PPAD จับภาพแนวคิดของการค้นหาจุดสุดยอดที่ไม่สมดุลย์อีกหรือไม่?

ความซับซ้อนระดับPPADถูกคิดค้นโดย Christos Papadimitriou ในน้ำเชื้อ 1994 เขากระดาษ ชั้นถูกออกแบบมาเพื่อจับภาพความซับซ้อนของปัญหาการค้นหาที่รับประกันการมีอยู่ของ "อาร์กิวเมนต์ Parity ในกราฟกำกับ": หากมีจุดสุดยอดที่ไม่สมดุลในกราฟกำกับแล้วต้องมีอีกหนึ่ง แต่โดยปกติแล้วคลาสจะมีการกำหนดอย่างเป็นทางการในแง่ของ ( ) ปัญหาซึ่งอาร์กิวเมนต์จะถูกนำไปใช้กับกราฟที่มีทั้งในและนอกเวลา . คำถามของฉันคือ: ทำไมความคิดเหล่านี้จึงเท่ากัน?E O L ≤ $\mathsf{ANOTHER\ END\ OF\ THE\ LINE}$$\mathsf{AEOL}$$\le 1$

ถึงจุดนี้มันซ้ำซ้อนของคำถามนี้ ตอนนี้ฉันต้องการที่จะระบุปัญหาอย่างเป็นทางการและเพื่อชี้แจงว่าทำไมฉันไม่พอใจกับคำตอบที่นั่น

ค้นหาปัญหา ( ): เราได้รับวงจรขนาดพหุนามสองและที่รับและส่งกลับรายการพหุนาม องค์ประกอบอื่น ๆ ใน n วงจรเหล่านี้กำหนดกราฟกำกับโดยที่และ(y)) ปัญหาการค้นหามีดังต่อไปนี้: กำหนด ,และเช่นที่ , หาจุดสุดยอดอีกอันที่มีคุณสมบัติเดียวกัน$\mathsf{ANOTHER\ UNBALANCED\ VERTEX}$$\mathsf{AUV}$$S$$P$$x\in\{0,1\}^n$$\{0,1\}^n$$G=(V,E)$$V=\{0,1\}^n$$(x,y)\in E\Leftrightarrow (y\in S(x)\land x\in P(y))$$S$$P$$z\in V$$indegree(z)\ne outdegree(z)$

ค้นหาปัญหา : เหมือนกัน แต่ทั้งและส่งคืนรายการว่างหรือองค์ประกอบเดียว$\mathsf{AEOL}$$S$$P$

ความคิดของ reducibility (แก้ไขตามคำแนะนำของ Ricky): ปัญหาการค้นหาทั้งหมดสามารถลดปัญหาการค้นหาทั้งหมดผ่านฟังก์ชันพหุนามและถ้าเป็นคำตอบของในปัญหาหมายถึงคือ วิธีการแก้ในปัญหา$A$$B$$f$$g$$y$$f(x)$$B$$g(x,y)$$x$$A$

คำถามทางการ : ทำไมให้เหลือคืออะไร? หรือเราควรใช้ความคิดของการลดความรู้สึกอื่น?$\mathsf{AUV}$$\mathsf{AEOL}$

Christos Papadimitriou พิสูจน์ทฤษฎีบทคล้ายเกี่ยวกับสัญญาซื้อขายไฟฟ้า (ทฤษฎีบท 1, หน้า 505) แต่อาร์กิวเมนต์ดูเหมือนจะไม่ทำงานPPAD เหตุผลก็คือว่าจุดสุดยอดที่มีความสมดุลการศึกษาระดับปริญญาจะกลายเป็นจุดที่มีความสมดุลการศึกษาระดับปริญญา\จากนั้นอัลกอริทึมสำหรับอาจได้หนึ่งในจุดยอดเหล่านี้และส่งคืนอีกหนึ่ง นี้จะไม่ทำให้ยอดใหม่สำหรับ{}k ± 1 A E O L A U $\pm k$$k$$\pm1$$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$

สิ่งต่าง ๆ กำลังแย่ลงเพราะในมีจำนวนจุดยอดที่ไม่สมดุลเสมอไป แต่ในอาจมีจำนวนคี่ นี่คือสาเหตุที่เราไม่สามารถสร้าง bijection ระหว่างชุดทั้งสองนี้และอาจไม่เท่ากับเสมอ ถ้าเราจะได้วิธีการแก้ในพหุนามเวลาอย่างน้อยในบางกรณี หากไม่ขึ้นอยู่กับและสำหรับแล้วอาจจะกลับมาเป็นคำตอบสำหรับy_1ที่จะไม่ให้ทางออกสำหรับA U V g f - 1 g ( x , f ( x ) ) ≠ x A U V g x g ( y 1 ) = g ( y 2 ) y 1 ≠ y 2 y 2 y 2 y 1 A U $\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$$g$$f^{-1}$$g(x,f(x))\ne x$$\mathsf{AUV}$$g$$x$$g(y_1)=g(y_2)$$y_1\ne y_2$$y_2$$y_1$$\mathsf{AUV}${}

คำถามสุดท้าย : อุปสรรคที่ปรากฏด้านบนสามารถเอาชนะได้หรือไม่? เราสามารถใช้การพึ่งพาบนหรือไม่?$g$$x$

ปัญหาที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นเทียบเท่า (และ PPAD สมบูรณ์) ให้ดูที่มาตรา 8 ในการขนปัญหา Ball เป็น PPAD สมบูรณ์โดยพอลดับบลิวโกลด์เบิร์กและอเล็กซาน Hollender

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจและฉันสามารถให้คำตอบเพียงบางส่วนเท่านั้น

มันง่ายที่จะเห็นว่าการก่อสร้างใน p Papadimitriou 505 ของกระดาษแสดงความเท่าเทียมกันของAUVกับกรณีพิเศษ

สิ้นสุดหลายบรรทัด (MEOL):ให้กราฟกำกับมีองศาในและนอกองศาไม่เกิน (แสดงโดยวงจรตามข้างบน) และชุดของแหล่งที่มาของจำกัด หาอ่างล้างหน้าหรือแหล่งX1 X G v ∉ $G$$1$$X$$G$$v\notin X$

ในอีกด้านหนึ่งฉันพบว่ามันยากที่จะจินตนาการถึงการเปลี่ยนแปลงของกราฟดังกล่าวที่สามารถลดจำนวนแหล่งที่มาลงเป็นจำนวนมากได้

อย่างไรก็ตามในทางตรงกันข้ามMEOLเป็นของทุกชั้นเรียนที่มีการศึกษาโดยทั่วไปที่มีPPADยกเว้นPPADเอง:

ก่อนอื่น

MEOLอยู่ในPPADS

ฉันจะร่างใต้อาร์กิวเมนต์ที่

MEOLอยู่ในPPA

โดยการลดปัญหามาตรฐานที่สมบูรณ์แบบของPPA (เวอร์ชั่นAEOL ที่ไม่ได้บอกทิศทาง) สมมติว่าเราได้รับและตามคำจำกัดความของ MEOL$G=(V,E)$$X$

ถ้าแปลกเราสามารถสร้างกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางรวมการจับคู่ทั้งหมด แต่หนึ่งจุดยอดจาก (ดังในอาร์กิวเมนต์ที่หน้า 505) และส่งผ่านผลลัพธ์พร้อมกับแหล่งที่เหลือจากไปยังPPA oracleX $|X|$$X$$X$

โดยทั่วไปให้และเป็นพลังงานที่ใหญ่ที่สุดของที่แบ่งsเรากำหนดกราฟใหม่จุดที่มีย่อยองค์ประกอบของVถ้าเป็นชุดเราวางขอบในถ้าเราสามารถระบุเซตเป็น ,ในลักษณะที่สำหรับแต่ละ k$s=|X|$$2^k$$2$$s$$G'=(V',E')$$2^k$$V$$A,B\in V'$$(A,B)$$E'$$A=\{a_0,\dots,a_{2^k-1}\}$( a i , b i )∈Ei< 2 $B=\{b_0,\dots,b_{2^k-1}\}$$(a_i,b_i)\in E$$i<2^k$

เห็นได้ชัดว่าเป็นกราฟที่มีในองศาและออกระดับที่มากที่สุด1เป็นแหล่ง (อ่าง) IFF จะมีแหล่งที่มา (อ่าง, resp.) ของG(นั่นคือถ้ามันมีทั้งคู่มันเป็นจุดสุดยอดที่แยกได้) ดังนั้นจุดสุดยอดใด ๆ นั้นจะนำไปสู่การแก้ปัญหาของอินสแตนซ์MEOLยกเว้นว่าคือ "แหล่งที่รู้จัก": นั่นคือvarnothing เราตั้งใจที่จะทำให้กราฟไม่ถูกบอกทิศทางและจัดการมันเพื่อลดจำนวนของแหล่งที่รู้จักให้เหลือเพียงโดยรวมการจับคู่กับแหล่งที่เหลือ 1 A ∈ V ′ G A A ∩ X ≠ ∅ $G'$$1$$A\in V'$$G$$A$$A\cap X\ne\varnothing$$1$

ดังนั้นถ้าเป็นแหล่งที่รู้จักกันให้ซึ่งตอบสนอง k ถ้าแล้วก็X จำนวนของชุดดังกล่าวเป็นk} จำได้ว่าหลายหลากของนายกในเท่ากับจำนวนของอุ้มในนอกจากดำเนินการในฐานPโดยการเลือกมันจะตามมาว่าแปลก ยิ่งไปกว่านั้นมี bijections เวลาพหุนามระหว่างและองค์ประกอบย่อยของt = | A ∩ X | 0 < t ≤ 2 k t = 2 k = | A | ($A$$t=|A\cap X|$$0<t\le2^k$$t=2^k=|A|$$A\subseteq X$p($\binom{s}{2^k}$$p$$\binom ab$$b+(a-b)=a$$p$$k$$\binom{s}{2^k}$$[0,\binom ab)$$b$$[0,a)$. ใช้นี้เราสามารถกำหนดจับคู่พหุนามเวลาในทุก แต่หนึ่งในย่อยองค์ประกอบของXเรารวมไว้ในกราฟซึ่งจะช่วยลดจำนวนแหล่งที่รู้จักกันกับไป1$2^k$$X$$t=2^k$$1$

สำหรับสูตรการแสดงว่าเป็นคู่ อีกครั้งที่เราสามารถหาที่ตรงกันอย่างชัดเจนบนย่อยองค์ประกอบของXเราขยายไปยังแหล่งที่รู้จักพร้อมโดยใช้การจับคู่กับและปล่อยให้คงที่$0<t<2^k$$\binom st$$t$$X$$A$$|A\cap X|=t$$A\cap X$$A\smallsetminus X$

ด้วยวิธีนี้เราสร้างกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางด้วยจุดสุดยอดของใบไม้ที่รู้จัก เราขอPPA oracle สำหรับใบไม้อีกใบและจากการก่อสร้างเราสามารถแยกคำตอบสำหรับตัวอย่างMEOL

ในฐานะที่เป็นเวลาสั้น ๆ ที่กล่าวถึงโดย Papadimitriou เราสามารถคุยPPAเรียนPPA -สำหรับสำคัญ ๆหน้าตัวอย่างของปัญหาที่สมบูรณ์แบบของPPA -คือ$p$$p$$p$

AUV - : จากกราฟกำกับและจุดยอดที่มียอดดุลเท่ากับให้หาจุดยอดดังกล่าวอีกอัน$p$$G$${}\not\equiv0\pmod p$

(ดูคำตอบนี้สำหรับความเท่าเทียมของAUV -กับคำจำกัดความของPPA - . Papadimitriou )$p$$p$

PPA -เป็นเพียงPPA เรียนPPA -จะถือว่าเป็นที่เปรียบมิได้คู่และที่เปรียบมิได้มีPPADS พวกเขาทั้งหมดรวมPPAD$2$$p$

ไม่มีอะไรพิเศษเป็นพิเศษเกี่ยวกับในการโต้แย้งที่ฉันระบุไว้ข้างต้นและสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายเพื่อให้ได้ผล$p=2$

MEOLอยู่ในPPA -ทุกนายกพี$p$$p$