คำตอบสูงสุดของ LPs ขั้นต่ำ

แน่นอนว่าการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นที่เข้าใจกันในปัจจุบัน เรามีงานจำนวนมากที่แสดงถึงโครงสร้างของโซลูชันที่เป็นไปได้และโครงสร้างของโซลูชันที่ดีที่สุด เรามีความเป็นคู่ที่แข็งแกร่งอัลกอริทึมโพลีเวลา ฯลฯ

แต่สิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับการแก้ปัญหาสูงสุดขั้นต่ำของ LPs? หรือเท่ากับวิธีแก้ปัญหาขั้นต่ำขั้นสูงสุด

(นี่ไม่ใช่คำถามการวิจัยจริง ๆ แต่บางทีเราอาจมีบางอย่างทางเทคนิคน้อยกว่าสำหรับวันหยุดฉันแค่อยากรู้อยากเห็นและหลังจาก googling บางฉันได้รับความรู้สึกว่าฉันจะต้องหายไปคำหลักที่เหมาะสมมันรู้สึกเหมือนชัดเจน ปัญหาในการศึกษา แต่ฉันพบเอกสารประปรายบางเรื่องที่กล่าวถึงปัญหา)

เพื่อให้ง่ายให้มุ่งเน้นในการบรรจุและการครอบคลุมซีรี่ส์ ในLP บรรจุเราจะได้รับไม่ใช่เชิงลบเมทริกซ์ เวกเตอร์เป็นไปได้ถ้าและ 1เราบอกว่าเป็นค่าสูงสุดถ้าเป็นไปได้และเราไม่สามารถเพิ่มองค์ประกอบใด ๆ ได้อย่างโลภ นั่นคือถ้าและดังนั้นจะไม่สามารถทำได้ และในที่สุดคือ a $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ การแก้ปัญหาสูงสุดขั้นต่ำถ้ามันลดฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ในบรรดาการแก้ปัญหาสูงสุดทั้งหมด $\sum_i x_i$

(คุณสามารถกำหนดวิธีแก้ปัญหาที่น้อยที่สุดสูงสุดของLP ที่ครอบคลุมในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน)

พื้นที่ของโซลูชันสูงสุดขั้นต่ำมีลักษณะอย่างไร เราจะหาวิธีแก้ไขได้อย่างไร? มันยากแค่ไหนที่จะหาวิธีแก้ปัญหาเช่นนี้? เราจะประมาณโซลูชันดังกล่าวได้อย่างไร ใครที่ศึกษาสิ่งต่าง ๆ และอะไรคือคำศัพท์ที่เหมาะสม

คำถามเหล่านี้ได้รับแรงบันดาลใจสร้างสรรค์โดยชุดที่มีอำนาจเหนือขอบและจ้อสูงสุดต่ำสุด มันเป็นที่รู้จักกันดี (และค่อนข้างง่ายที่จะเห็น) ว่าการจับคู่สูงสุดขั้นต่ำคือการตั้งค่าขอบขั้นต่ำ ในทางกลับกันเมื่อกำหนดขอบขั้นต่ำที่มีอำนาจเหนือชุดจึงเป็นเรื่องง่ายในการสร้างการจับคู่สูงสุดขั้นต่ำ

ดังนั้นพวกเขาจึงเป็นปัญหาเดียวกัน ปัญหาทั้งสองคือปัญหา NP-hard และ APX-hard มีอัลกอริทึมการประมาณ 2 เล็กน้อย: การจับคู่สูงสุดใด ๆ

อย่างไรก็ตามการผ่อนคลาย LP ที่ "เป็นธรรมชาติ" ของพวกเขาดูแตกต่างกันมาก หากคุณใช้ปัญหาชุดที่มีอำนาจเหนือกว่าและสร้างการผ่อนคลาย LP อย่างเป็นธรรมชาติคุณจะได้รับแผ่นเสียงที่ครอบคลุม อย่างไรก็ตามหากคุณพบปัญหาในการหาการจับคู่สูงสุดขั้นต่ำและพยายามหาการผ่อนคลาย LP คุณจะได้อะไร แน่นอนว่าการจับคู่เศษส่วนเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ของ LP บรรจุภัณฑ์ ดังนั้นการจับคู่เศษส่วนสูงสุดเป็นวิธีแก้ปัญหาสูงสุดของ LPs ดังกล่าวและการจับคู่เศษส่วนขั้นต่ำที่สุดจึงเป็นโซลูชันสูงสุดขั้นต่ำของ LP ดังกล่าว :)

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

คำจำกัดความของคุณสูงสุดว่า "เราไม่สามารถเพิ่มองค์ประกอบใด ๆ ได้อย่างโลภ" ฟังดูคล้ายกับ Nash Equilibrium มีการเชื่อมต่อที่ซ่อนอยู่กับทฤษฎีเกมที่นี่หรือไม่?

— ปั้นจั่นขนาดใหญ่

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

A x = 1

$Ax = 1$

คุณคุ้นเคยกับโปรแกรมเชิงเส้นคอขวดหรือไม่ซึ่งมีขนาดเล็กที่สุดในฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์?

— Mike Spivey

สูงสุดและขั้นต่ำ: เป็นประเภทของการปรับให้เหมาะสมที่สุดของพาเรโต้
ความซับซ้อน: ฉันคิดว่าการหาทางออกสูงสุดขั้นต่ำคือ NP-hard ฉันจะลดปัญหาการครอบงำความเป็นอิสระ (หรือที่รู้จักกันว่าปัญหาชุดค่าสูงสุดอิสระขั้นต่ำ) ในกราฟสองส่วน ปัญหานี้ (ชัดเจนยิ่งกว่าเวอร์ชันการตัดสินใจ) เป็นที่รู้จักกันว่า NP-complete (DG Corneil และ Y. Perl, การรวมกลุ่มและการครอบงำในกราฟที่สมบูรณ์แบบคณิตศาสตร์ประยุกต์ประยุกต์ 9 (1984) 27-39) เนื่องจากกราฟสองฝ่ายสมบูรณ์แบบชุด polytope อิสระจึงถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันของกลุ่มและจำนวนของกลุ่มโบราณในกราฟสองฝ่ายคือพหุนาม ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนระบบของความไม่เท่าเทียมเชิงเส้น Ax <= 1, x> = 0 สำหรับ polytope ชุดอิสระ การแก้ปัญหาที่รุนแรงนั้นสอดคล้องกับเซตที่เป็นอิสระและโซลูชั่นที่มากที่สุดนั้นสอดคล้องกับเซตที่เป็นอิสระสูงสุด

— โยชิโอะโอกาโมโตะ
แหล่งที่มา

$P$ $A(P)$ $P$

$STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

น่าเศร้าที่ฉันมีเวลายากในการหาคำอธิบายที่โปร่งใสของสิ่งนี้ แต่ฉันไม่เคยเป็นผู้เชี่ยวชาญเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม หวังว่าคุณจะพบว่าเกี่ยวข้องกับปัญหาในมือ

— Andrew D. King
แหล่งที่มา