การเปลี่ยนสถานะสมาชิกภาพสำหรับ DFAs

รับ DFAเราสามารถกำหนดชุดฟังก์ชันสำหรับแต่ละและด้วย ,เป็น) เราสามารถพูดถึงแนวคิดนี้เป็นคำและโดยที่หมายถึงการจัดองค์ประกอบของฟังก์ชั่น นอกจากนี้เรายังแสดงว่าและเป็นแบบโมโน$A=(Q, \Gamma, \delta, F)$$f_a$$a\in \Gamma$$f_a:Q\rightarrow Q$$f_a(q)=\delta(q, a)$$w=a_1, \cdots, a_m$$f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$$\circ$$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$$G$

[มักจะเรียกว่าการเปลี่ยนหนังสือในตำรามาตรฐาน แต่นี่ฉันทำซ้ำความหมายเพื่อความชัดเจน.]$G$

คำถามคือรับฟังก์ชั่นเราสามารถตัดสินใจ (นึกคิดในเวลาพหุนาม) และถ้าเป็นกรณีนี้ (เช่นมีอยู่ดังกล่าวว่า ) ไม่ว่ามีความยาวแบบพหุนามหรือยาวเท่ากัน? $f:Q\rightarrow Q$$f\in G$$w$$f=f_w$$w$

[ฉันเดาว่าคำดังกล่าวอาจมีความยาวชี้แจง แต่ฉันกำลังมองหาตัวอย่างง่ายๆ]

decidability

มันตัดสินใจได้ มีเพียงฟังก์ชันที่เป็นไปได้จำนวน จำกัดดังนั้นคุณสามารถสร้างแบบจำลองนี้เป็นปัญหาการเข้าถึงกราฟโดยมีจุดสุดยอดต่อหน้าที่หนึ่งและขอบหากมีเช่นนั้น . จากนั้นทดสอบว่าฟังก์ชันอยู่ในลดลงหรือไม่เพื่อทดสอบว่าเข้าถึงได้ในกราฟจากหรือไม่ คุณสามารถค้นหาคำที่สั้นที่สุดโดยใช้ความกว้างเป็นครั้งแรก เวลาทำงานอาจจะชี้แจงในแม้ว่า$f:Q \to Q$$g \to h$$a \in \Gamma$$h = f_a \circ g$$g$$G$$g$$f_\epsilon$$Q$

ความยาวของคำ

คำดังกล่าวที่สั้นที่สุดอาจมีความยาวชี้แจง นี่คือตัวอย่างของ DFA ดังกล่าว ให้เป็นครั้งแรกที่เฉพาะ แล้วรัฐจะอยู่ในรูปแบบที่และ\} กำหนด DFA กับตัวอักษรเอกและฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่น.จะได้รับ โดย$p_1,\dots,p_k$$k$$(i,x)$$i \in \{1,\dots,k\}$$x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$$\Gamma=\{0\}$$\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$$f_0 :Q \to Q$

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันได้รับจาก$g:Q \to Q$

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

มันเป็นไปได้ที่จะใช้ทฤษฎีส่วนที่เหลือของจีนเพื่อแสดงให้เห็นว่าโดยที่และเป็นคำที่สั้นที่สุด นอกจากนี้ดังนั้นมีขนาดใหญ่ชี้แจงในQ$g = f_{0^n}$$n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$$0^n$$|Q|= p_1 + \dots + p_k$$n$$Q$

ดังนั้นจึงไม่มีความหวังสำหรับอัลกอริทึมเวลาพหุนามที่ส่งออกคำดังกล่าว สิ่งนี้ยังคงเปิดความเป็นไปได้ของอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับการตัดสินใจว่าอยู่ในหรือไม่$g$$G$