ความซับซ้อนของการตรวจสอบว่าคำสองคำมีการแทรกสอดในภาษา

สำหรับภาษาที่คงที่ในตัวอักษรให้เราพิจารณาปัญหาต่อไปนี้ซึ่งฉันเรียกว่า -INTERLEAVING :$L$$A$$L$

• อินพุต: สองคำ$u, v \in A^*$
• เอาต์พุต: มีinterleavingของและอยู่ในหรือไม่$u$$v$$L$

นี่คือการสอดแทรกคำสองคำและเป็นคำที่สามารถได้รับสังหรณ์ใจโดยการใช้ตัวอักษรของตัวและขณะที่การรักษาลำดับญาติของพวกเขา อย่างเป็นทางการเป็น interleaving ของและถ้าเราสามารถแบ่งพาร์ติชันออกเป็นสอง subsequences เคล็ดหนึ่งซึ่งเท่ากับและอื่น ๆ ซึ่งเท่ากับวีตัวอย่างเช่น "bheleloll" เป็น interleaving ของ "hello" และ "bell"$u$$v$$w$$u$$v$$w$$u$$v$$u$$v$

ความซับซ้อนของปัญหา -INTERLEAVING ขึ้นอยู่กับภาษาคืออะไร? $L$$L$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• ถ้าเป็นปกติเราสามารถแก้ปัญหาด้วยอัลกอริธึมแบบไดนามิกบนสองสายซึ่งแสดงให้เห็นว่าอยู่ในคลาส NL มันเป็นเรื่องยากสำหรับบางภาษาปกติหรือไม่? อย่างไรก็ตามสำหรับภาษาปกติบางปัญหานั้นชัดเจนใน L (logspace ที่กำหนดขึ้น) มีการระบุลักษณะของภาษาที่เป็นปัญหาใน L หรือไม่?$L$
• ถ้าไม่ปกติปัญหายังคงอยู่ใน NL เมื่อมีความซับซ้อนของพหุนามแบบออนไลน์ที่ซับซ้อน (ดูที่นี่สำหรับความคิดนี้หรือคำถามก่อนหน้าของฉัน ) อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่ครอบคลุมเช่นทุกภาษาที่ไม่มีบริบท แต่บางคนอื่น ๆ (เช่น palindromes) ยังสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็น NL (เช่นโดยการทำอัลกอริทึมแบบไดนามิกพร้อมกันจากจุดเริ่มต้นและจากจุดสิ้นสุด) มีภาษาที่ไม่มีบริบทซึ่ง -interleaving ปัญหาคือ NP-hard หรือไม่?$L$$L$$L$

สำหรับคำและสำหรับสองจำนวนเต็มกับเราแสดงโดย subwordของWยิ่งกว่านั้นเราปล่อยให้แทนคำที่ว่างเปล่า$w=w_1\ldots w_{\ell}$$i,j$$1\le i\le j\le \ell$$w(i,j)$$w_iw_{i+1}\ldots w_j$$w$$w(0,0)$

• ปล่อย $u=u_1\ldots u_m$ และ $v=v_1\ldots v_n$ เป็นสองคำภายใต้การพิจารณา
• สมมติว่าภาษาไม่มีบริบท $L$ ถูกระบุโดยไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบทในรูปแบบปกติของ Chomsky

สร้างโปรแกรมแบบไดนามิกที่รัฐ $[i,j,r,s,A]$ ถูกระบุโดย

• จำนวนเต็มสองจำนวน $i,j$ กับ $1\le i\le j\le m$ หรือ $i=j=0$
• จำนวนเต็มสองจำนวน $r,s$ กับ $1\le r\le s\le n$ หรือ $r=s=0$
• สัญลักษณ์ที่ไม่ใช่ขั้ว $A$ ในไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบท

สำหรับทุก ๆ รัฐให้ตัดสินใจว่าในไวยากรณ์ที่ไม่ใช้บริบทมีบางส่วนมาจากที่ไม่ใช่เทอร์มินัล $A$ และนั่นลงท้ายด้วยการแทรกสองคำบางส่วน $u(i,j)$ และ $w(r,s)$. การตัดสินใจนี้สามารถทำได้อย่างง่ายดายหากมีการจัดการสถานะในลำดับที่ถูกต้อง (รหัสย่อยสั้น ๆ ก่อนหน้าย่อยอีกต่อไป)

โดยรวมแล้วนี่จะให้อัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับ $L$- การแก้ปัญหาการใช้ภาษาที่ไม่มีบริบท $L$.