เกี่ยวกับวิธีการของ Pfaffian ในการนับและ Combinatorics

13

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันกำลังจะไปแนะนำ Holographic Algorithms ฉันเจอสิ่งต่าง ๆ ที่เรียกว่า Pfaffians ฉันไม่รู้จริงๆเกี่ยวกับสิ่งเหล่านั้นในเวลานี้และพบการใช้ที่น่าแปลกใจที่พวกเขาสามารถนำไป

ตัวอย่างเช่นฉันรู้ว่าพวกเขาสามารถใช้เพื่อนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟระนาบ นอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการนับจำนวนกระดานหมากรุกที่เป็นไปได้โดยใช้ไพ่ 2 * 1 การเชื่อมต่อแบบเรียงต่อกันดูเหมือนจะอยากรู้อยากเห็นมากสำหรับฉันและฉันพยายามค้นหาสื่อที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติมบนเว็บ แต่ในสถานที่ส่วนใหญ่ฉันพบเพียงหนึ่งหรือสองข้อความเกี่ยวกับการเชื่อมต่อและไม่มีอะไรอื่น

ฉันแค่ตั้งใจถามว่ามีคนแนะนำการอ้างอิงวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องได้บ้างหรือไม่และฉันก็หวังว่าจะได้ศึกษาเนื้อหาที่เกี่ยวข้อง

reference-request co.combinatorics counting-complexity

— Akash Kumar
แหล่งที่มา

3

สิ่งนี้เรียกว่า "ปัญหา dimer" ภาพรวมอยู่ในหมวดที่ 7.14 ของ "โมเดลที่แก้ไขได้อย่างแม่นยำ " ของ Baxter และในmath.brown.edu/~rkenyon/papers/de2.pdfจำนวนของDimersสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของพาร์ทิชันโมเดล Ising ซึ่งเป็นตัวอย่างของฟังก์ชัน Ising partition ผ่าน Pfaffian ได้รับในcs.cmu.edu/~jch1/research/presentation/globersonjaakkola.ppt

— Yaroslav Bulatov

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็น yaroslav ตัวอย่าง cmu นั้นมีประโยชน์

— Akash Kumar

คุณอาจสนใจประวัติโดยย่อของ pfaffians จากcombinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r5.pdf

— Radu GRIGore

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็น Radu ฉันเจอการสำรวจอีกครั้งโดย Robin Thomas คุณสามารถค้นหาได้ที่นี่people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf

— Akash Kumar

17

(นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจสำหรับฉันเพราะฉันกำลังอ่านเกี่ยวกับ Pfaffian ด้วย)

ฉันขอแนะนำอ้างอิงต่อไปนี้:

บทที่ 8 ของหนังสือสุดวิเศษจับคู่ทฤษฎีโดย Lovasz และ Plummer
อัลกอริธึมที่ไม่มีการแบ่งกระดาษสำหรับปัจจัยที่กำหนดและ Pfa ﬃ an: วิธีเชิงพีชคณิตและ Combinatorialโดย Rote บทความนี้เกี่ยวข้องกับ Pfaffian กับวัตถุ combinatorial ที่เรียกว่าลำดับการเดินแบบปิด (หรือลำดับการสลับ clow) ซึ่งทำให้เรามีอัลกอริทึมแบบไดนามิก (ส่วนที่ไม่มีส่วน) สำหรับการคำนวณ Pfaffian
เส้นทางการไม่ใช้กระดาษกระดาษพาร์ติชันและพาร์ติชันของเครื่องบินโดย Stembridge ซึ่งแสดงวิธีการใช้ Pfaffian เพื่อระบุการกำหนดค่าใน combinatorics กระดาษนี้ยังให้การพิสูจน์ combinatorial ของตัวตนขั้นพื้นฐานเช่น

หากเป็นเมทริกซ์สมมาตรเสมือนแล้ว ) $A$ $\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$

— ไดเลอ
แหล่งที่มา

2

ขอบคุณจริงๆไดมาก นี่เป็นแหล่งอ้างอิงที่ดีจริงๆ ฉันจะผ่านพวกเขาในไม่ช้า ขอบคุณอีกครั้ง. และใช่สนุกกับคริสต์มาสนี้และมีความสุขปีใหม่!

— Akash Kumar

@arnab และ @Akash ฉันดีใจที่ข้อเสนอแนะของฉันช่วย! สุขสันต์วันคริสต์มาสและสวัสดีปีใหม่สำหรับคุณสองคน!

— Dai Le

@ ไดนี่ดูน่าสนใจมาก ข้ออ้างอิงสามข้อใดที่กล่าวถึงอัลกอริทึมของ Berkowitz (เวอร์ชัน Pfaffian)

— Michael Soltys

12

คุณอาจพบบทความนี้ในวงจร Pfaffian และการอ้างอิงในนั้นน่าสนใจ ฉันหมายถึงการแนะนำอัลกอริทึมโฮโลแกรมในตัวรวมถึงการสำรวจสิ่งที่สามารถทำได้ด้วย Pfaffians

— เจสันมอร์ตัน
แหล่งที่มา

ที่น่ากลัว! ขอขอบคุณและสวัสดีปีใหม่!

— Dai Le

ว้าว ... เยี่ยมมาก! ทั้งหมดสอดคล้องกับสิ่งที่ฉันต้องการ ขอบคุณมาก (และมีความสุขปีใหม่)

— Akash Kumar

6

นี่ควรจะเป็นความคิดเห็นจริงๆ แต่สำหรับการขาดพื้นที่ฉันโพสต์นี้เป็นคำตอบ

ขอบคุณสำหรับคำตอบและแสดงความคิดเห็นทุกคน เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันเจอการสำรวจครั้งใหม่โดย Robin Thomas คุณสามารถพบได้ที่นี่http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf

นอกเหนือจากนี้ฉันยังจะเพิ่มหนึ่งคำสั่งเกี่ยวกับการเชื่อมต่อแบบเรียงต่อกัน (ซึ่งชี้ให้ฉันโดยศาสตราจารย์ Dana Randall) หากคุณใช้ตาข่ายสองแผ่นกระเบื้องโดมิโน 2x1 นั้นเป็นเพียงขอบ ดังนั้นการปูกระเบื้องที่สมบูรณ์แบบจึงเป็นการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในคู่อย่างแม่นยำ จากนั้นทฤษฎีของ Pfaffians สามารถใช้ในการนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟระนาบ

ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถมุ่งเน้นไปที่การนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟเป็นหลัก - ส่วนที่เหลือจะติดตามเล็กน้อย

— Akash Kumar
แหล่งที่มา

3

นอกจากนี้ยังมีงานที่ทำโดย Charles Little, Fischer, McCuaig, Robertson, Seymour และ Thomas, Loebl, Galluccio, Tesler, Miranda, Lucchesi, Carvalho และ Murty (งานที่อยู่ในใจของฉันตอนนี้)