NP-Hardness ของกรณีพิเศษของปัญหาการบรรจุหีบห่อแบบมุมฉาก

ปล่อย $V$ เป็นชุดของ $D$รูปร่างสี่เหลี่ยมสามมิติ สำหรับ$d \in \{1,...,D\}$ และ $v \in V$, $w_d(v) \in \mathbb{Q}^{+}$ อธิบายความยาวของ $v$ ในมิติ $d$. สัญกรณ์เดียวกันใช้สำหรับคอนเทนเนอร์$C$. $D$- มิติปัญหาการบรรจุมุมฉาก (OPP-$D$) คือการตัดสินใจว่า $V$ พอดีกับภาชนะ $C$โดยไม่ทับซ้อนกัน การพูดอย่างเป็นทางการปัญหาคือการหาว่า$\forall d \in \{1,...,D\}$ มีฟังก์ชั่นอยู่ $f_d:V\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$, ดังนั้น $\forall v \in V, f_d(v)+w_d(v) \leq w_d(C)$ และ $\forall v_1,v_2 \in V$, $(v_1 \neq v_2)$, $[f_d(v_1),f_d(v_1)+w_d(v_1)) \cap [f_d(v_2),f_d(v_2)+w_d(v_2)) = \emptyset$.

ปัญหาคือปัญหา NP-complete (ดู Fekete SP, Schepers J. "ในการบรรจุมิติที่สูงขึ้น: การสร้างแบบจำลอง" รายงานทางเทคนิค 97–288, มหาวิทยาลัยที่ zu Köln, 1997) ปัญหาคือปัญหาที่สมบูรณ์แม้กระทั่งสำหรับ$D=2$. ฉันสงสัยว่าปัญหาบรรจุหีบห่อแบบมุมฉากสำหรับรายการที่มีขอบเขต จำกัด (เช่นขนาดในแต่ละมิติ) ของรายการนั้นยังคงเป็นปัญหาที่สมบูรณ์หรือไม่ จนถึงตอนนี้ฉันพบผลลัพธ์ในกระดาษบางส่วนเกี่ยวกับปัญหาความสมบูรณ์ของบรรจุสี่เหลี่ยมลงในตาราง (ดู JOSEPH YT. LEUNG, TOMMY W. TAM, และ CS WONG, "บรรจุสี่เหลี่ยมลงในช่องสี่เหลี่ยม", วารสารการคำนวณแบบขนานและแบบกระจาย เล่มที่ 10 ฉบับที่ 3, พ.ย. 1990) ซึ่งเป็นข้อ จำกัด อยู่แล้ว แต่ฉันยังไม่รู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อจำนวนรายการประเภทถูก จำกัด ขอบเขต

ขอบคุณสำหรับคำตอบ,

ฉันคิดว่าบทความโดย Klaus Jansen และ Roberto Solis-Oba " อัลกอริทึม OPT + 1 สำหรับปัญหาการตัดสต็อคที่มีความยาวของวัตถุคงที่ " มีคำตอบบางส่วนสำหรับคำถามของคุณ พวกเขาพิจารณากรณีพิเศษของปัญหาของคุณที่เรียกว่าปัญหาการตัดสินค้าคงคลังเมื่อจำนวนวัตถุชนิดต่าง ๆ คงที่และกำหนดไว้ดังนี้:

ในปัญหาสต็อกตัดเราจะได้รับชุด$T = \{T_1,T_2,\dots,T_d\}$ ประเภทวัตถุที่วัตถุประเภท $T_i$ มีความยาวจำนวนเต็มบวก $p_i$. ได้รับชุดถังขยะ in nite ความจุของแต่ละจำนวนเต็ม$\beta$ปัญหาคือการแพ็คชุด $\mathcal{O}$ ของ $n$วัตถุในจำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของถังขยะในลักษณะที่ความจุของถังขยะไม่เกิน ในชุด$\mathcal{O}$ มี $n_i$ วัตถุประเภท $T_i$, เพื่อทุกสิ่ง $i =1,\dots,d$.

ผู้เขียนอ้างว่า

ไม่ทราบว่าจะสามารถแก้ไขปัญหาสต็อคตัดได้ในเวลาพหุนามสำหรับค่าทุกค่า $d$.

และพวกเขาเสนอ $OPT+1$ ขั้นตอนวิธีพหุนามประมาณเวลา $d$ ได้รับการแก้ไข

เนื่องจากไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นกรณีพิเศษนี้ $P$นี่คือหลักฐานว่าปัญหาของคุณคือ $NP$-hard

ภาคผนวก:เป็นที่รู้จักกันว่ากรณีที่มีสองประเภทวัตถุ ($d=2$) สามารถแก้ไขได้แบบพหุนาม แต่สำหรับ $d=3$ มีคนรู้จักเท่านั้น $OPT+1$-approximation