ความซับซ้อนของการสื่อสาร…ชั้นเรียน?

การสนทนา :

ฉันใช้เวลาส่วนตัวเมื่อเร็ว ๆ นี้เรียนรู้สิ่งต่าง ๆ ในความซับซ้อนของการสื่อสาร ตัวอย่างเช่นฉันได้ทำความคุ้นเคยกับบทที่เกี่ยวข้องใน Arora / Barak อีกครั้งเริ่มอ่านเอกสารและสั่งหนังสือโดย Kushilevitz / Nisan โดยสัญชาตญาณฉันต้องการเปรียบเทียบความซับซ้อนของการสื่อสารกับความซับซ้อนในการคำนวณ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันหลงด้วยความจริงที่ว่าความซับซ้อนในการคำนวณได้พัฒนาไปสู่ทฤษฎีที่หลากหลายในการวางปัญหาการคำนวณในชั้นเรียนที่ซับซ้อนซึ่งบางส่วนสามารถนำไปใช้จากมุมมองหนึ่งอย่างน้อย ) จินตนาการในแง่ของปัญหาที่สมบูรณ์แบบสำหรับ แต่ละชั้นเรียนที่กำหนด ตัวอย่างเช่นเมื่ออธิบาย$NP$ สำหรับใครบางคนเป็นครั้งแรกมันเป็นเรื่องยากที่จะหลีกเลี่ยงการเปรียบเทียบกับ SAT หรือปัญหาที่สมบูรณ์แบบอื่น ๆ

จากการเปรียบเทียบฉันไม่เคยได้ยินแนวคิดแบบอะนาล็อกสำหรับคลาสการสื่อสารที่ซับซ้อน มีตัวอย่างมากมายที่ฉันตระหนักถึงปัญหา "สมบูรณ์สำหรับทฤษฎีบท" เช่นเป็นกรอบทั่วไปผู้เขียนอาจอธิบายปัญหาการสื่อสารที่กำหนดแล้วพิสูจน์ว่าทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องTถือฉันf fปัญหาการสื่อสารสามารถแก้ไขได้ในXหรือน้อยกว่าบิต (สำหรับXบางคนขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทที่เฉพาะเจาะจง / คู่ของปัญหาที่เป็นปัญหา) คำศัพท์ที่ใช้แล้วในวรรณคดีคือPคือ "สมบูรณ์" สำหรับT$P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$

นอกจากนี้ยังมีบรรทัดยั่วเย้าในร่างบทที่ซับซ้อนของการสื่อสาร Arora / Barak (ที่ดูเหมือนว่าจะถูกลบออก / tweaked ในการพิมพ์ครั้งสุดท้าย) ที่ระบุว่า "โดยทั่วไปเราสามารถพิจารณาโปรโตคอลการสื่อสารคล้ายกับ , c o N P , P Hเป็นต้น " อย่างไรก็ตามฉันสังเกตเห็นการละเว้นที่สำคัญสองประการ:$NP$$coNP$$PH$

1. แนวคิด "analogous" ดูเหมือนจะเป็นวิธีการคำนวณความซับซ้อนของการสื่อสารในการแก้โปรโตคอลที่กำหนดพร้อมการเข้าถึงทรัพยากรประเภทต่าง ๆ แต่หยุดเพียงแค่สั้น ๆ ในการกำหนดคลาสความซับซ้อนของการสื่อสารที่เหมาะสม ...
2. ความซับซ้อนของการสื่อสารส่วนใหญ่ดูเหมือนจะค่อนข้าง "ระดับต่ำ" ในแง่ที่ว่าผลลัพธ์ / ทฤษฎี / etc ส่วนใหญ่ หมุนรอบค่าขนาดเล็ก, เฉพาะ, ขนาดพหุนาม นี่ค่อนข้างเป็นคำถามที่ว่าทำไมพูดว่าน่าสนใจสำหรับการคำนวณ แต่แนวคิดที่คล้ายคลึงกันดูเหมือนจะน่าสนใจน้อยกว่าสำหรับการสื่อสาร (แน่นอนว่าฉันอาจผิดเพราะเพียงแค่ไม่รู้แนวคิดความซับซ้อนในการสื่อสารระดับ "ที่สูงขึ้น") $NEXP$

คำถาม :

มีแนวคิดที่คล้ายคลึงกับคลาสความซับซ้อนในการคำนวณสำหรับความซับซ้อนในการสื่อสารหรือไม่?

และ:

ถ้าเป็นเช่นนั้นจะเปรียบเทียบกับแนวคิด "มาตรฐาน" ของคลาสความซับซ้อนได้อย่างไร (เช่นมีข้อ จำกัด ตามธรรมชาติสำหรับ "คลาสความซับซ้อนของการสื่อสาร" ที่ทำให้พวกเขาขาดเรียนที่ซับซ้อนของคอมพิวเตอร์ที่ซับซ้อนเต็มรูปแบบหรือไม่) ถ้าไม่เหตุผล "ภาพใหญ่" ที่คลาสนั้นเป็นพิธีการที่น่าสนใจสำหรับความซับซ้อนในการคำนวณ สำหรับการสื่อสารที่ซับซ้อน?

ดูเหมือนว่าคุณกำลังมองหาเอกสารนี้: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

ความซับซ้อนของความซับซ้อนในการสื่อสารที่ซับซ้อนได้รับการแนะนำโดย Babai, Frankl, Simon ในเอกสารที่ยกมาโดย Noam กระดาษยังพัฒนาความคิดของความสมบูรณ์ภายใต้การลดที่เหมาะสม หากคุณอธิบายคลาส NP และ co-NP มันมีเหตุผลหลายอย่างที่จะอธิบายถึงปัญหาความไม่ต่อเนื่อง (ร่วม co-NP) เช่นกัน

สำหรับคำถามที่สองของคุณถ้า P คือ (ในความซับซ้อนของการสื่อสาร) ระดับของปัญหาที่แก้ไขได้ด้วยการสื่อสาร polylog (n) ที่กำหนดไว้อย่างแน่นอนดังนั้น EXP ของชั้นเรียนควรเป็นชุดของปัญหาที่แก้ไขได้ด้วยการสื่อสารโพลี (n) ดังนั้นดูเหมือนว่าชั้นเรียนดังกล่าวจะไม่น่าสนใจ

อย่างไรก็ตามมีวิธีอื่นในการรับคลาสที่ใหญ่กว่า PSPACE นั้นถูกกำหนดไว้แล้ว (โดย Babai และคณะ) ไม่ได้อยู่ในรูปของแนวคิดเกี่ยวกับพื้นที่ แต่ในแง่ของการสลับกัน การพิสูจน์เชิงโต้ตอบเป็นอีกวิธีหนึ่งในการสร้างคลาสที่ซับซ้อนมาก ดังนั้นคุณสามารถกำหนดคลาส MIP เป็นชุดของปัญหาที่สามารถแก้ไขได้ในเกมการสื่อสารที่มีผู้พิสูจน์สองคน (ที่ไม่สามารถพูดคุยกัน) และผู้ตรวจสอบสองคน (ที่สามารถพูดคุยกันและผู้พิสูจน์)

ในโลกของเครื่องจักรทัวริง MIP = NEXP แต่ความซับซ้อนของการสื่อสาร (ที่ NEXP ดูเหมือนจะไม่สมเหตุสมผล) ประการแรก MIP ไม่ได้เป็นเพียงชุดของปัญหาทั้งหมดเนื่องจากอาร์กิวเมนต์การนับง่าย ๆ

Andrew Drucker (ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาโทของเขา) ได้แสดงบางสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับชั้นเรียนนี้ เขาคิดว่า PCP นั้นมีความซับซ้อนในการสื่อสารซึ่ง (โดยเทคนิคมาตรฐาน) นั้นเทียบเท่ากับโปรโตคอล MIP (ผลลัพธ์ของเขานั้นแข็งแกร่งกว่าที่ฉันพูดไว้เล็กน้อย)

สิ่งที่เขาแสดงให้เห็นคือสำหรับทุกปัญหาใน NP (คลาสเครื่องจักรทัวริง) และวิธีแยกอินพุตปัญหาการสื่อสารที่เกิดขึ้นนั้นมีโปรโตคอล MIP ที่มีโพลีกอ์สื่อสาร (n) (เช่นปัญหาอยู่ใน (ความซับซ้อนของการสื่อสาร) คลาส MIP)

ดังนั้นในขณะที่ MIP ไม่ใช่ทุกอย่างการค้นหาปัญหาที่ชัดเจนที่ไม่ได้อยู่ใน MIP ควรเป็นเรื่องยาก (ไม่ใช่เพราะเราไม่สามารถค้นหาปัญหาที่ไม่ได้อยู่ใน NP แต่เพราะมันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะจินตนาการว่าความซับซ้อนของเครื่องจักรทัวริงสามารถเกิดขึ้นได้อย่างไร )

การแสดงขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับ MIP นั้นยากไม่น่าแปลกใจนักเพราะเราไม่รู้วิธีพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับโปรโตคอล AM

ส่วนหนึ่งของสวนสัตว์ซับซ้อนแสดงรายการที่สำคัญการเรียนการสื่อสารความซับซ้อนมากที่สุด

เหตุผลพื้นฐานที่มีข้อ จำกัด ดังกล่าวเกี่ยวกับความซับซ้อนของการสื่อสารคือมีจำนวนข้อมูลเชิงเส้นทั้งหมดที่ต้องสื่อสาร (อินพุต) เท่านั้น แม้ว่า Hartmut Klauck แล้วเป็นหลักชี้ให้เห็นในคำตอบของเขาผมอยากจะเน้นคำตอบ OQ อื่น ๆ เกี่ยวกับเหตุผลรองรับข้อ จำกัด พื้นฐานนี้คือว่าผู้เล่นมากมายคอมพิวเตอร์

หากต้องการพิจารณาคลาสการสื่อสารที่ "สูงกว่า" สิ่งที่ควรพิจารณา (แทน) คือการรวมการสื่อสาร / ความซับซ้อนในการคำนวณซึ่งผู้คนตระหนักถึงและได้รับการศึกษาในรูปแบบต่าง ๆ แต่ฉันคิดว่ายังไม่เคย ศึกษาอย่างเป็นระบบ ยกตัวอย่างเช่นในการศึกษาการพิสูจน์การโต้ตอบมันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะต้องพิจารณาผลกระทบของข้อ จำกัด การคำนวณของผู้เล่นแม้ว่าจะไม่เป็นเรื่องธรรมดาที่จะต้องพิจารณาจำนวนบิตสื่อสารทั้งหมด เรื่องหลังเป็นเรื่องธรรมดามากในการศึกษา PCP ที่เช่น PCP ที่มีขนาดโพลีที่ต้องการ$d(n)$ ข้อความค้นหาต้องการเท่านั้น $O(d(n)\log n)$บิตที่จะสื่อสาร เมื่อ$d(n)=O(1)$ฉันคิดว่าการสนทนานั้นเป็นจริงเช่นกันดังนั้นความซับซ้อนของการสอบถามใน PCP จึงเกี่ยวข้องกับปัญหาการสื่อสาร / การคำนวณแบบรวมที่ซับซ้อนนี้