ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เต็มไปด้วยเวทมนตร์นั้นสมบูรณ์หรือไม่

นี่คือปัญหา:

เรามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีตัวเลขตั้งแต่ 1..N ในบางเซลล์ มันจำเป็นต้องมีการตรวจสอบว่ามันสามารถจะแล้วเสร็จในตารางมายากล

ตัวอย่าง:

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

ปัญหานี้เกิดขึ้นกับ NP หรือไม่? ถ้าใช่ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร

Crosspost บน MS

การเติมสี่เหลี่ยมละตินที่เติมบางส่วนคือ NP-Complete "ความซับซ้อนในการเติมสี่เหลี่ยมจตุรัสละตินบางส่วน" Charles J. Colbourn คณิตศาสตร์ประยุกต์แบบไม่ต่อเนื่องเล่มที่ 8 ฉบับที่ 1 เมษายน 1984 หน้า 25-30 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

ปัญหาลาตินสแควร์สามารถเปลี่ยนเป็นปัญหาเวทย์มนตร์สแควร์ผ่านการคิดเลขทางคณิตศาสตร์ สัญชาตญาณของฉันบอกว่าใช่ แต่สมองส่วนที่เหลือของฉันบอกว่า "กลับไปให้คะแนน!"

คำถามนี้มีสองส่วนคือก่อนปัญหาของ NP และที่สองมันเป็นปัญหาหรือไม่

สำหรับส่วนแรกฉันมีคำตอบในเชิงบวกพร้อมหลักฐานที่ไม่ชัดเจน (ขอบคุณ Suresh ที่ชี้ให้เห็นข้อผิดพลาดก่อนหน้านี้)

ลองพิจารณาวิธีต่อไปนี้เพื่อทำให้คำถามเป็นทางการว่าเป็นปัญหาการตัดสินใจ:

$n$$n$$n$

$1,2,\dots,n^2$

$n$$n$$n$$n$$n$

$n^2$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$\sqrt{5}^{n-1}$

สิ่งนี้ก็ปรากฏเป็นทฤษฎีบท 4.7 ใน:

• Apoloniusz Tyszka, สองการคาดเดาเกี่ยวกับเลขคณิตใน R และ C , คณิตศาสตร์ เข้าสู่ระบบ Quart 56 175–184, 2010

$2^n$$2^{n-1}$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$2^n$

$2^{n-1}$

สิ่งนี้ให้ผลดังนี้:

$N$$2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$$O(N^8)$$n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$$n-2$$m$$O(m^2)$

$n$

การใช้ Papadimitriou ผูกมัดกับการแก้ปัญหาของอินสแตนซ์ของ INTEGER LINEAR PROGRAMMING เราสามารถแสดงให้เห็นว่ารุ่นที่ตัวเลขต้องไม่เป็นลบทั้งหมดก็อยู่ใน NP ด้วย

$A$$r \times s$$b$$r$$\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$$Ax = b$$\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$

$a=1$$s=n^2+1$$r=2n+2$

• Christos H. Papadimitriou, ความซับซ้อนของการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม , JACM 28 765–768, 1981 ( ลิงค์ )