ความไม่สามารถคำนวณได้ของความซับซ้อนของ Kolmogorov นั้นมาจากทฤษฎีบทจุดคงตัวของ Lawvere หรือไม่?

ทฤษฎีบทจำนวนมากและ "ความขัดแย้ง" ของต้นเสียง diagonalization, undecidability ของความเกลียดชัง, ความไม่แน่นอนของความซับซ้อนของ Kolmogorov, ความไม่สมบูรณ์ของGödel, ความไม่สมบูรณ์ของ Chaitin, ความขัดแย้งของ Chaitin, ฯลฯ - ทั้งหมดมีหลักฐานเดียวกันโดย diagonalization ทั้งหมดจะได้รับการพิสูจน์โดย diagonalization ค่อนข้างมันรู้สึกว่าทั้งหมดของทฤษฎีบทเหล่านี้จริงๆใช้เดียวกัน diagonalization สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดูเช่นYanofskyหรือขึ้นสั้นมากและน้อยกรงเล็บบัญชี คำตอบของฉันไปที่คำถามนี้ )

ในความคิดเห็นในคำถามดังกล่าวข้างต้น, Sasho Nikolov ชี้ให้เห็นว่าส่วนใหญ่ของผู้เป็นกรณีพิเศษของLawvere คงจุดทฤษฎีบท หากพวกเขาเป็นกรณีพิเศษทั้งหมดนี่จะเป็นวิธีที่ดีในการรวบรวมความคิดข้างต้น: จะมีผลหนึ่งเดียวที่มีหลักฐานหนึ่งข้อ (Lawvere's) ซึ่งทั้งหมดข้างต้นเป็นไปตามข้อพิสูจน์โดยตรง

ตอนนี้สำหรับGödelขาดและ undecidability ของลังเลปัญหาและเพื่อน ๆ ของพวกเขาก็เป็นที่รู้จักกันดีว่าพวกเขาปฏิบัติตามจาก Lawvere คงจุดทฤษฎีบท (ดูเช่นที่นี่ , ที่นี่หรือYanofsky ) แต่ฉันไม่เห็นว่าจะทำเช่นนั้นได้อย่างไรเพื่อความซับซ้อนของ Kolmogorov แม้ความจริงที่ว่าหลักฐานที่พิสูจน์แล้วจะเป็นแบบเดียวกันก็ตาม ดังนั้น:

undecidability ของความซับซ้อนของ Kolmogorov นั้นเป็นข้อพิสูจน์อย่างรวดเร็ว - ไม่จำเป็นต้องมีการตัดขวางเพิ่มเติม - ของทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Lawvere หรือไม่?

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ฉันควรจะบอกว่าทั้งหมดที่ฉันเคยรู้เกี่ยวกับหัวข้อนี้ฉันได้เรียนรู้จากโพสต์บล็อกนี้โดย Andrej Bauer: math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Sasho Nikolov

@MaxNew: Let

เป็นฟังก์ชันคำนวณคำนวณโดยบาง TM M

ให้

เป็น TM ต่อไปนี้: ในอินพุตว่างมันจะเริ่มต้นผ่านสตริงทีละครั้งจนกว่าจะพบ

มี

และเอาท์พุทx

สังเกตว่า

สำหรับบาง

ขึ้นอยู่กับ

. จากนั้นสำหรับ

ใด ๆเช่นนั้นf $f$

M $M$

Mk $M_k$

x $x$

f(x)≥|x|>k $f(x) \geq |x| > k$

x $x$

|Mk|≤log2(k)+c $|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c $c$

|M| $|M|$

k $k$

(มีขนาดใหญ่พอที่จะทำ

) อย่างใดอย่างหนึ่งเช่นไม่มี

(ในกรณีที่

) หรือ

เอาท์พุทบาง

ที่

(โดยการก่อสร้าง) แต่ความจริงที่ว่า

เอาท์พุท

หมายความว่า

ดังนั้น

k>|Mk| $k > |M_k|$

k $k$

x $x$

f≠C $f \neq C$

Mk $M_k$

x $x$

f(x)≥|x|>k $f(x) \geq |x| > k$

Mk $M_k$

x $x$

C(x)≤|Mk|<k $C(x) \leq |M_k| < k$

)

f(x)≠C(x) $f(x) \neq C(x)$

— Joshua Grochow

@NealYoung: ที่คล้ายกัน แต่คนเหล่านั้นไม่ค่อยตอบคำถามของฉัน การลดลงของปัญหาการหยุดชะงักคือการทำให้ HALT เป็น "แหล่งที่มา" ของความไม่สามารถคำนวณได้และจากนั้นใช้การลดลง แต่ (เช่น) หลักฐานที่ฉันให้ไว้ในความคิดเห็นด้านบนแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถใช้ความซับซ้อน K เป็น "แหล่งที่มาของความไม่สามารถคำนวณได้" แต่โดยหลักฐานที่คล้ายกันมากสำหรับ HALT หลักฐานที่คล้ายกันนี้สามารถแสดงให้เห็นว่าเหมือนกันในแง่เทคนิคหรือไม่? (ในกรณีนี้โดยแสดงให้เห็นว่าพวกเขาทั้งหมดกรณีของ Lawvere ทฤษฎีบทซึ่งดูเหมือนว่าฉันแข็งแกร่งกว่าหลายชนิดของการลด.) นั่นคือสิ่งที่ฉันจริงๆหลังจากที่

— Joshua Grochow

@NealYoung: ใช่มันเป็นการสรุปทฤษฎีบทจุดคงที่ของโรเจอร์ แต่ถ้าคุณคิดว่ามันเป็นทฤษฎีบทของโรเจอร์คุณจะพลาดประเด็น ประเด็นก็คือ Lawvere นั้นเป็นคนทั่วไปมากพอที่จะจับกลยุทธ์การพิสูจน์ของบทพิสูจน์ต่าง ๆ มากมายนอกเหนือจากนั้นใน Roger's กระดาษ Yonofsky ที่เชื่อมโยงกับคำถามนี้มีจุดประสงค์ที่จะแสดงให้เห็นถึง "หมวดหมู่ฟรี" ของทฤษฎีบทของ Lawvere ซึ่งเป็นมิตรกับผู้คนซึ่งทฤษฎีหมวดหมู่ของ Lawvere อาจข่มขู่

— Joshua Grochow

ดูเพิ่มเติมที่cstheory.stackexchange.com/a/2830

— András Salamon

แก้ไข: การเพิ่มข้อแม้ที่ทฤษฎีบทจุดคงที่ของโรเจอร์อาจไม่ใช่กรณีพิเศษของ Lawvere

นี่คือหลักฐานที่อาจ "ปิด" ... มันใช้ทฤษฎีบทจุดคงที่ของโรเจอร์แทนที่จะเป็นทฤษฎีบทของ Lawvere (ดูส่วนความคิดเห็นด้านล่างสำหรับการอภิปรายเพิ่มเติม)

ให้จะมีความซับซ้อน Kolmogorov ของสตริงx $K(x)$ $x$

บทแทรก ไม่สามารถคำนวณ $K$ ได้

พิสูจน์

สมมติว่าขัดแย้งกันว่าคำนวณได้ $K$
กำหนดจะเป็นขั้นต่ำการเข้ารหัสใด ๆ ความยาวของทัวริงเครื่องกับ } $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
มีค่าคงที่เช่นว่าสำหรับทุกสตริงx $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
กำหนดฟังก์ชันดังกล่าวว่าที่เช่นที่คือสตริงขั้นต่ำดังกล่าวว่าค $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
ตั้งแต่คือคำนวณเพื่อให้เป็นฉ $K$ $f$
โดยทฤษฎีบทจุดคงที่ของโรเจอร์ , มีจุดคงที่, ที่อยู่, มีอยู่ทัวริงเครื่องเช่นว่าที่ . $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
ตามคำนิยามของในบรรทัดที่ 4 เรามีเช่นนั้นค $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
บรรทัดที่ 3 และ 7 บ่งบอกถึง. $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
แต่ตามนิยามของในบรรทัดที่ 2 เส้นตรงข้าม 8 $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— โอนีลยัง
แหล่งที่มา

เท่าที่ฉันทราบทฤษฎีบทจุดคงที่ของโรเจอร์ไม่ได้เป็นตัวอย่างของทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Lawvere มันเป็นตัวแปรแม้ว่าใน topos ที่มีประสิทธิภาพมันจะอ่านดังนี้: ถ้า

เป็นความผิดพลาดแบบmutlivaluedดังนั้น

จึงมีคุณสมบัติของจุดคงที่ (ทฤษฎีบทของ Lawvere ใน topos ที่มีประสิทธิภาพคือ: ถ้า

เป็นความผิดพลาดจากนั้น

มีคุณสมบัติจุดคงที่)f:N⇉AN $f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A $A$

f:B→AB $f : B \to A^B$

A $A$

— Andrej Bauer

เหนือเกรดการจ่ายเงินของฉัน @AndrejBauer - ฉันไม่ทราบทฤษฎีหมวดหมู่ พยายามอ่านนี้และคำตอบของคุณที่นี่ ยังไม่เข้าใจ คุณสามารถบอกฉันในความคิดเห็นของคุณข้างต้นสำหรับทฤษฎีบทโรเจอร์สสิ่งที่คุณจะใช้สำหรับฟังก์ชั่น

(กับประเภท

) และสิ่งที่เป็น? หรืออาจแนะนำการสอนที่เหมาะสม f $f$

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

$A$

— Neal Young

สไลด์ 45 และ 46 ในmath.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (ข่าวดีก็คือตอนนี้ฉันมีแผนแน่นอนและกำหนดเวลาในการเขียนบทความที่ครอบคลุมเกี่ยวกับการคำนวณสังเคราะห์ )

— Andrej Bauer