ปัญหาระดับกลางกับปัญหาด้วยการแก้ปัญหาควอนตัมที่มีประสิทธิภาพ

Peter Shor แสดงให้เห็นว่าสองปัญหาที่สำคัญที่สุดปัญหาระหว่างกลาง ได้แก่ ปัญหาการแยกตัวประกอบและปัญหาบันทึกแยกจากกันนั้นอยู่ใน BQP ในทางตรงกันข้ามอัลกอริธึมควอนตัมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับ SAT (การค้นหาของโกรเวอร์) ให้ผลการปรับปรุงกำลังสองเหนืออัลกอริธึมแบบดั้งเดิมเท่านั้น เมื่อ Arora และ Barak ชี้ให้เห็นก็มีปัญหาใน BQP ที่ไม่มีใครรู้ว่าอยู่ใน NP ซึ่งนำไปสู่การคาดเดาว่าทั้งสองคลาสนั้นหาที่เปรียบมิได้

มีความรู้ / การคาดเดาว่าเหตุใดปัญหาระดับกลางปัญหาเหล่านี้จึงอยู่ใน BQP แต่ทำไม SAT (เท่าที่เราทราบ) ไม่ได้ ปัญหาระดับกลางอื่น ๆ ทำตามแนวโน้มนี้หรือไม่? โดยเฉพาะอย่างยิ่งกราฟ isomorphism ใน BQP หรือไม่ (อันนี้ไม่ได้ google ดี)

ไม่รู้ว่ากราฟมอร์ฟเป็นกราฟใน BQP มีงานจำนวนมากที่พยายามวางมันการสังเกตที่น่าสนใจอย่างมากก็คือกราฟมอร์ฟสามารถแก้ไขได้หากคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถแก้ปัญหากลุ่มย่อยที่ไม่ได้ถูกซ่อนเร้นสำหรับกลุ่มสมมาตรได้ ใช้ปัญหากลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่ Abelian ซึ่งจะแก้ไขได้โดยการใช้การแปลงฟูริเยร์เชิงปริมาณกับกลุ่ม Abelian)

อีกวิธีหนึ่งที่ผู้คนพยายามแก้กราฟมอร์ฟิซึ่มคือการใช้การแปลงฟูริเยร์เชิงควอนตัมสำหรับกลุ่มที่ไม่ได้เป็นชาว Abelian มีอัลกอริธึมสำหรับการแปลงฟูริเยร์เชิงควอนตัมสำหรับกลุ่มที่ไม่ได้อยู่ในศาสนาคริสต์หลายกลุ่มรวมถึงกลุ่มสมมาตร น่าเสียดายที่มันดูเหมือนว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้การแปลงฟูริเยร์เชิงควอนตัมสำหรับกลุ่มสมมาตรเพื่อแก้ปัญหากราฟมอร์ฟ มีบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้เขียนอยู่สองสามฉบับซึ่งแสดงให้เห็นว่ามันไม่ได้ผลเนื่องจากข้อสันนิษฐานที่หลากหลายเกี่ยวกับโครงสร้างของอัลกอริทึม เอกสารเหล่านี้อาจเป็นสิ่งที่คุณพบเมื่อคุณ google

คำตอบของคติชนวิทยาคือแฟคตอริ่งคือ "โครงสร้าง" ในลักษณะที่ปัญหา NP-complete ทั่วไปไม่ได้และนี่คือเหตุผลที่เราสามารถหาข้อได้เปรียบเชิงควอนตัมสำหรับปัญหาระดับกลางเท่านั้น

คำถามของคุณในเวอร์ชันที่เรียบง่ายกว่านั้นก็คือการมองว่าไม่ใช่ความซับซ้อนในการคำนวณ แต่เป็นการค้นหาที่ซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีน ที่นี่เราสามารถพูดบางสิ่งที่พิสูจน์ได้เช่นความจริงที่ว่า superpolynomial speedups นั้นเป็นไปได้สำหรับฟังก์ชั่นบางส่วนเท่านั้น(พิสูจน์ได้ในhttp://arxiv.org/abs/quant-ph/9802049 ) และไม่ใช่สำหรับฟังก์ชันที่สมมาตรในอินพุตของพวกเขา และเอาท์พุท (พิสูจน์แล้วในhttp://arxiv.org/abs/0911.0996 )

ผลลัพธ์เหล่านี้ไม่ได้ให้ความกระจ่างกับคำถาม BQP vs NP โดยตรง แต่ฉันคิดว่าขั้นตอนที่มีความหมายต่อการพิจารณาว่ามีข้อได้เปรียบเชิงควอนตัมหรือไม่