แคลคูลัสของสิ่งก่อสร้าง: บีบอัดนิพจน์ลงในรูปแบบที่เล็กที่สุด

11

ฉันทราบว่าแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างนั้นกำลังทำให้เป็นมาตรฐานอย่างมากซึ่งหมายความว่าทุกนิพจน์มีค่าปกติสำหรับที่ไม่สามารถเป็นเบต้าและลดลงได้อีก ดังนั้นในความเป็นจริงนี่คือการแสดงออกที่มีประสิทธิภาพที่สุดที่คำนวณค่าเดียวกันกับการแสดงออกเดิม

แต่ในบางกรณีการปรับสภาพอาจลดขนาดเล็กลงเป็นนิพจน์ใหญ่ (ในแง่ของขนาด)

มีรูปแบบที่เล็กที่สุดของการแสดงออกหรือไม่? แบบฟอร์มที่คำนวณค่าเดียวกันกับขนาดที่เล็กที่สุด

กล่าวอีกนัยหนึ่งแทนที่จะเป็นรูปแบบปกติที่ประหยัดเวลาและประหยัดพื้นที่

— user47376
แหล่งที่มา

8

มีอิสระในสิ่งที่เราพิจารณาว่า "คุณค่าเดียวกัน" ให้ฉันแสดงให้เห็นว่าไม่มีอัลกอริทึมดังกล่าวถ้า "ค่าเดียวกัน" หมายถึง "เทียบเท่าเชิงสังเกตการณ์" ฉันจะใช้ส่วนของแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างคือGödel's System T (พิมพ์เพียง -calculus จำนวนธรรมชาติและการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม) ดังนั้นการโต้แย้งจึงมีผลกับแคลคูลัสที่อ่อนแอกว่ามาก $\lambda$

ได้รับหมายเลขให้เป็นตัวเลขที่สอดคล้องกันเป็นตัวแทนของมันคือประยุกต์เพื่อ0ให้ทัวริง mahcine ปล่อยให้เป็นตัวเลขการเข้ารหัสด้วยวิธีที่สมเหตุสมผล $n$ $\overline{n}$ $n$ $\mathtt{succ}$ $0$ $M$ $\lceil M \rceil$ $M$

บอกว่าสองคำปิดจะเทียบเท่าเขียนเมื่อสำหรับทุก , $t, u : \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$ $t \simeq u$ $n \in \mathbb{N}$ และ $t \, \overline{n}$ ทั้งปกติจะเลขเดียวกัน (พวกเขาจะปกติเลขเพราะเราอยู่ใน claculus normalizing อย่างยิ่ง) $s \, \overline{n}$

สมมติว่าเรามีอัลกอริทึมซึ่งให้คำที่ปิดใด ๆ ของประเภทคำนวณคำที่เทียบเท่าน้อยที่สุด จากนั้นเราก็สามารถแก้ปัญหา Halting oracle ได้ดังนี้ $\mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$

มีระยะคือดังกล่าวว่าสำหรับทุกและทุกเครื่องทัวริง , normalizes เพื่อถ้าหยุดภายในขั้นตอน และมันจะ normalizes มิฉะนั้น สิ่งนี้เป็นที่รู้จักกันดีเนื่องจากการจำลองเครื่องทัวริงสำหรับจำนวนคงที่ของขั้นตอนเป็นแบบเรียกซ้ำ $S : \mathtt{nat} \times \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$ $n \in \mathbb{N}$ $M$ $S (\lceil M \rceil, \overline{n})$ $\overline{1}$ $T$ $n$ $\overline{0}$ $n$

มีแง่ปิดหลายขีดเป็นซึ่งเป็นคำที่น้อยที่สุดเทียบเท่ากับ $Z_1, \ldots, Z_k$ . อัลกอริทึมของเราลดผลตอบแทนที่หนึ่งของพวกเขาเมื่อเราจะให้มัน $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ และก็อาจเป็นกรณีที่ $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ ในความเป็นจริงแล้วคำศัพท์เพียงเล็กน้อยเท่านั้น ทั้งหมดนี้ไม่ได้เรื่องสิ่งเดียวที่สำคัญก็คือว่ามีเงื่อนไขน้อยที่สุดขอบเขตหลายที่เทียบเท่ากับ $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$ . $\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$

ตอนนี้ได้รับเครื่องใดพิจารณาคำ $M$ ถ้าวิ่งตลอดไปแล้ว normalizes การที่จะสำหรับทุกและเทียบเท่ากับ

u : = λ x : n a t . S (⌈ M ⌉, x)

$u \mathbin{{:}{=}} \lambda x : \mathtt{nat} .\, S (\lceil M \rceil, x)$

M

$M$

u \bar{n}

$u \overline{n}$

\bar{0}

$\overline{0}$

n

$n$

. ในการตัดสินใจว่า

จะทำงานตลอดไปหรือไม่เราป้อน

ในขั้นตอนวิธี minimzation ของเราและตรวจสอบว่าอัลกอริทึมส่งคืนหนึ่งใน

หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้น

จะทำงานตลอดไป หากไม่เป็นเช่นนั้นก็หยุด (หมายเหตุ: อัลกอริทึมไม่จำเป็นต้องคำนวณ

ด้วยตัวเองสิ่งเหล่านี้สามารถเข้ารหัสลงในอัลกอริทึมได้)

λ x : n a t . 0

$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$

M

$M$

u

$u$

Z_{1}, \dots, Z_{k}

$Z_1, \ldots, Z_k$

M

$M$

Z_{1}, \dots, Z_{k}

$Z_1, \ldots, Z_k$

มันจะเป็นการดีที่จะรู้ว่าข้อโต้แย้งที่ทำงานร่วมกับความคิดที่อ่อนแอของความเท่าเทียมเช่นเพียงแค่น่าเชื่อถือ $\beta$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

คุณคำนวณ Z1, .. Zk อย่างไร

— user47376

คุณไม่จำเป็นต้อง นั่นคืออัลกอริทึมที่ฉันกำลังอธิบายอยู่ข้างนอกนั่นและเราไม่รู้ว่ามันคืออะไร แต่นั่นไม่เกี่ยวข้อง ฉันไม่ได้พยายามเรียกใช้อัลกอริทึมจริง ๆ ฉันแค่ต้องมีอยู่เพื่อแสดงว่าอัลกอริทึมของคุณไม่มีอยู่

— Andrej Bauer

ใช่ แต่ข้อโต้แย้งของคุณบอกว่าถ้าอัลกอริทึมของฉันมีมากกว่าที่เราสามารถแก้ปัญหาการหยุด ในการพิจารณาว่าเครื่องทัวริง M หยุดทำงานอัลกอริทึมของคุณเป็นปกติหรือไม่และตรวจสอบว่าเป็นหนึ่งใน Z1, .. Zk ดังนั้นจึงจำเป็นต้องสามารถระบุสิ่งเหล่านั้นมิฉะนั้นมันอาจไม่หยุด

— user47376

Z_{1}, \dots, Z_{k}

$Z_1,\ldots,Z_k$

k

$k$

Z

$Z$

k

$k$

Z [i]

$Z[i]$

7

(λ x : T . C x x) u \to_{β} C u u

$(\lambda x:T.C\ x\ x)\ u\rightarrow_\beta C\ u\ u$

u

$u$

ในแง่นี้เป็นที่ทราบกันว่าจะลดคำที่ไม่พิมพ์ลงในวิธีที่เหมาะสมที่สุดได้อย่างไรลดการแบ่งปันให้มากที่สุด นี่คือคำอธิบายที่นี่: https://stackoverflow.com/a/41737550/2059388และการอ้างอิงที่เกี่ยวข้องคือเจ Lamping ของอัลกอริทึมสำหรับการลดแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ดีที่สุด มีข้อสงสัยเล็กน้อยว่าทฤษฎีบทของแคลคูลัสที่ไม่ได้พิมพ์สามารถขยายไปยัง CIC ได้

คำถามอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องเป็นจำนวนของข้อมูลประเภทที่สามารถลบเมื่อดำเนินการแปลงชนิดจริงหรือวิธีการดำเนินการแปลงที่มีประสิทธิภาพซึ่งเป็นสนามที่ใช้งานของการวิจัยเห็นเช่นวิทยานิพนธ์ Mishra-อิทธิพลของ

— Cody
แหล่งที่มา

6

ให้ฉันยืนยันในมุมมองที่สัมผัสโดยคำตอบของโคดี้

$\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$

$M$ $f$

M \bar{x} \to^{l (| x |)} \bar{f (x)}

$M\,\overline{x}\to^{l(|x|)}\overline{f(x)}$

l (| x |)

$l(|x|)$

l (n) = O (n^{k})

$l(n)=O(n^k)$

k

$k$

f

$f$

$\lambda$ $\Theta(n)$ $\Theta(2^n)$ $\lambda$ $\lambda$

$\lambda$ $\lambda$

$\lambda$

ไวยากรณ์เดียวกันนี้อาจถูกใช้เพื่อพิสูจน์ว่าตรงกันข้ามกับสัญชาตญาณไร้เดียงสาคำตอบของคำถามข้างต้นคือใช่แน่นอน: จำนวนของขั้นตอนซ้ายสุด - นอกสุดถึงรูปแบบปกติคือการวัดต้นทุนที่สมเหตุสมผลแม้ว่าขนาดจะระเบิดเพราะ ในความเป็นจริงมีวิธีอื่นในการแสดงการคำนวณเดียวกัน (โดยใช้การแทนที่เชิงเส้นอย่างชัดเจน) ซึ่ง:

ขนาดไม่ระเบิด
$\lambda$

ทั้งหมดนี้อธิบายไว้ในกระดาษของ Accattoli และ Dal Lago "การลดเบต้าคือไม่แปรเปลี่ยนแน่นอน" (LICS 2014 และจากนั้นฉันคิดว่ามีวารสารฉบับล่าสุดมากกว่า)

$\lambda$

— Damiano Mazza
แหล่งที่มา

สิ่งที่ฉันมีอยู่ในใจเป็นตัวอย่างของคำที่ทำขั้นตอนเป็นล้าน ๆ เพื่อสร้างรายการองค์ประกอบนับล้าน สิ่งนี้ทำให้ปกติเป็นรายการจริงซึ่งเป็นการแสดงที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดของค่านั้น (เป็นผลลัพธ์สุดท้ายจริงไม่จำเป็นต้องทำตามขั้นตอนเพิ่มเติม) แต่คำที่แฉออกไปนั้นอาจมีขนาดเล็กมาก

— user47376

β

$\beta$

ใช่มันเป็นไปไม่ได้อย่างที่ Andrej พูด นั่นตอบคำถามของฉัน

— 47376