Isomorphism กราฟและกลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่

23

ฉันพยายามที่จะเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างกราฟมอร์ฟิซึมกับปัญหากลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่ มีการอ้างอิงที่ดีสำหรับสิ่งนี้หรือไม่?

2

ไม่เพียง แต่เราจะต้องรักษาโรค GI ของคุณเท่านั้น แต่ยังต้องอ่านคำถามของคุณที่ติดเชื้อด้วย! (นี่เป็นเรื่องตลกฉันก็มีแนวโน้มที่จะเป็นโรค GI เช่นกัน)

— András Salamon

1

จริงเกินไป ฉันต้องอยู่ห่างจาก Dave Bacon ทันที :)

— Suresh Venkat

2

FYI, บทความล่าสุดที่ฉันคิดว่าวางไว้ในโลงศพบน "quantum sieve algorithm" สำหรับ GI ซึ่งครอบคลุมความพยายามมากมายจนถึงขณะนี้ (และไม่ได้กล่าวถึงในบล็อกของ Dave Bacon): dx.doi.org/ 10.1137 บทความนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับทฤษฏีการเป็นตัวแทนที่หนักหน่วง แต่อินโทรไม่ดีและเป็นการอ่านที่ค่อนข้างดี

— Joshua Grochow

20

การอ้างอิงสามารถพบได้ในคำตอบของ martinschwarz แต่นี่เป็นบทสรุปของการลดคู่

กลุ่มสมมาตรทำหน้าที่ในกราฟของจุดยอด n โดยอนุญาตให้จุดยอด การพิจารณาว่าสองกราฟ isomorphic เทียบเท่าพหุนามเวลาเพื่อคำนวณขนาดพหุนามสร้างชุดสำหรับ(G) $S_n$ $Aut(G)$

ลด HSP ลงในกลุ่มสมมาตร (โดยที่คือจำนวนของตัวแปรในกราฟ) ฟังก์ชั่นคือที่คือการเปลี่ยนแปลงในและเป็นรุ่นที่ permuted ของGจากนั้นจะคงที่บน cosets ของและชัดเจนบน cosets ที่แตกต่างกัน (โปรดทราบว่ารูปภาพของประกอบด้วยกราฟทั้งหมด isomorphic ถึง ) เนื่องจากกลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่นั้นแน่นอนว่า $S_n$ $n$ $f$ $f(p)=p(G)$ $p$ $S_n$ $p(G)$ $G$ $f$ $Aut(G)$ $f$ $G$ $Aut(G)$ ถ้าเราสามารถแก้ปัญหา HSP นี้ได้เราก็จะมีชุดการสร้างสำหรับซึ่งก็คือทั้งหมดที่เราต้องแก้ปัญหา GI (ดูด้านบน) $Aut(G)$

ลดไปกว่า HSP Zหากเราต้องการทราบว่ากราฟสองกราฟและบนจุดยอดเป็น isomorphic หรือไม่ให้พิจารณากราฟซึ่งเป็นสหภาพที่ไม่ปะติดปะต่อของและบนจุดยอดให้ดำเนินการกับจุดโดยการแลกเปลี่ยนกับสำหรับ . ทั้ง $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $G$ $H$ $n$ $K$ $G$ $H$ $2n$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $i$ $n+i$ $i=1,...,n$ หรือ Zเหมือนเมื่อก่อนปล่อยให้ $Aut(K) = Aut(G) \times Aut(H)$ $Aut(K) = (Aut(G) \times Aut(H)) semidirect \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ โดยที่ตอนนี้เป็นองค์ประกอบของที่ทำหน้าที่ตามที่อธิบายไว้ กลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่ที่เชื่อมโยงกับคือทุกประการเช่นเดียวกับการลดลงก่อนหน้านี้ ถ้าเราแก้ HSP นี้เราได้รับการสร้างชุดสำหรับ )จากนั้นเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าชุดการสร้างมีองค์ประกอบใด ๆ ที่แลกเปลี่ยนสำเนาของกับสำเนาของภายในหรือไม่ $f(x)=x(K)$ $x$ $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $K$ $f$ $Aut(K)$ $Aut(K)$ $G$ $H$ (มีองค์ประกอบ ) $K$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

17

คุณอาจต้องการอ่านบล็อกโพสต์ล่าสุดของ Dave Bacon บน Graph Isomorphism พร้อมลิงก์ไปยังวรรณกรรม

— มาร์ตินชวาตซ์
แหล่งที่มา

14

"อัลกอริทึมควอนตัมสำหรับปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต" โดย Andrew Childs และ Wim van Dam arXiv: 0812.0380เป็นกระดาษสำรวจที่ดีมากซึ่งมีอินโทรที่ดีที่ไม่ใช่ Abelian HSP และความสัมพันธ์กับกราฟ Isomorphism

— dabacon
แหล่งที่มา