การค้นหากราฟิคย่อยที่มีระดับความกังวลสูงและคงที่

ฉันได้รับกราฟ $G$ ด้วยความกังวลใจ $k$ และปริญญาโดยพลการและฉันต้องการหากราฟย่อย $H$ ของ $G$ (ไม่จำเป็นต้องเป็นกราฟิคย่อย) เช่นนั้น $H$ มีระดับคงที่และ treewidth ของมันจะสูงที่สุด ปัญหาของฉันอย่างเป็นทางการคือ: เลือกระดับที่ถูกผูกไว้ $d \in \mathbb{N}$ ฟังก์ชั่น "ดีที่สุด" คืออะไร $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ เช่นนั้นในกราฟใดก็ได้ $G$ ด้วยความกังวลใจ $k$ ฉันสามารถหากราฟย่อย (หวังว่ามีประสิทธิภาพ) $H$ ของ $G$ ด้วยระดับสูงสุด $\leq d$ และความกังวลใจ $f(k)$ .

เห็นได้ชัดว่าเราควรจะใช้ $d \geq 3$ เนื่องจากไม่มีกราฟ treewidth สูงที่มีระดับสูงสุด $<3$ . สำหรับ $d = 3$ ฉันรู้ว่าคุณสามารถรับได้ $f$ ดังนั้น $f(k) = \Omega(k^{1/100})$ หรือโดยการดึงดูดผลการแยกตารางเล็ก ๆ น้อย ๆของ Chekuri และ Chuzhoy (และใช้เพื่อแยกกราฟระดับสูง - treewidth-3 กราฟเช่นกำแพงกำแพงในฐานะผู้เยาว์ทอพอโลยี) โดยการคำนวณ subgraph เป็นไปได้ (ใน RP ) แต่นี้เป็นผลที่มีประสิทธิภาพมากกับหลักฐานที่ซับซ้อนจึงรู้สึกผิดที่จะใช้มันสำหรับสิ่งที่ดูเหมือนว่าปัญหาที่ง่ายมากผมก็จะชอบที่จะหาใด ๆคงองศา subgraph สูง treewidth ไม่เฉพาะเจาะจงเช่น ในผลลัพธ์ของพวกเขา นอกจากนี้ยังผูกพันกับ $f$ ไม่ดีเท่าที่ฉันจะคาดหวัง แน่นอนว่ามันเป็นที่รู้จักกันว่าสามารถทำ $\Omega(k^{1/20})$ (ขึ้นกับการยกเลิกประสิทธิภาพของการคำนวณ) แต่ฉันหวังว่าจะมีอะไรทำนองนี้ $\Omega(k)$ . ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแสดงว่าให้กราฟ $G$ ของ treewidth $k$ มีกราฟย่อยของ $G$ ด้วยระดับคงที่และความตรงเชิงเส้นใน $k$ ?

ฉันยังสนใจในคำถามเดียวกันที่แน่นอนสำหรับความกว้างของเส้นทางมากกว่าความกังวล สำหรับความกว้างของเส้นทางฉันไม่ทราบว่ามีอะนาล็อกกับการแยกส่วนย่อยของกริดดังนั้นปัญหาดูเหมือนจะลึกลับยิ่งกว่าเดิม ...

— a3nm
แหล่งที่มา

ดูกระดาษโดย Julia Chuzhoy และตัวฉันเองใน Treewidth sparsifiers เราแสดงให้เห็นว่าเราสามารถได้รับ subgraph ระดับสูงสุด 3 กับ treewidth $\Omega(k/polylog(k))$ ที่ไหน $k$ เป็นความกังวลของ $G$ . https://arxiv.org/abs/1410.1016การพิสูจน์นั้นสั้นกว่าแบบทดสอบสำหรับผู้เยาว์กริด แต่ก็ยังไม่สะดวกและสร้างได้จากเครื่องมือก่อนหน้านี้หลายตัว

สมมติว่าคุณตั้งเป้าหมายที่ง่ายกว่า - ดีกรี 4 และความน่าเชื่อถือ $\Omega(k^{1/4})$ จากนั้นคุณสามารถรับมันได้ง่ายขึ้นผ่าน Reed และ Wood บนผู้เยาว์ที่มีลักษณะคล้ายกริด https://arxiv.org/abs/0809.0724

อีกหนึ่งผลลัพธ์ที่ง่ายที่คุณสามารถได้รับคือสิ่งต่อไปนี้ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องมากกว่า คุณสามารถรับ subgraph ของ degre $\log^2(k)$ และความกังวลใจ $\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$ . คุณสามารถดูกระดาษ sparsifier ของ treewidth สำหรับอาร์กิวเมนต์เพื่อให้ได้สิ่งนี้

— จันทรา Chekuri
แหล่งที่มา

ความคิดเห็นเพิ่มเติม ไม่ว่าจะได้รับกราฟย่อยด้วย

Ω (k)

$\Omega(k)$ ระดับความกังวลและความมั่นคงเป็นปัญหาเปิดที่น่าสนใจมาก เราถามคำถามนี้ในกระดาษ sparsifier ความน่าเชื่อถือ แต่ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง กราฟที่น่าสนใจอย่างหนึ่งที่ Bart Jansen ถามคือ hypercube

n

$n$ โหนดที่มีความกังวล

Θ (n / \log n)

$\Theta(n/\log n)$ และระดับเริ่มต้น

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$ .

— จันทรา Chekuri

ขอบคุณที่ชี้ไปที่ Reed and Wood! ฉันจะกรอกรายละเอียด Thm 1.2 จากกระดาษของพวกเขากล่าวว่ากราฟ G ที่มีความน่าเชื่อถือ

Ω (l^{4} p o l y l o g (l))

$\Omega(l^4 polylog(l))$ มีคำสั่งกริดที่มีลักษณะคล้ายรองของ l ตอนนี้ M ที่มีลักษณะคล้ายตารางเล็ก ๆ น้อย ๆ เป็นกราฟย่อยของ G ที่ประกอบด้วยเส้นทางที่มีกราฟตัดกันสองฝ่าย H ดังนั้นจุดยอดใน M ทุกอันจะเป็น 2 เส้นทางของ M มากที่สุด (ไม่อย่างนั้นมันคือสามเหลี่ยมใน H) ดังนั้น M มีระดับสูงสุด 4. นอกจากนี้ M ยังมีความกังวล

Ω (l)

$\Omega(l)$ : แน่นอนต้นไม้ใด ๆ ที่มีความกว้าง M ของ k ให้ผลเป็นต้นไม้ที่มีความกว้าง <= 2k (แทนที่แต่ละจุดยอดด้วยเส้นทางของสมาชิกอย่างน้อย 2) และ H มี

K_{l}

$K_l$ เป็นผู้เยาว์

— a3nm

อีกครั้งนี้มีประโยชน์มากขอบคุณ เป็นเรื่องที่น่าสนใจว่าคำถามสำหรับการสำรวจเชิงเส้นยังคงเปิดอยู่ (ที่กล่าวว่าถ้าฉันเข้าใจถูกต้อง Conjecture 1.2 ในกระดาษ sparsifier ของคุณเกี่ยวกับปัญหาที่แตกต่างกันเล็กน้อย: มันต้อง subgraph เป็นแผนกย่อยของขนาดพหุนามใน k ในขณะที่ฉันไม่ได้ถามเรื่องนี้และแค่ต้องการ กราฟย่อยจะมีระดับคงที่) สิ่งสุดท้ายสิ่งหนึ่ง: คุณรู้หรือไม่ว่ามีอะไรที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับปัญหาที่เปิดนี้ ขอบคุณอีกครั้ง!

— a3nm

@ a3nm ทำไมคุณถึงประหลาดใจที่คำถามของ treewidth เชิงเส้นเปิดอยู่? ขณะนี้เราไม่มีการประมาณปัจจัยคงที่สำหรับความกังวล เกี่ยวกับความกว้างของพา ธ ตอนนี้วิธีเดียวที่จะประมาณค่าพา ธ เดตพา ธ คือความสัมพันธ์ระหว่าง treewdith และความกว้างของพา ธ ที่แสดง

t w (G) \leq p w (G) \leq O (\log n) t w (G)

$tw(G) \le pw(G) \le O(\log n) tw(G)$ . ผ่านการแยกกระจายแบบ treewidth เราสามารถรับการกระจายแบบแบนด์วิดท์ได้ แต่เราสูญเสีย log n factor มันจะดีถ้านี่เป็นเพียง log pw (G) factor แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะทำอย่างไรหรือรู้ว่ามันเป็นอย่างไร

— จันทรา Chekuri

ขอบคุณสำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับสถานะของ threewidth เชิงเส้นและขอขอบคุณสำหรับคำอธิบายการกระจัดกระจายพา ธ สิ่งสุดท้ายที่คุณพูดถึงคือผลลัพธ์ที่เราต้องการ แย่มากที่คำถามยังเปิดอยู่ ในกรณีใด ๆ ขอบคุณมากอีกครั้งสำหรับคำอธิบายของคุณ!

— a3nm