เวกเตอร์แบบไบนารี

ฉันมีเซตของเวกเตอร์ไบนารี$n$ตัว$S = \{s_1, \ldots, s_n \} \subseteq \{0,1\}^k \setminus \{1^k\}$และเวกเตอร์เป้าหมาย$t = 1^k$ซึ่งเป็นเวกเตอร์ทั้งหมด

การคาดเดา: ถ้า$t$สามารถเขียนเป็นชุดเชิงเส้นขององค์ประกอบของ$S$มากกว่า$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$สำหรับพลังที่สำคัญ ทั้งหมด$q$ , จากนั้น$t$สามารถเขียนเป็นชุดเชิงเส้นของ$S$เหนือ$\mathbb{Z}$ได้นั่นคือมีการรวมกันเชิงเส้นกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ซึ่งจำนวนเงินที่จะ$t$กว่าZ$\mathbb{Z}$

มันเป็นเรื่องจริงเหรอ? มันดูคุ้น ๆ กับทุกคนไหม? ฉันไม่แน่ใจด้วยซ้ำว่าจะใช้คำหลักใดเมื่อค้นหาวรรณกรรมในหัวข้อนี้ดังนั้นข้อมูลใด ๆ ที่ชื่นชม

สังเกตว่าการสนทนาอย่างแน่นอนถือ: ถ้า$t = \sum_{i=1}^n \alpha_i s_i$สำหรับจำนวนเต็มฉันแล้วการประเมินผลรวม mod เดียวกันQสำหรับโมดูลัสใด ๆQยังคงให้ความเท่าเทียมกัน; ดังนั้นการรวมกันเชิงเส้นกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มแสดงถึงการมีอยู่ของการรวมกันเชิงเส้นสำหรับ moduli ทั้งหมด$a_i$$q$$q$

แก้ไข 14-12-2017 : อีกทั้งคาดว่าเป็นคนแรกที่แข็งแกร่งเข้าไปยุ่งเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของการรวมกันเชิงเส้นมากกว่าเมื่อใดก็ตามทีเป็นเชิงเส้นรวมกันพอควรQสำหรับทุกช่วงQ นี่จะง่ายกว่าที่จะใช้ประโยชน์จากแอปพลิเคชันอัลกอริทึมของฉัน แต่กลายเป็นเท็จ นี่คือตัวอย่างที่เคาน์เตอร์ s 1 , ... , s nจะได้รับจากแถวของเมทริกซ์นี้:$\mathbb{Z}$$t$$q$$q$$s_1, \ldots, s_n$

$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Mathematica ตรวจสอบว่า vector อยู่ในช่วงของเวกเตอร์เหล่านี้ mod qสำหรับ 1,000 primes แรกซึ่งฉันใช้หลักฐานที่เพียงพอว่านี่เป็นกรณีสำหรับ primes ทั้งหมด อย่างไรก็ตามไม่มีชุดค่าผสมเชิงเส้นจำนวนเต็มมากกว่าZ : เมทริกซ์ด้านบนมีอันดับเต็มเหนือRและวิธีที่ไม่ซ้ำในการเขียน( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 )เป็นชุดเชิงเส้นของ$t = (1,1,1,1,1,1)$$q$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$(1,1,1,1,1,1)$มากกว่า Rคือการใช้ค่าสัมประสิทธิ์ ( 1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 2 , - 1 / 2 , - 1 / 2 , 1 / 2 ) (คุณไม่สามารถเขียน tเป็นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้ mod 4ได้ดังนั้นจึงไม่ขัดแย้งกับรูปแบบที่ปรับปรุงของการคาดเดา)$(s_1, \ldots, s_6)$$\mathbb{R}$$(1/2, 1/2, 1/2, -1/2, -1/2, 1/2)$$t$$4$

การคาดเดาที่แก้ไขนั้นเป็นจริงแม้ภายใต้ข้อ จำกัด ที่ผ่อนคลายในและt - พวกเขาอาจเป็นจำนวนเต็มเวกเตอร์โดยพลการ (ตราบเท่าที่เซตSนั้น จำกัด ) โปรดสังเกตว่าถ้าเราจัดให้เวกเตอร์จากSเป็นเมทริกซ์คำถามก็ถามเกี่ยวกับการแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้น S x = t ในจำนวนเต็มดังนั้นฉันจะกำหนดปัญหาดังต่อไปนี้$S$$t$$S$$S$

โจทย์: Let และเสื้อ∈ Z k จากนั้นระบบเชิงเส้นS x = Tเป็นแก้ปัญหาได้ในZและถ้าหากมันเป็นแก้ปัญหาได้ในZ / Q Zสำหรับทุกอำนาจนายกคิว$S\in\mathbb Z^{k\times n}$$t\in\mathbb Z^k$$Sx=t$$\mathbb Z$$\mathbb Z/q\mathbb Z$$q$

สามารถพิสูจน์ได้อย่างน้อยสองวิธี

พิสูจน์ 1:

สำหรับที่สำคัญ ๆ , solvability ของระบบโมดูโลแต่ละหน้าม.แสดงให้เห็นว่ามันเป็นสิ่งที่แก้ไขได้ในแหวนของพีจำนวนเต็ม -adic Z P (มีปัญหาเล็กน้อยในการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกันดังนั้นการแก้ปัญหาที่กำหนดดังนั้น mod p mและ mod p m ′ไม่จำเป็นต้องเข้ากันได้ซึ่งสามารถแยกออกเช่นการใช้ compactness ของZ pหรือใช้บทแทรกของKönig)$p$$p^m$$p$ $\mathbb Z_p$$p^m$$p^{m'}$$\mathbb Z_p$

ดังนั้นระบบนี้ยังมีการแก้ไขในผลิตภัณฑ์ Z = Π พี นายก Z P , เช่นแหวนของจำนวนเต็ม profinite ฉันเรียกร้องที่ว่านี้หมายถึง solvability ในZ

ขอให้สังเกตว่าการแก้ปัญหาของระบบ (เช่น ) เป็นแสดงออกเป็น (บวกดั้งเดิม) ประโยคแรกสั่งในภาษาของศาสนาคริสต์กลุ่มที่เสริมเข้ากับค่าคงที่ 1เพื่อให้เราสามารถกำหนดที ตอนนี้หนึ่งสามารถตรวจสอบว่าทฤษฎีลำดับแรกที่สมบูรณ์ของโครงสร้าง ( Z , + , 1 )สามารถ axiomatized ดังนี้ (เป็นรุ่นที่สั่งซื้อฟรีPresburger ของเลขคณิตหรือมากกว่าของทฤษฎีของ Z -groups):$\exists x\,Sx=t$$1$$t$$(\mathbb Z,+,1)$$\mathbb Z$

1. ทฤษฎีของกลุ่ม Abelian ที่ไม่ใช้แรงบิด

2. ความจริงสำหรับแต่ละนายกพี ,$\forall x\,px\ne1$$p$

3. ความจริงสำหรับแต่ละนายกพี$\forall x\,\exists y\,(x=py\lor x=py+1\lor\dots\lor x=py+(p-1))$$p$

อย่างไรก็ตามหลักการเหล่านี้ถืออยู่ในZได้เป็นอย่างดี ดังนั้นโครงสร้าง( Z , + , 1 )และ( Z , + , 1 )เทียบเท่า elementarily และ solvability ของS x = TในZหมายถึง solvability ในZ$\hat{\mathbb Z}$$(\mathbb Z,+,1)$$(\hat{\mathbb Z},+,1)$$Sx=t$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

ในความเป็นจริงเราไม่ได้จริงต้อง axiomatization เต็มรูปแบบของข้างต้นก็พอที่จะสังเกตได้ว่าZตอบสนองหลักการ 2 ซึ่งหมายความว่าZเป็นกลุ่มย่อยบริสุทธิ์ของZและดังนั้นจึงบริสุทธิ์Z-โมดูลย่อย$(\mathbb Z,+,1)$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

พิสูจน์ 2:

มีอยู่เมทริกซ์และN ∈ G L ( n , Z )ดังกล่าวว่าเมทริกซ์S ' = M S Nอยู่ในรูปแบบปกติสมิ ธ ใส่เสื้อ' = Mเสื้อ ถ้าxเป็นคำตอบของS x = tดังนั้นx ′ = N - 1 xเป็นคำตอบของ$M\in\mathrm{GL}(k,\mathbb Z)$$N\in\mathrm{GL}(n,\mathbb Z)$$S'=MSN$$t'=Mt$$x$$Sx=t$$x'=N^{-1}x$และตรงกันข้ามถ้า x 'เป็นวิธีการแก้ของ S ' x ' = T 'แล้ว x = N x 'เป็นวิธีการแก้ของ S x = T (ความเท่าเทียมกันนี้มีผลต่อการเปลี่ยนวงแหวนใด ๆ เช่น M , M - 1 , N , N - 1เป็นเมทริกซ์จำนวนเต็ม)$S'x'=t'$$x'$$S'x'=t'$$x=Nx'$$Sx=t$$M,M^{-1},N,N^{-1}$

ดังนั้นเราอาจสันนิษฐานได้โดยไม่สูญเสียความสามารถทั่วไปที่เป็นเมทริกซ์แนวทแยง (หมายความว่าแถวหรือคอลัมน์ส่วนเกินเป็นศูนย์ถ้าk ≠ n ) ดังนั้นระบบS x = tจึงไม่สามารถกู้คืนได้ในZเฉพาะเมื่อ$S$$k\ne n$$Sx=t$$\mathbb Z$

1. สำหรับบางรายการที่ไม่ใช่ศูนย์ทแยงของS , รายการที่สอดคล้องกันทีฉันของเสื้อไม่หารด้วยs ฉันฉันหรือ$s_{ii}$$S$$t_i$$t$$s_{ii}$

2. สำหรับบางคนที่ฉันแถวของ TH Sเป็นศูนย์ แต่t ฉัน ≠ 0$i$$i$$S$$t_i\ne0$

Let จะเป็นพลังที่สำคัญเช่นที่Q ∤ ทีฉันและในกรณีแรกQ | s ฉันฉัน จากนั้นระบบS x = Tไม่ได้แก้ปัญหาได้ในZ / Q Z$q$$q\nmid t_i$$q\mid s_{ii}$$Sx=t$$\mathbb Z/q\mathbb Z$