ประมาณการสุ่มตัวอย่างจากรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนกับคอมพิวเตอร์ควอนตัม

คอมพิวเตอร์ควอนตัมดีมากสำหรับการสุ่มตัวอย่างการแจกแจงที่เราไม่รู้วิธีการสุ่มตัวอย่างโดยใช้คอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิม ตัวอย่างเช่นถ้า f เป็นฟังก์ชันบูลีน (จากถึง- 1 , 1 ) ที่สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามแล้วด้วยคอมพิวเตอร์ควอนตัมเราสามารถสุ่มตัวอย่างได้อย่างมีประสิทธิภาพตามการกระจายที่อธิบายโดย (เราไม่รู้ว่าจะทำอย่างไรกับคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิม)$\{-1,1\}^n$${-1,1}$

เราสามารถใช้คอมพิวเตอร์ควอนตัมเพื่อสุ่มตัวอย่างหรือประมาณตัวอย่างสุ่มจุดในรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อธิบายโดยระบบของความไม่เท่าเทียมกัน n ในตัวแปร d หรือไม่?

การย้ายจากความไม่เท่าเทียมกันไปยังจุดต่าง ๆ นั้นดูเหมือนกับฉันว่าเป็น "การเปลี่ยนแปลง" ยิ่งไปกว่านั้นฉันก็ยินดีที่จะได้เห็นอัลกอริธึมควอนตัมแม้ว่าคุณจะแก้ไขการกระจายตัวเช่นพิจารณาผลิตภัณฑ์ของการแจกแจงแบบเกาส์ที่อธิบายโดยไฮเปอร์เพลนของรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือสิ่งอื่น ๆ

ข้อสังเกตบางประการ: Dyer, Frieze และ Kannan ค้นพบอัลกอริธึมเวลาพหุนามคลาสสิกที่มีชื่อเสียงสำหรับกลุ่มตัวอย่างโดยประมาณและคำนวณปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยประมาณ อัลกอริทึมนั้นมาจากการเดินสุ่มและการผสมอย่างรวดเร็ว ดังนั้นเราต้องการค้นหาอัลกอริทึมควอนตัมที่แตกต่างกันเพื่อจุดประสงค์เดียวกัน (ตกลงเราสามารถหวังว่าอัลกอริทึมควอนตัมอาจนำไปสู่สิ่งต่าง ๆ ในบริบทนี้เราไม่ทราบว่าจะทำแบบคลาสสิก แต่เพื่อเริ่มต้นสิ่งที่เราต้องการคืออัลกอริทึมที่แตกต่างกันนี้จะต้องเป็นไปได้)

ประการที่สองเราไม่ได้ยืนยันในการสุ่มตัวอย่างการกระจายเครื่องแบบโดยประมาณ เรายินดีที่จะทดลองตัวอย่างการกระจายที่ดีอื่น ๆ ซึ่งได้รับการสนับสนุนโดยประมาณในรูปทรงหลายเหลี่ยมของเรา มีการโต้แย้งโดย Santosh Vampala (และโดยฉันในบริบทอื่น) ซึ่งนำไปสู่การสุ่มตัวอย่างจนถึงการปรับให้เหมาะสม: หากคุณต้องการเพิ่มประสิทธิภาพตัวอย่าง f (x) เพื่อหาจุด y ที่ f (x) เป็นเรื่องปกติ เพิ่มข้อ จำกัด {f (x)> = f (y)} และทำซ้ำ

ตามที่โพสต์ยอมรับการดำรงอยู่ของอัลกอริธึมเวลาพหุนามแบบคลาสสิกเพื่อประเมินปริมาณของโพลีพอยต์นูนเป็นตัวเปลี่ยนเกม อัลกอริทึมควอนตัมมีโอกาสน้อยที่จะน่าสนใจมากเว้นแต่ว่ามันจะแข่งขันกับอัลกอริทึมแบบดั้งเดิม ท้ายที่สุดโดยไม่มีเกณฑ์นั้นอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมใด ๆ ก็สามารถเรียกได้ว่าเป็นอัลกอริทึมควอนตัมแทน

ที่กล่าวว่ายังมีห้องพักสำหรับการเร่งความเร็วพหุนามและมุมมองหลักที่เป็นที่รู้จักสำหรับการเร่งความเร็วประเภทนั้นคือการเดินแบบควอนตัมโดยเฉพาะอย่างยิ่งการพิจารณาว่าการเร่งความเร็วแบบดั้งเดิมในกรณีนี้ขึ้นอยู่กับการเดินแบบสุ่มที่ดี (แน่นอนว่าอัลกอริธึมเชิงควอนตัมใด ๆ สามารถมองได้ว่าเป็นการเดินควอนตัม แต่สำหรับอัลกอริธึมบางอย่างนี่ไม่จำเป็นต้องตรัสรู้) เอกสารต่าง ๆ ในวรรณคดี QC ได้ชี้ให้เห็นว่าอัลกอริทึมเพื่อประเมินปริมาณ อาจมีการเร่งความเร็วจากการเดินควอนตัม ดังนั้นดูเหมือนว่านักวิจัยจะรู้ข้อเสนอแนะนี้ แต่ไม่มีใครพยายามคิดว่าการเร่งความเร็วพหุนามใดที่คุณอาจได้รับจากปัญหานี้ คุณอาจไม่ได้อะไรเลยหากอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมที่ดีที่สุดมีสปอยเลอร์บางประเภท

นี่คือชุดของเอกสารที่ทุกคนพูดถึงแนวคิดพื้นฐานในการผ่าน; อีกครั้ง Google Scholar ดูเหมือนจะแนะนำว่าไม่มีใครได้ไปไกลกว่านี้

1. arXiv: quant-ph / 0104137 - Quantum Walks บน Hypercube
2. arXiv: quant-ph / 0205083 - การเดินสุ่มแบบควอนตัมกดได้เร็วขึ้นแบบทวีคูณ
3. arXiv: quant-ph / 0301182 - Decoherence ในการเดินควอนตัมแบบไม่ต่อเนื่อง
4. arXiv: quant-ph / 0304204 - การควบคุมการเดินควอนตัมแบบไม่ต่อเนื่อง: เหรียญและสถานะ intitial
5. arXiv: quant-ph / 0411065 - ควอนตัมเดินบนเส้นที่มีสองอนุภาคยุ่ง
6. arXiv: quant-ph / 0504042 - ความยุ่งเหยิงในการเดินควอนตัมแบบ coined บนกราฟปกติ
7. arXiv: quant-ph / 0609204 - การเร่งความเร็วควอนตัมของกระบวนการผสมแบบดั้งเดิม
8. arXiv: 0804.4259 - เร่งความเร็วด้วยการสุ่มตัวอย่างควอนตัม
9. วิธีการเดินสุ่มไปยังอัลกอริทึมควอนตัม
10. การเดินแบบควอนตัมแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้นบนสนาม จำกัด

อีกด้านหนึ่งของอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมเพื่อประมาณปริมาณของโพลิปป์นูนคือการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ฉันไม่รู้ว่ามีความคืบหน้าใด ๆ ในการค้นหาการเร่งควอนตัมสำหรับสิ่งนั้น ดูเหมือนว่าเป็นการยากที่จะหลีกเลี่ยงขั้นตอนของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเพื่อที่จะนำโพลีเอทิฟนูนมาไว้ในตำแหน่งที่เหมาะสมสำหรับการสุ่มตัวอย่าง