Omega( \log n )$

เนื่องจากมีอัลกอริทึมแบบง่ายที่ได้รับการประมาณ$O( \log n)$เพื่อระบายสีสี่เหลี่ยมมุมฉากนี่อาจจะแน่น ฉันไม่รู้

เท่าที่ฉันรู้มันไม่เป็นที่รู้จัก กระดาษเก่าของ Asplund และ Grunbaum (1960ish) แสดงให้เห็นว่าถ้าจำนวน clique เป็น 2 แล้วจำนวนรงค์เป็นอย่างมาก 6 (และนี่คือแน่น) ฉันคิดว่ามันควรจะง่ายกว่าที่จะหาตัวอย่างที่ช่องว่างสำหรับการฟิตครั้งแรกมีขนาดใหญ่กว่าค่าคงที่ใด ๆ เนื่องจากต้นไม้สามารถแสดงด้วยกราฟตัดของสี่เหลี่ยมและต้นไม้ต้องการสี logn โดยอัลกอริทึมออนไลน์

ฉันคิดว่ากระดาษ Asplund, Grunbaum หรือเอกสารอื่น ๆ ในภายหลังยังแสดงให้เห็นว่าจำนวนกราฟสีของการแยกเป็นจำนวนมากที่สุด O (k ^ 2) โดยที่ k คือขนาดของกลุ่มสูงสุด ... แต่ไม่มีใครรู้ ตัวอย่างที่ต้องการมากกว่าเชิงเส้นในจำนวนสี k