SAT มีความกว้างแบบ จำกัด ที่สามารถตัดสินใจได้ใน logspace หรือไม่

Elberfeld, Jakoby และ Tantau 2010 ( ECCC TR10-062 ) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Bodlaender รุ่นประหยัดพื้นที่ พวกเขาแสดงให้เห็นว่าสำหรับกราฟที่มีความแหลมมากที่สุดการสลายตัวของต้นไม้ที่มีความกว้างสามารถพบได้โดยใช้พื้นที่ลอการิทึม ปัจจัยที่มีอย่างต่อเนื่องในพื้นที่ที่ถูกผูกไว้ขึ้นอยู่กับk(ทฤษฎีบทของ Bodlaender แสดงเวลาเชิงเส้นที่ถูกผูกไว้โดยมีการพึ่งพาเลขชี้กำลังเป็นในปัจจัยคงที่)$k$$k$$k$$k$

SAT กลายเป็นเรื่องง่ายเมื่อชุดคำสั่งมีความกว้างต่ำ โดยเฉพาะFischer, Makowsky และ Ravve 2008แสดงให้เห็นว่าความพึงพอใจของสูตร CNF ที่มีความน่าเชื่อถือของกราฟการเกิดเหตุการณ์ที่ล้อมรอบด้วยสามารถตัดสินใจได้ด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากที่สุดเมื่อการสลายตัวของต้นไม้ โดยทฤษฎีบท Bodlaender ของการคำนวณการสลายตัวของต้นไม้กราฟอุบัติการณ์สำหรับการแก้ไขสามารถทำได้ในเส้นเวลาและดังนั้นจึง SAT สามารถตัดสินใจสำหรับสูตร treewidth จำกัด ในเวลานั้นเป็นพหุนามต่ำปริญญาในจำนวนของตัวแปรn$k$$2^{O(k)} n$$k$$n$

หนึ่งอาจคาดหวังว่า SAT ควรจะตัดสินใจได้จริงโดยใช้พื้นที่ลอการิทึมสำหรับสูตรที่มีความน่าเชื่อถือของกราฟการเกิดอุบัติเหตุ ยังไม่ชัดเจนว่าจะแก้ไข Fischer et al ได้อย่างไร วิธีการในการตัดสินใจเลือก SAT เป็นสิ่งที่ประหยัดพื้นที่ อัลกอริธึมทำงานโดยการคำนวณนิพจน์สำหรับจำนวนของการแก้ปัญหาผ่านการรวมการยกเว้นและการประเมินซ้ำจำนวนการแก้ปัญหาของสูตรที่เล็กลง แม้ว่า treewidth ที่ล้อมรอบจะช่วยได้ แต่สูตรย่อยดูเหมือนจะใหญ่เกินไปที่จะคำนวณในพื้นที่ลอการิทึม

สิ่งนี้ทำให้ฉันถาม:

คือ SAT สำหรับสูตร treewidth จำกัด ที่รู้จักในหรือ ?$\mathsf{L}$$\mathsf{NL}$

อันที่จริงแล้วการใช้ผลลัพธ์ใน Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 สามารถแสดงให้เห็นว่า SAT สามารถตัดสินใจได้ใน logspace กับสูตรที่มีกราฟอุบัติการณ์ล้อมรอบความกังวล นี่คือภาพร่างว่าขั้นตอนหลักของการพิสูจน์การอ้างสิทธิ์นี้เป็นอย่างไร

1. ความคิดของการสลายตัวของต้นไม้และความกังวลสามารถนำมารวมกับโครงสร้างเชิงสัมพันธ์โดยพลการ ดูตัวอย่างในส่วนที่ 2 และ 3 ของ เอกสารนี้โดย Dalmau, Kolaitis และ Vardi
2. ทฤษฎีบทของ Courcelle ระบุว่าตรรกะ MSO สามารถตัดสินใจได้ในเวลาเชิงเส้นบนโครงสร้างเชิงสัมพันธ์ของความมั่นคงอย่างต่อเนื่อง
3. $t$$f(t)\cdot n$
4. $\tau$$F$$I$$\tau$$I$
5. $\tau$
6. ดังนั้นโดยทฤษฎีบทของ Bodlander + Courcelle เราสามารถตัดสินใจได้ว่าสูตรของความกังวลคงที่นั้นน่าพอใจในเวลาเชิงเส้นหรือไม่
7. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 แสดงให้เห็นว่า "เวลาเชิงเส้น" สามารถถูกแทนที่ด้วย "พื้นที่ลอการิทึม" บนทั้งทฤษฎีบทของ Bodlaender และ Courcelle
8. $\varphi$$\tau$$\tau$$\varphi$
9. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง SAT สามารถกำหนดได้ใน logspace บนกราฟของค่า treewidth ที่คงที่