Kolmogorov มีความซับซ้อนของตารางความจริงของปัญหาการหยุดชะงักหรือไม่

Letแสดงสตริงของความยาวสอดคล้องกับตารางความจริงของลังเลปัญหาปัจจัยการผลิตที่มีความยาวn$HALT_n$$2^n$$n$

หากลำดับของความซับซ้อนของ Kolmogorov$K(HALT_n)$เป็น$O(1)$จากนั้นหนึ่งในสตริงคำแนะนำจะถูกใช้อย่างไม่ จำกัด บ่อยครั้งและ TM ที่มีสตริงฮาร์ดโค้ดนั้นจะสามารถแก้ไขได้ $HALT$ สม่ำเสมออย่างไม่สิ้นสุดซึ่งเรารู้ว่ามันไม่ใช่อย่างนั้น

การตรวจสอบอย่างใกล้ชิดของการโต้แย้งในแนวทแยงแสดงให้เห็นว่าจริง ๆ แล้ว $K(HALT_n)$ อย่างน้อยก็ $n - \omega (1)$ดังนั้นเมื่อรวมกับขอบเขตบนเล็กน้อยเรามี:

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

ขอบเขตล่างนี้ถูกบันทึกไว้ในบทนำของกระดาษล่าสุดของ Fortnow และ Santhanam `` ขอบเขตล่างแบบไม่สม่ำเสมอใหม่สำหรับคลาสความซับซ้อนของชุดเครื่องแบบ ''และพวกเขาบอกว่ามันเป็นนิทานพื้นบ้าน โดยทั่วไปถ้าสตริงคำแนะนำสั้นกว่าความยาวของอินพุตเราก็สามารถทำแนวทแยงมุมกับเครื่องได้มากที่สุด

(แก้ไข: จริง ๆ แล้วในบทความก่อนหน้านี้พวกเขาอ้างว่าเป็นนิทานพื้นบ้านฉันเดาว่าตอนนี้พวกเขาเพิ่งพูดว่าเป็นการดัดแปลงของ Hartmanis และ Stearns)

ที่จริงแล้วในบทความนั้นพวกเขาเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลาและพวกเขาระบุสิ่งต่าง ๆ ที่สัมพันธ์กับทรัพยากรที่ถูกผูกไว้ $t$ขั้นตอนเวลามากกว่าความซับซ้อนของ Kolmogorov ที่ไม่ จำกัด แต่หลักฐานของผลลัพธ์ของ `` คติชนวิทยา 'นั้นเหมือนกันในกรณีที่ไม่ถูก จำกัด

หนึ่งในเหตุผลที่พวกเขาสนใจเกี่ยวกับขอบเขตที่ต่ำกว่าคำแนะนำก็คือมันเชื่อมต่อกับวงจรที่ต่ำกว่าขอบเขตและ derandomization ในกระบวนทัศน์ `` ความแข็งเทียบกับการสุ่ม '' ตัวอย่างเช่นหากปัญหาที่ยอมรับได้สามารถแก้ไขได้ทันเวลา$2^n$ มีตารางความจริงที่ต้องการคำแนะนำ $2^{\epsilon n}$ เพื่อให้สามารถคำนวณได้ทันเวลา $2^{\epsilon n}$แล้วตารางความจริงเหล่านั้นไม่มีวงจรขนาด $2^{\epsilon n}$ เช่นกัน $P = BPP$ โดยผลลัพธ์ที่โด่งดังของ Impagliazzo และ Wigderson

ถามเกี่ยวกับ $K(HALT_n)$ instead doesn't have any such applications afaik, but it might be easier to resolve. It's also easier to state, lacking any dependence on a time bound parameter -- it's a rather natural problem which might already have been studied.

Are there any better lower or upper bounds on $K(HALT_n)$ known besides the ``folklore'' result? Is either of the lower or upper bounds above tight?

Note: There is another nice post about the circuit complexity of the halting problem, which can be seen to be nearly maximal by an argument sketched by Emil Jerabek here: /mathpro/115275/non-uniform-complexity-of-the-halting-problem

Basically, it uses a trick where we can compute (with random access) the lexicographically first truth table of (large) circuit complexity within the class $E^{NP^{NP}}$. And we can reduce this computation to a query to the halting problem, and this reduction has low circuit complexity. So, $HALT$ must have large circuit complexity -- if it didn't then this function would have low complexity also.

Although it seems related, I don't think this argument gives anything for $K(HALT_n)$. (It could be that the time-bounded Kolmogorov complexity of $HALT$ is large, as implied by the circuit complexity bound, but as the time restriction is relaxed the complexity drops off dramatically.) I think the analogous argument shows that, if we had an oracle to the halting problem, then we could support random-access queries to the lexicographically first incompressible string. But, we must make a series of adaptive queries, and this can't be reduced directly to $HALT$ as far as I know. Also, the query strings must be exponentially large afaik, so it ends up showing only that $HALT_{2^n}$ has complexity at least $2^n$ afaict, and this doesn't beat the ``folklore'' argument.

My background in Kolmogorov complexity is rather weak unfortunately, is $K(HALT_n)$ already known by some other argument? Perhaps there's a trick using Symmetry of Information?

Or, is there a better upper bound that I've missed?

One thing that may seem odd is that, switching back to the $DTIME$ setting, we only expect to get an advice lower bound when we reduce the time below the naive algorithm. When you have enough time to run the naive algorithm, then obviously it is compressible. In the case of $K(HALT_n)$, there's no time bound at all, so perhaps we have ``the same'' amount of time as the adversary, and shouldn't expect it to be maximally incompressible. Nevertheless, diagonalization works in the unrestricted setting too -- it seems that for any machine, there's a machine that does the same thing as that machine and then does something else, so there's always someone who has more time than you do. So perhaps the adversary always has more time than us after all...

Hmm, turns out there's actually an matching upper bound that isn't too hard:

To produce the truth table $HALT_n$ in a finite amount of time, the only information that is needed is the number of machines of description length at most $n$ which halt. This number is not more than $2^{n}$, so it can be represented with about $n$ bits. Then we can start all such machines in parallel and run them until so many of them halt, and the remainder are known not to be halting.

So, I guess the folklore argument is tight here. We have

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

and $K(HALT_n)$ is only well-defined up to additive $O(1)$ anyways, depending on our choice of universal Turing machine.

N.B.: As a cute bonus, this proof shows that the $n$-bit string corresponding to the number of machines of description length at most $n$ which halt is an incompressible string -- if it were compressible, then the upper bound here would be tighter, contradicting the lower bound.