ส่วนต่อขยายของทฤษฎีบทของ Ramsey: monochromatic แต่มีความหลากหลาย

จากการติดตามคำถามก่อนหน้านี้ของฉันซึ่งได้รับการแก้ไขโดย Hsien-Chih Chang นี่คือความพยายามอีกครั้งในการหาข้อสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทของแรมซีย์ (คุณไม่จำเป็นต้องอ่านคำถามก่อนหน้าโพสต์นี้อยู่ในตัวเอง)

พารามิเตอร์: จำนวนเต็ม $1 \ll d \ll k \ll n$ จะได้รับแล้ว $N$ถูกเลือกให้มีขนาดใหญ่พอสมควร คำศัพท์:$m$-subset เป็นเซ็ตย่อยของขนาด $m$.

ปล่อย $B = \{1,2,...,N\}$. แต่ละ$k$-subset $S \subset B$กำหนดสี $f(S) \in \{0,1\}$.

คำนิยาม:

• $X \subset B$เป็นเอกรงค์ถ้า$f(S) = f(S')$ เพื่อทุกสิ่ง $k$-subsets $S \subset X$ และ $S' \subset X$.
• $X \subset B$มีความหลากหลายถ้า$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$ ดังนั้น $x_i < x_{i+1}$ และ $x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$สำหรับทุกฉัน$i$

ตัวอย่างเช่นถ้าดังนั้นมีความหลากหลาย แต่ไม่ใช่ โปรดทราบว่าเซตย่อยของชุดที่หลากหลายไม่จำเป็นต้องหลากหลาย$d = 10$$\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$$\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$

ตอนนี้ทฤษฎีบทของแรมซีย์กล่าวว่าไม่ว่าเราเลือกที่ไม่มีมีสีเดียว -subsetB และเห็นได้ชัดว่ามันเป็นเรื่องไม่สำคัญที่จะค้นหา -subsetหลากหลาย$f$$n$$X \subset B$$n$$X \subset B$

คำถาม: มีความหลากหลายและ monochromatic -subsetหรือไม่?$n$$X \subset B$

แก้ไข:แสดงเซียน-Chih ช้างที่อ้างว่าเป็นเท็จสำหรับนายกแต่สิ่งที่เกี่ยวกับคอมโพสิต ? ในแอปพลิเคชันของฉันฉันจะมีอิสระมากมายในการเลือกค่าที่แน่นอนของตราบใดที่ฉันสามารถทำให้มีขนาดใหญ่โดยพลการ พวกเขาสามารถเป็นพลังของจำนวนเฉพาะผลคูณของจำนวนเฉพาะหรืออะไรก็ได้ที่จำเป็นเพื่อทำให้การเรียกร้องเป็นจริง$d$$d$$d \ll k \ll n$

ก่อนอื่นต้องบอกว่า: ปัญหานี้น่าสนใจจริงๆ !! และที่นี่ฉันอธิบายสั้น ๆ ว่าทำไมวิธีการก่อนหน้าของฉันล้มเหลวตามที่แนะนำในเมตาโพสต์นี้เกี่ยวกับคำตอบที่ไม่ถูกต้อง

• ความพยายามครั้งแรกของฉันคือพยายามสร้างสีที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของ k-subset ซึ่งทำให้ n-subset ทั้งหมดไม่ใช่สีเดียว บทแทรก 1 ยังคงมีอยู่; แต่เล็มม่า 2 นั้นผิดโดยการสังเกตว่าถ้า k และ d เกี่ยวข้องกับไพร์มดังนั้น n-subsetในโมดูล d ที่แนะนำโดย @Jukka เป็นตัวอย่างที่เคาน์เตอร์$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• ความพยายามครั้งที่สองเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบท โดยการนับอัตราส่วนของความหลากหลายและ monochromatic -subsets เราหวังว่าจำนวนของ monochromatic จะสูงกว่าของที่ไม่ใช่ความหลากหลาย แต่ข้อผิดพลาดในการคำนวณของฉันถูกสังเกตโดย @domotorp: อัตราส่วนของความไม่หลากหลายจะไม่เป็นศูนย์ มันรวมกันเป็นประมาณซึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอย่างชัดเจน$n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• วิธีที่สามกลับไปที่วิธีแรกและมันแสดงให้เห็นว่าสำหรับชุดพารามิเตอร์ uber-weak (และ ) ทฤษฎีบทนั้นเป็นเท็จ เราใช้บทแทรกที่มีชื่อเสียงใน combinatorics เพิ่มเติม: ทฤษฎีบท EGZ$n > k+d-1$$d \mid k$

ความพยายามครั้งที่สี่เกิดจากคำตอบของ @domotorp มันทั้งฉลาดและสร้างแรงบันดาลใจและฉันจะพยายามแก้ไขหลักฐานของเขาเพื่อจัดการกับพารามิเตอร์ทั้งหมด แต่ถึงกระนั้นวิธีการของเขาก็ยังดูงดงามและฉันก็ชื่นชมวิธีการง่าย ๆ นี้โดยสิ้นเชิง

n-set ที่หลากหลายประกอบด้วย k-subset อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีอย่างน้อย"สลับไปมาระหว่างคลาส mod"; ได้อย่างแม่นยำให้เป็นความหลากหลาย n ชุดและให้เป็นสวิทช์มีการกำหนดถ้าและอยู่ในที่แตกต่างกันพอควร-D ชั้นเรียน เรามี K-1 สวิทช์สำหรับ *$k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

ให้ k-subsetเป็นสีแดงถ้ามีสวิตช์ k-2 มากที่สุด มิฉะนั้นจะเป็นสีฟ้า ตามวรรคก่อนหน้านี้เรามีสีน้ำเงินแล้วตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่าสำหรับมีสีแดงใน n-setใด ๆ ตั้งแต่มีตัวเลขสองตัวคือในคลาส mod-d และเดียวกัน และตั้งแต่ , มีอย่างน้อย k-2 องค์ประกอบในกับหรือ J และเราสามารถสร้าง k-subsetด้วย$S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$ถัดจากซึ่งเปลี่ยนได้มากที่สุด k-2 เท่า ดังนั้นจึงเป็น k-subset สีแดง$x_j$$S$

ฉันอาจเข้าใจผิดคำถามของคุณ แต่ถ้าไม่ฉันคิดว่ามันผิด สีชุด k ซึ่งสมาชิกทั้งหมดสอดคล้องกันแบบโมดูโล d ด้วยสีแดงชุดสี k อื่น ๆ เป็นสีน้ำเงิน ถ้า n> kd ดังนั้น n-set ใด ๆ จะต้องมี k-set ที่สมาชิกทุกคนเป็นแบบโมดูโลที่สอดคล้องกันและเป็นสีแดง ในทางกลับกันถ้า k-set มีองค์ประกอบสองชุดติดต่อกันของ n-set ที่หลากหลายมันก็จะเป็นสีฟ้า