วิธีไม่สิ้นสุด

ฉันกำลังคิดถึงคำถามเหล่านี้:

แคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ออกมามีความสอดคล้องและทัวริงสมบูรณ์หรือไม่

/cs/65003/if-%CE%BB-xxx-has-a-type-then-is-the-type-system-inconsistent

และมีอยู่แล้วบางอย่างยากที่จะตอบคำถามที่เกี่ยวข้องกันในuntypedการตั้งค่า! โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันอยากรู้ว่าเราสามารถกู้ทัวริงสมบูรณ์จากการไม่เลิกด้วยวิธีต่อไปนี้:

คำถาม:ให้ (บริสุทธิ์) $\lambda$ -term $t$ โดยไม่มีรูปแบบปกติที่อ่อนแอ, มีcombinator แบบกำหนดจุดคงที่อยู่เสมอเช่นที่ $Y_t$
$Y_{t} (λ x . x) = t$ $Y_t\ (\lambda x.x) = t$

Equalities ทั้งหมดจะถูกนำโมดูโล $\beta\eta$ η

จริง ๆ แล้วฉันสงสัยว่าคำถามรุ่นนี้จะเป็นเท็จดังนั้นเราจึงสามารถผ่อนคลายคำถามนี้กับcombinators แบบวนซ้ำที่ซึ่ง combingator แบบวนลูป $Y$ ถูกกำหนดให้เป็นคำที่ใช้สำหรับทุก $f$

Y f = f (Y^{'} f)

$Y\ f=f\ (Y'\ f)$ โดยที่

Y^{'}

$Y'$ จำเป็นต้องมีอีกครั้งเพื่อเป็น combinator แบบวนซ้ำ ซึ่งเพียงพอสำหรับการกำหนดฟังก์ชั่นวนซ้ำตามปกติ

โดยทั่วไปฉันสนใจที่จะหาวิธี "ธรรมชาติ" ที่จะเปลี่ยนจากสิ้นสุด $t$ ไปยัง combinator แบบวนซ้ำแม้ว่าสมการข้างต้นจะไม่เป็นที่พอใจ

ฉันสนใจยังอยู่ในรุ่นที่ปรับตัวลดลงของคำถามข้างต้นเช่นอาจจะนำไปเป็นโปรแกรมที่กับแต่ละในรูปแบบปกติ ( แต่ผมไม่แน่ใจว่ามันจะช่วยให้) $t$ $t\equiv t_1\ t_2\ldots t_n$ $t_i$

ป่านฉะนี้: วิธีธรรมชาติคือการใช้และ "พริกไทย" ของตลอดเช่น $t$ $f$

Ω = (λ x . x x) (λ x . x x)

$\Omega:=(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

กลายเป็นปกติ

Y_{Ω} = λ ฉ . (λ x . ฉ (x x)) (λ x . ฉ (x x))

$Y_\Omega:= \lambda f.(\lambda x. f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$

มีแนวคิดที่จะลดหัวของจะเป็นโปรแกรมแลมบ์ดาและแทนที่ด้วยแต่ขั้นตอนต่อไปไม่ชัดเจน (และฉันสงสัยว่าสิ่งนี้จะนำไปสู่อะไรก็ได้) $t$ $\lambda x. t'$ $\lambda x.f\ t'$

ผมไม่แน่ใจว่าผมเข้าใจเพียงพอเกี่ยวกับต้นไม้Böhmเพื่อดูว่าพวกเขามีอะไรจะพูด แต่ผมขอสงสัยมันตั้งแต่ 's ต้นไม้Böhmเป็นเพียงซึ่งมีลักษณะอะไรที่เหมือนกับหนึ่งสำหรับ : ต้นไม้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ นามธรรม $\Omega$ $\bot$ $Y_\Omega$

แก้ไข : เพื่อนของฉันตั้งข้อสังเกตว่าวิธีการไร้เดียงสานี้ไม่ทำงานกับคำว่า: แนวทางไร้เดียงสาจะให้ แต่นี่ไม่ใช่ combinator จุดคงที่! สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้โดยแทนที่แอปพลิเคชันที่สองของโดย

(λ x . x x x) (λ x . x x x)

$(\lambda x.x\ x\ x)(\lambda x.x\ x\ x)$

(λ x . f (x x x)) (λ x . f (x x x))

$(\lambda x.f\ (x\ x\ x))(\lambda x.f\ (x\ x\ x))$

f

$f$

แต่แล้ว

ไม่ได้ให้คำดั้งเดิม ไม่ชัดเจนว่าคำนี้เป็นตัวอย่างที่ตรงกันข้ามกับคำถามเดิมหรือไม่

λ y z . f y

$\lambda y z.f\ y$

f \mapsto I

$f\mapsto \mathrm{I}$

lambda-calculus combinatory-logic

— Cody
แหล่งที่มา

ฉันเชื่อว่าความต้องการที่ไม่มีรูปแบบปกติหัวควรมีความเข้มแข็งที่จะยกเว้นรูปแบบปกติหัวอ่อนแอ ถ้า t สามารถสร้างแลมบ์ดาได้เนื่องจากในตำแหน่งหัวคุณมักจะมี combpoint ที่มี fixpoint (เริ่มต้นด้วย f = id) แลมบ์ดานั้นควรจะสร้างขึ้นโดยที่ไม่สามารถทำได้

— Andrea Asperti

@AndreaAsperti คุณถูกต้องแน่นอน ฉันจะแก้ไขคำถาม

— ดี้

มีหลายแง่มุมสำหรับคำถามที่ดีมากดังนั้นฉันจะจัดโครงสร้างคำตอบนี้ $\newcommand{\setof}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\thra}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\codeof}[1]{\lceil #1 \rceil}$

1. คำตอบของคำถามชนิดบรรจุกล่องเป็นไม่มี คำที่เพื่อนของคุณแนะนำนั้นเป็นตัวอย่างที่แท้จริง $\Omega_3 = (\lambda x.xxx)(\lambda x.xxx)$

ก่อนหน้านี้พบว่าในความคิดเห็นที่มีตัวอย่างเช่น "ogre" จนกระทั่งคำถามถูก จำกัด โดยไม่มีเงื่อนไขแบบหัวปกติอ่อนแอ ข้อตกลงดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันเป็นแง่ศูนย์ เหล่านี้เป็นคำที่ไม่เคยลดลงไปแลมบ์ดาภายใต้การทดแทนใด ๆ $K^\infty=Y K$

สำหรับ combinator จุดคงที่ใด ๆ (fpc) , เป็นคำที่เรียกว่าใบ้ (AKA "root-active"): ลดความมันทุกครั้ง $Y$ $Y I$

ไม่ได้เป็นใบ้ ไม่ใช่ $K^\infty$ $\Omega_3$ $-$ ตามที่ประจักษ์โดยการตรวจสอบชุดของ reducts ซึ่งเป็น

{Ω_{3} \underset{k}{\underset{⏟}{(λ x . x x x) \dots (λ x . x x x)}} ∣ k \in N}

$\setof{\Omega_3 \underbrace{(\lambda x. xxx) \cdots (\lambda x. xxx)}_k \mid k \in \mathbb{N}}$

แทนที่จะให้โต้แย้งได้อย่างแม่นยำว่าทำไมเป็นใบ้สำหรับ FPCs ทั้งหมด (ที่จริงสำหรับ Combinator ใด ๆ บ่วง) ซึ่งอาจจะลำบากพอยังหวังที่ชัดเจนฉันจะรักษาทั่วไปที่เห็นได้ชัดของคำถามของคุณ จำกัด กับข้อตกลงการปิดเสียงได้เป็นอย่างดี $Y I$ $Y$ $-$ $-$

เงื่อนไขการปิดเสียงเป็นคลาสย่อยของคำศูนย์ซึ่งเป็นคลาสย่อยของคำที่ไม่สามารถแก้ไขได้ สิ่งเหล่านี้อาจเป็นทางเลือกยอดนิยมสำหรับแนวคิด "ไร้ความหมาย" หรือ "ไม่ได้กำหนด" ในแลมบ์ดาแคลคูลัสซึ่งสอดคล้องกับ Berarducci เล็ก ๆ น้อย ๆ Levy-Longo และ B \ "โอห์มต้นไม้ตามลำดับ ได้รับการวิเคราะห์ในรายละเอียดโดย Paula Severi และ Fer-Jan de Vries [1] เงื่อนไขการปิดเสียงประกอบด้วยองค์ประกอบด้านล่างในตาข่ายนี้คือความคิดที่ จำกัด มากที่สุดของ "undefined"

2. Let เป็นคำใบ้และเป็น Combinator บ่วงกับอสังหาริมทรัพย์ว่า M $M$ $Y$ $YI = M$

ครั้งแรกที่เรายืนยันว่าสำหรับตัวแปรสด , จริงดูเหมือนมากเช่นที่คุณอธิบายได้โดยการ "โปรยรอบ" reduct บางM $z$ $Yz$ $Y_M$ $z$ $M$

โดย Church-Rosser, และมีการลดซ้ำทั่วไป, ใช้เวลาการลดมาตรฐาน 'ทุก ๆ เทอมของ $YI$ $M$ $M'$ $R : YI \thra_s M'$ $M'$ สอดคล้องกับเทอมเฉพาะของภายใต้การลดลงนี้ สำหรับคำใด ๆ , ปัจจัยเป็น $YI\equiv Yz[z:=I]$ $C[N]=M'$ $R$ โดยที่ขากลางคือการลดส่วนหัวที่อ่อนแอ (และขาสุดท้ายคือภายใน) คือ "รักษา" โดย IFF สองขานี้สัญญา Redex บางกับลูกหลานของลียน ] $YI \thra C[N_0] \thra_{wh} C[N_1] \thra_i C[N]$ $N$ $z$ $I P$ $I$ $[z:=I]$

เห็นได้ชัดว่าต้องปกป้องเทอมบางส่วนของไม่เช่นนั้นมันจะเป็นใบ้เช่นกัน ในทางกลับกันมันจะต้องระมัดระวังไม่ให้ปกป้อง subterms เหล่านั้นที่จำเป็นสำหรับการไม่สิ้นสุดมิฉะนั้นมันไม่สามารถพัฒนาต้นไม้ B \ "โอห์มที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ combinator วนรอบได้ $Y$ $M$

ดังนั้นจึงพอเพียงที่จะหาคำใบ้ที่ทุก ๆ เทอมของ reduct เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการทำให้เป็นมาตรฐานไม่ใช่ - ในแง่ที่ว่าวางตัวแปรหน้าเทอร์มิชชั่นนั้นทำให้เทอม normalizing

พิจารณาที่ Wนี้เป็นเหมือนแต่ในทุกย้ำเราตรวจสอบว่าการเกิดขึ้นของในตำแหน่งที่โต้แย้งไม่ได้เป็น "บล็อก" โดยตัวแปรหัวโดยการให้อาหารมันตัวตน ใส่ $\Psi = W W$ $W = \lambda w. w I w w$ $\Omega$ $W$ $z$ ไว้ด้านหน้าของเทอร์มินอลใด ๆ ในที่สุดจะให้รูปแบบปกติของรูปร่างโดยที่แต่ละอันคือ , หรือ " -sprinkling" ของสิ่งเหล่านี้ ดังนั้น $zP_1\cdots P_k$ $P_i$ $I$ $W$ $z$ $\Psi$ เป็นตัวอย่างของคำถามทั่วไป

ทฤษฎีบท. ไม่มี Combinator วนลูปเป็นดังกล่าวว่า Ψ $Y$ $YI = \Psi$

หลักฐาน ชุดของ reducts ทั้งหมดของเป็น }เพื่อให้สามารถแปลงสภาพได้ด้วย , ต้องลดให้เหลือหนึ่งในนี้ อาร์กิวเมนต์นั้นเหมือนกันในทุกกรณี สำหรับรูปธรรมสมมติว่า W $\Psi$ $\setof{WW,WIWW,IIIIWW,IIIWW,IIWW,IWW}$ $\Psi$ $YI$ $YI \thra IIWW$

ใด ๆ ลดมาตรฐานสามารถเอาเรื่องเป็น $YI \thra_s IIWW$

\begin{aligned} Y I ↠_{w} P N_{4}, P ↠_{w} Q N_{3}, Q ↠_{w} N_{1} N_{2}, thus Y I ↠_{w} N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} \\ N_{1} ↠ I, N_{2} ↠ I, N_{3} ↠ W, N_{4} ↠ W \end{aligned}

$\begin{align*} YI \thra_w P N_4, P \thra_w Q N_3, Q \thra_w N_1 N_2, \text{thus } YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4\\ N_1 \thra I, N_2 \thra I, N_3 \thra W, N_4 \thra W \end{align*}$

ให้เราหมายถึงการลดเป็นและการลดราคาเริ่มต้นที่เป็นฉัน $YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4$ $R_0$ $N_i$ $R_i$

การลดลงนี้สามารถยกขึ้นทดแทนเพื่อให้ได้ ดังนั้น $[z:=I]$

\begin{aligned} R_{0}^{z} : Y z ↠ z^{k} (M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}) \\ N_{i} \equiv M_{i} [z := I] \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_0 : Yz \thra z^k(M_1 M_2 M_3 M_4)\\ N_i \equiv M_i[z:=I] \end{align*}$

R_{0}

$R_0$ คือองค์ประกอบ

Y I \overset{R_{0}^{z} [z := I]}{↠} I^{k} (N_{1} \dots N_{4}) ↠_{w}^{k} N_{1} \dots N_{4}

$YI \stackrel{R^z_0[z:=I]}{\thra} I^k(N_1 \cdots N_4) \thra^k_w N_1 \cdots N_4$

$R_i : N_i \thra N \in \setof{I,W}$

\begin{aligned} R_{i}^{z} : M_{i} ↠ N_{i}^{z} \\ R_{i} : N_{i} \overset{R_{i}^{z} [z := I]}{↠} N_{i}^{z} [z := I] ↠_{I} N \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_i : M_i \thra N^z_i\\ R_i : N_i \stackrel{R^z_i[z:=I]}{\thra} N^z_i[z:=I] \thra_I N \end{align*}$

$R_i$ $I$ $N^z_i[z:=I]$ $N$ $N^z_i$

$N^z_i$ $z$ $N$ $z$ $N$ $N \in \setof{I,W}$ $N^z_i$

\begin{aligned} z^{k_{1}} (λ x . z^{k_{2}} (x)) \\ z^{k_{1}} (λ w . z^{k_{2}} (z^{k_{3}} (z^{k_{5}} (z^{k_{7}} (w) z^{k_{8}} (λ x . z^{k_{9}} (x))) z^{k_{6}} (w)) z^{k_{4}} (w))) \end{aligned}

$\begin{align*} &z^{k_1}(\lambda x. z^{k_2}(x))\\ &z^{k_1}(\lambda w. z^{k_2}( z^{k_3}( z^{k_5}( z^{k_7}(w) z^{k_8}(\lambda x. z^{k_9}(x)) ) z^{k_6}(w) ) z^{k_4}(w) )) \end{align*}$

$M_1 M_2 M_3 M_4 \thra N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ $N^z_i$ $z$ $I$ $i =1,2$ $W$ $i=3,4$

$N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ should yet reduce to yield the infinite fpc Bohm tree $z(z(z(\cdots)))$ . So there must exist a "sprinkle" $z^{k_j}$ in one of the $N^z_i$ which comes infinitely often to the head of the term, yet does not block further reductions of it.

And now we are done. By inspecting each $N^z_i$ , for $i \le 4$ , and each possible value of $k_j$ , for $j \le 2+7\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor$ , we find that no such sprinkling exists.

For example, if we modify the last $W$ in $IIWW$ as $W^z = \lambda w. z(wIww)$ , then we get the normalizing reduction

I I W W^{z} \to I W W^{z} \to W W^{z} \to W^{z} I W^{z} W^{z} \to z (I I I I) W^{z} W^{z} ↠ z I W^{z} W^{z}

$IIWW^z \to I W W^z \to WW^z \to W^z I W^z W^z \to z (I I I I) W^z W^z \thra z I W^z W^z$

(Notice that $\Omega$ admits such a sprinkling precisely because a certain subterm of it can be "guarded" without affecting non-normalization. The variable comes in head position, but enough redexes remain below.)

3. The "sprinkling transformation" has other uses. For example, by placing $z$ in front of every redex in $M$ , we obtain a term $N = \lambda z. M_z$ which is a normal form, yet satisfies the equation $N I = M$ . This was used by Statman in [2], for example.

4. Alternatively, if you relax the requirement that $Y I = M$ , you can find various (weak) fpcs $Y$ which simulate the reduction of $M$ , while outputting a chain of $z$ s along the way. I am not sure this would answer your general question, but there are certainly a number of (computable) transformations $M \mapsto Y_M$ which output looping combinators for every mute $M$ , in such a way that the reduction graph of $Y_M$ is structurally similar to that of $M$ . For example, one can write

Y ⌈ M ⌉ z = {\begin{cases} z (Y ⌈ P [x := Q] ⌉ z) & M \equiv (λ x . P) Q \\ Y ⌈ N ⌉ z & M is not a redex and M \to_{w h} N \end{cases}

$Y \codeof{M} z = \begin{cases} z (Y \codeof{P[x:=Q]} z) &M\equiv (\lambda x.P)Q\\ Y \codeof{N} z &M \text{ is not a redex and }M \to_{wh} N \end{cases}$

[1] Severi P., de Vries FJ. (2011) Decomposing the Lattice of Meaningless Sets in the Infinitary Lambda Calculus. In: Beklemishev L.D., de Queiroz R. (eds) Logic, Language, Information and Computation. WoLLIC 2011. Lecture Notes in Computer Science, vol 6642.

[2] Richard Statman. There is no hyperrecurrent S,K combinator. Research Report 91–133, Department of Mathematics, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, 1991.

— Andrew Polonsky
แหล่งที่มา

This answer is great, and I will likely accept it. However, I'm not sure what the actual theorems you are describing, other than "there is no looping combinator

Y

$Y$ such that

Y I = Ω_{3}

$Y\ I=\Omega_3$ ". I think stating the theorems separately will make the arguments much easier to follow.

— cody

Good point. I just updated the answer.

— Andrew Polonsky