การค้นหา 5 รอบในกราฟแบบเบาบาง

(crossposted จาก MathOverflow)

สวัสดี

ฉันกำลังอ่านหัวข้อนี้: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

ฉันต้องการหา 5 รอบในกราฟ จริงๆแล้วสิ่งที่ฉันจริงๆต้องการคือวงจรแปลกที่สั้นที่สุดของความยาวไม่น้อยกว่า 5 แต่บางทีนั่นอาจจะเป็นเล็ก ๆ น้อย ๆ ข้างจุดที่ สำหรับวัตถุประสงค์ของฉันฉันปฏิบัติต่อและเหมือนกันในการวิเคราะห์ความซับซ้อน $m$ $n$

เราทำได้ดีกว่าการใช้รหัสสีเพื่อค้นหาวงจร 5 รอบในกรณีนี้หรือไม่? ให้ฉันกำหนดคำถามเฉพาะของฉัน:

ต่ำสุดคืออะไรที่มีอัลกอริทึม - เวลาสำหรับการตรวจสอบวงจรความยาว 5 อัลกอริทึมคืออะไร? และนี้คืออะไรถ้าคุณห้ามไม่ให้วิธีการคูณเมทริกซ์ที่รวดเร็วเช่น Coppersmith-Winograd $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— Andrew D. King
แหล่งที่มา

ทางแยกจาก MO

— เซียน - ฉีฉางช้าง張顯之

กราฟของคุณมีโครงสร้างพิเศษนอกเหนือจากกระจัดกระจายหรือไม่? (เช่นความเสื่อมต่ำเช่น)

— Robin Kothari

ไม่คุณสามารถสร้างกราฟให้มีความโหดร้ายได้ตามต้องการ ที่จริงฉันไม่สนใจหรอกว่ากราฟจะกระจัดกระจาย: ฉันกำลังพิจารณากราฟเส้น

และกราฟพื้นฐาน

ซึ่งทำให้

(เราสามารถสมมติว่า

นั้นง่าย) เหตุผลที่ผมรักษา

และ

เช่นเดียวกับที่ฉันรู้

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$ และฉันต้องการวิเคราะห์ความซับซ้อนในแง่ของ

และ

แต่ฉันไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับวิธี

เปรียบเทียบกับ

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— Andrew D. King

เพื่อความชัดเจนคุณไม่รังเกียจหรอกว่าวัฏจักรนั้นมีจุดยอดซ้ำแล้วใช่ไหม?

— user834

ฉันไม่อนุญาตให้จุดยอดซ้ำ แต่สำหรับ 5 รอบมันไม่สำคัญเพราะฉันคิดว่ากราฟนั้นง่ายและดังนั้นจึงไม่มี 2 รอบ

— Andrew D. King

คำตอบ:

วิธีเพิ่มคำตอบของ Mihai:

อันที่จริงวงจร 5 รอบ (และโดยทั่วไป -cycle) ในกราฟกระจัดกระจายสามารถแก้ไขได้เร็วกว่าเวลาโดยใช้ระดับสูง / ระดับต่ำ คุณต้องดูเฉพาะกระดาษอีกฉบับของ Alon, Yuster และ Zwick: $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

ตัวอย่างเช่น 5 รอบสามารถพบได้ในเวลาโดยไม่ต้องพึ่งพาการคูณเมทริกซ์ ดูทฤษฎีบทที่ 3.4 ของกระดาษที่เชื่อมโยงข้างต้น $O(m^{1.67})$

นอกจากนี้แม้ว่าจะไม่ยากเกินไปที่จะลดการตรวจจับ 5 รอบเป็นการคูณเมทริกซ์บูลีน (โดยมีค่าคงที่ของปัจจัยคงที่) การลดลงในทิศทางตรงกันข้ามจะไม่ปรากฏในกระดาษรหัสสี การลดอย่างเข้มงวด (ซึ่งจะรักษาความซับซ้อนของรันไทม์) จากการคูณเมทริกซ์ Boolean ถึงการตรวจจับ 5 รอบไม่เป็นที่รู้จัก

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

กรณีที่มีความหนาแน่นสูงเทียบเท่ากับการคูณเมทริกซ์แบบบูลด้วยการให้รหัสสี ดูhttp://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf

$O(mn)$

— หมดเวลา
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณ! ฉันจะดูเอกสารของ Monien เมื่อฉันสามารถเข้าถึงได้

— Andrew D. King