ทฤษฎีบทของ Adleman เกี่ยวกับเซมินารีไม่สิ้นสุด

Adleman ได้แสดงในปี 1978 ว่า : ถ้าฟังก์ชันบูลีนของตัวแปรสามารถคำนวณได้โดยวงจรบูบูลีนน่าจะเป็นขนาดจากนั้นสามารถคำนวณได้โดยการกำหนด บูลีนวงจรของขนาดพหุนามในและ ; จริงขนาด(NM) $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$$f$$n$$M$$f$$M$$n$$O(nM)$

คำถามทั่วไป:กว่าสิ่งอื่น ๆ (กว่าบูล) semirings ไม่ถือ? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

เพื่อให้มีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้นความน่าจะเป็นวงจร เหนือ semiringใช้การดำเนินการ "การเพิ่ม"และ "การคูณ ''เป็นประตู . อินพุตคือตัวแปรอินพุตและอาจมีตัวแปรสุ่มเพิ่มเติมจำนวนหนึ่งซึ่งรับค่าและ อย่างอิสระโดยมีความน่าจะเป็นและนี่คือ และตามลำดับตัวบ่งชี้การบวกและการคูณของ semiring . วงจรดังกล่าวคำนวณฟังก์ชันที่กำหนด$\mathsf{C}$$(S,+,\cdot,0,1)$$(+)$$(\cdot)$$x_1,\ldots,x_n$$0$$1$$1/2$$0$$1$$\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$ถ้าทุก ,2/3 $x\in S^n$$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3$

ฟังก์ชั่นการออกเสียงลงคะแนน ของตัวแปรที่เป็นฟังก์ชั่นบางส่วนที่มีค่าถ้าองค์ประกอบปรากฏมากกว่าครั้งในหมู่และจะไม่ได้กำหนด หากไม่มีองค์ประกอบเช่นมีอยู่ แอปพลิเคชันอย่างง่ายของ Chernoff และขอบเขตของสหภาพให้ผลตอบแทนดังนี้$\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)$$m$$y$$y$$m/2$$y_1,\ldots,y_m$$y$

เสียงข้างมากเคล็ดลับ:ถ้าเป็นไปได้วงจรคำนวณฟังก์ชั่นบนขอบเขต จำกัด ,รับของเช่นว่าถือสำหรับทุกx $\mathsf{C}$$f:S^n\to S$$X\subseteq S^n$$m=O(\log|X|)$$C_1,\ldots,C_m$$\mathsf{C}$$f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))$$x\in X$

จากการบูลีน semiring ฟังก์ชั่นการโหวตเป็นฟังก์ชั่นส่วนใหญ่และมีวงจรขนาดเล็ก (แม้แต่เสียงเดียว) ดังนั้นทฤษฎีบทของ Adleman ดังต่อไปนี้โดยการ n $\mathrm{Maj}$$X=\{0,1\}^n$

แต่สิ่งที่เกี่ยวกับ semirings อื่น ๆ (โดยเฉพาะอนันต์) สิ่งที่เกี่ยวกับเลขคณิต semiring (ด้วยนอกจากนี้ตามปกติและการคูณ)?$(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$

คำถามที่ 1:ไม่ถือมากกว่า semiring เลขคณิต? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

แม้ว่าฉันจะเดิมพันเพื่อ "ใช่" แต่ฉันไม่สามารถแสดงได้

หมายเหตุ:ผมตระหนักถึงเรื่องนี้กระดาษที่ผู้เขียนเรียกร้องกว่าสนามจริง0,1) พวกเขาจัดการกับวงจรเลขคณิตแบบไม่ใช้เสียงเดียวและมาถึง (ในทฤษฎีบท 4) ไปยังวงจรที่มีฟังก์ชันการลงคะแนนเป็นประตูทางออก แต่จะจำลองอย่างไรโดยวงจรเลขคณิต (ไม่ว่าจะเป็นเสียงเดียวหรือไม่)? เช่นวิธีการรับผลของพวกเขา 3 ( R , + , ⋅ , 0 , 1 $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$$(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$M a $\mathrm{Maj}$$\mathrm{Maj}$

อันที่จริงแล้วข้อโต้แย้งง่ายๆดังต่อไปนี้ที่บอกฉันโดย Sergey Gashkov (จากมหาวิทยาลัยมอสโก) ดูเหมือนว่าเป็นไปไม่ได้ (อย่างน้อยสำหรับวงจรที่สามารถคำนวณได้เฉพาะพหุนามเท่านั้น) สมมติว่าเราสามารถแสดงเป็นพหุนามz) แล้วหมายถึง , หมายถึงและหมายถึง 0 เรื่องนี้ถือเป็นเพราะเหนือเขตของศูนย์ลักษณะความเท่าเทียมกันของฟังก์ชั่นพหุนามหมายถึงความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ โปรดทราบว่าในคำถามที่ 1 ช่วงของวงจรความน่าจะเป็นและโดเมนของf ( x , y , z ) = a x + b y + c z + h ( x , y , z ) f ( x , x , z ) = x c 0 f ( x , y , y ) = y a = $\mathrm{Maj}(x,y,z)$$f(x,y,z)=ax+by+cz+ h(x,y,z)$$f(x,x,z)=x$f ( x , y , x ) = x b $c=0$$f(x,y,x)=x$$b=0$$f(x,y,y)=y$$a=0$ f : R n → Y Y Y = { 0 , 1 } $\mathrm{Maj}$ -gate เป็นอนันต์ ดังนั้นผมจึงมีความประทับใจที่ข้อเสนอกระดาษเชื่อมโยงเฉพาะกับวงจรทางคณิตศาสตร์การคำนวณฟังก์ชันมี จำกัด ขนาดเล็กช่วงเช่น\} จากนั้นนั้นแน่นอนที่จะคำนวณได้โดยวงจรคณิตศาสตร์ แต่ถ้าหากล่ะ $f:\mathbb{R}^n\to Y$$Y$$Y=\{0,1\}$Y = $\mathrm{Maj}:Y^m\to Y$$Y=\mathbb{R}$

---

การแก้ไข [6.03.2017]: Pascal Koiran (หนึ่งในผู้เขียนของบทความนี้) ชี้ให้ฉันเห็นว่าแบบจำลองของพวกเขามีประสิทธิภาพมากกว่าวงจรทางคณิตศาสตร์: พวกมันยอมให้ Sign-gates (ออกหรือขึ้นอยู่กับว่าอินพุตเป็นลบ ไม่). ดังนั้นฟังก์ชั่นการโหวต Maj สามารถจำลองในรุ่นนี้ได้และฉันจะนำ "ความสับสน" กลับมา$0$$1$

---

ในบริบทของการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่น่าสนใจคือคำถามเดียวกันสำหรับ เขตร้อน min-plus และ max-plus semirings และ (\ mathbb {N} \ ถ้วย \ {- \ infty \} \ max, +, - \ infty, 0)( N ∪ $(\mathbb{N}\cup\{+\infty\}, \min, +, +\infty,0)$$(\mathbb{N}\cup\{-\infty\}, \max, +, -\infty,0)$

คำถามที่ 2:ไม่ถือกว่า semirings เขตร้อน? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Heldในสองเทอมนี้หมายความว่าการสุ่มไม่สามารถเร่งความเร็วที่เรียกว่าอัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก "บริสุทธิ์"! อัลกอริทึมเหล่านี้ใช้การดำเนินการขั้นต่ำ / สูงสุดและผลรวมในการเรียกซ้ำเท่านั้น Bellman-Ford, Floyd-Warshall, Held-Karp และอัลกอริธึม DP ที่โดดเด่นอื่น ๆ อีกมากมายนั้นบริสุทธิ์ $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

จนถึงตอนนี้ฉันสามารถตอบคำถาม 2 (ยืนยัน) ภายใต้สถานการณ์ข้อผิดพลาดด้านเดียวเมื่อเราต้องการ มากกว่า min- เครื่องหมายบวก semiring (ย่อเล็กสุด), หรือ มากกว่า semiring บวกสูงสุด (สูงสุด) นั่นคือตอนนี้เราต้องการให้วงจรเขตร้อนแบบสุ่มไม่สามารถผลิตได้ดีกว่าค่าที่เหมาะสม อย่างไรก็ตามสามารถทำได้โดยให้ค่าที่แย่กว่าที่เหมาะสม อย่างไรก็ตามคำถามของฉันอยู่ภายใต้สถานการณ์ข้อผิดพลาดสองด้านP r [ C ( x ) > f ( x ) ] = $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) < f(x)]=0$$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) > f(x)]=0$

---

PS [เพิ่ม 27.02.2017]: นี่คือความพยายามของฉันที่จะตอบคำถาม 1 (ยืนยัน) ความคิดคือการรวมรุ่นที่ง่ายที่สุดของ "combinatorial Nullstellensatz" กับการประเมินปัญหา Zarankiewicz สำหรับ n-partite hypergraps เนื่องจาก Erdos และ Spencer โมดูโล่ผลลัพธ์สุดท้ายนี้อาร์กิวเมนต์ทั้งหมดเป็นระดับประถม

โปรดทราบว่าคำถามที่ 2 ยังคงเปิดอยู่: "ไร้เดียงสา Nullstellensatz" (อย่างน้อยก็ในรูปแบบที่ฉันใช้) ไม่ได้เก็บไว้ในเซมิไฟเขตร้อน

นี่เป็นเพียงคำตอบบางส่วนสำหรับคำถามทั่วไปของคุณ (ฉันไม่แน่ใจว่าสูตรทั่วไปจะเป็นอย่างไร) แต่มันแสดงให้เห็นว่าการทำงานกับเซมินนิ่งที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่ดีเพียงพอในขณะที่ จำกัด การสุ่มให้เป็นขอบเขตแน่นอนอาจทำให้คำถามของ ทฤษฎีบทของ Adleman ถือ

สมมติว่าคุณกำลังทำงานกับตัวเลขที่ซับซ้อนดังนั้นวงจรคำนวณพหุนามมากกว่าฟิลด์นั้นและสมมติว่าฟังก์ชันคำนวณโดยพหุนาม ( ตัวแปรที่ซับซ้อน) ของตัวแปรจากนั้นก็จะปรากฎว่าได้รับการแก้ไขแล้วสำหรับบาง ,(x) เหตุผลก็คือสำหรับแต่ละชุดของกับกำหนดเซตย่อยของ Zariski ที่ปิดและต้องเป็นหรือมิฉะนั้นจะเป็นศูนย์ย่อยของการวัด หากเซตทั้งหมดเหล่านี้มีค่าเป็นศูนย์ดังนั้นเพราะมีเพียงหลายอันเท่านั้นฉx r C ( x , R ) = F ( x ) R x C ( x , R ) = F ( x ) C n C n R x ∃ R : C ( x , R ) = F ( x ) C F C$\mathbb{C}$$f$$x$$r$$C(x,r) = f(x)$$r$$x$$C(x,r) = f(x)$$\mathbb{C}^n$$\mathbb{C}^n$$r$ในการพิจารณาชุดของที่จะมีการวัดเป็นศูนย์ ในทางกลับกันสมมติฐานที่ว่าคำนวณหมายถึงสิ่งนี้ที่ตั้งไว้จะต้องเป็นทั้งหมดดังนั้นจึงไม่สามารถวัดค่าเป็นศูนย์ได้$x$$\exists r : C(x,r) = f(x)$$C$$f$$\mathbb{C}^n$