ความซับซ้อนของการกำหนดพารามิเตอร์ของการรวมภาษาปกติ

ฉันสนใจในปัญหาคลาสสิกอย่างเป็นทางการรวมถึงภาษา รับนิพจน์ทั่วไปเราแสดงโดยภาษาปกติที่เกี่ยวข้อง (นิพจน์ทั่วไปใช้ตัวอักษรคงที่ , กับสหภาพการดำเนินงาน, Kleene-star และการต่อข้อมูล) $E$ $L(E)$ $\Sigma$

การป้อนข้อมูล:สองแสดงออกปกติและคำถาม:มันคือความจริงที่ ? $E_1$ $E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

การรวมภาษาปกติเป็นที่รู้จักกันในชื่อ PSPACE-complete [1]

วิธีคลาสสิกในการแก้ปัญหา (ใน PSPACE) คือการสร้าง NFAsและเกี่ยวข้องกับและเพื่อสร้าง DFAจากเสริมให้เป็น DFAและในที่สุดก็สร้างทางแยกจากและที่สอดคล้องกับจุดตัดของและ C ตอนนี้และถ้าหากไม่มีเส้นทางที่ยอมรับในA_P $A_1$ $A_2$ $E_1$ $E_2$ $D_2$ $A_2$ $D_2^C$ $A_P$ $A_1$ $D_2^C$ $L(E_1)$ $L(E_2)^C$ $L(E_1)\subseteq L(E_2)$ $A_P$

ถ้าฉันไม่ผิดกระบวนการทั้งหมดสามารถทำได้ในเวลาพหุนามเมื่อเป็นภาษาคงที่ตั้งแต่เพียงชี้แจงระเบิดขึ้นมาจากการเปลี่ยนเข้าD_2ยิ่งไปกว่านั้นปัญหาคือ FPT เมื่อพารามิเตอร์โดยความยาวของE_2 $E_2$ $A_2$ $D_2$ $|E_2|$ $E_2$

สิ่งนี้กระตุ้นให้คำถามของฉัน:

คำถาม:เมื่อเป็นนิพจน์ที่คงที่ความซับซ้อนของการรวมภาษาประจำคืออะไร มันยังคงอยู่ใน PSPACE หรือไม่ $E_1$

[1] LJ Stockmeyer และ AR Meyer ปัญหา Word ที่ต้องใช้เวลาเอ็กซ์โปเนนเชียล: รายงานเบื้องต้น รายงานการประชุม ACM ประจำปีครั้งที่ห้าในทฤษฎีคอมพิวเตอร์, STOC '73, หน้า 1-9

หมายเหตุ: ในฐานะที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในสาขานี้ฉันพบ [1] (และเอกสารที่เกี่ยวข้องในเวลานั้น) อ่านไม่ได้และไม่สามารถหาหลักฐานของ PSPACE สมบูรณ์ได้อีก - ตัวชี้ไปยังหลักฐานสมัยใหม่เช่นใน หนังสือยินดีต้อนรับมาก! นอกจากนี้ผู้เขียนดูเหมือนจะอนุญาตให้ยกกำลังสองในการแสดงออกปกติของพวกเขาซึ่งในปัจจุบันค่อนข้างไม่ใช่มาตรฐานผมเชื่อว่า.)

— Florent Foucaud
แหล่งที่มา

มันยังคงสมบูรณ์แบบ PSPACE เนื่องจากความเป็นสากลทางภาษา (เช่น E1 = Sigma *) นั้นสมบูรณ์แบบ PSPACE

— เดนิส

Btw ที่ช่วยให้การยกกำลังสองทำให้ปัญหา EXPSPACE เสร็จสมบูรณ์ผลลัพธ์ที่คุณกล่าวถึงนั้นไม่ได้ยกกำลังสอง

— เดนิส

สำหรับสามารถแก้ไขได้ในเวลาคงที่ สำหรับสำหรับสตริงคงที่จะสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม สำหรับเป็น PSPACE ที่สมบูรณ์ มีไม่ที่ทำให้เกิดปัญหา - เสร็จสมบูรณ์?

E_{1} = \emptyset

$E_1 = \emptyset$

E_{1} = w

$E_1 = w$

w

$w$

E_{1} = Σ^{*}

$E_1 = \Sigma^{*}$

E_{1}

$E_1$

N P

$NP$

— Michael Wehar

โอเคขอบคุณ! @ Denis โปรดเปลี่ยนเป็นคำตอบ (มีการอ้างอิง) และฉันจะยอมรับมัน!

— Florent Foucaud

@MichaelWehar: มีบางกรณีที่ทำให้ coNP สมบูรณ์ได้รับการพิสูจน์ที่นี่ ( doi.org/10.1137/080743457 ) แต่ไม่ใช่สำหรับภาษาที่แน่นอน (แต่สำหรับชั้นเรียนภาษาที่จำกัด มาก)

— Florent Foucaud

กรณีเฉพาะของความเป็นสากลทางภาษา (ทุกคำเป็นที่ยอมรับ?) นั้นสมบูรณ์แบบสำหรับ PSPACE สำหรับการแสดงออกปกติหรือ NFAs มันตอบคำถามของคุณ: โดยทั่วไปปัญหาการเข้าพัก PSPACE สมบูรณ์แม้สำหรับการแก้ไขตั้งแต่สอดคล้องภาษาสากลที่จะ * $E_1$ $E_1=\Sigma^*$

เป็นเรื่องยากที่จะหาหลักฐานความแข็ง PSPACE ที่อ่านง่ายสำหรับความเป็นสากลในการแสดงออกตามปกติเนื่องจากถือว่าเป็นนิทานพื้นบ้าน นี่คือรูปแบบการพิสูจน์อย่างรวดเร็วที่ช่วยให้คุณสร้างการพิสูจน์ได้อีกครั้ง:

พิจารณาทัวริงเครื่องบนตัวอักษรใช้พื้นที่พหุนามและให้เป็นคำอินพุตสำหรับMเราจะสร้างการแสดงออกปกติที่ยอมรับทุกคำและถ้าหากไม่เคยมีใครยอมรับการทำงานบนW $M$ $\Sigma$ $p(n)$ $w\in\Sigma^*$ $M$ $e$ $M$ $w$

พิจารณาภาษาประกอบด้วยคำพูดของแบบฟอร์มซึ่งแต่ละคือการกำหนดค่าของความยาวตรง ,คือการกำหนดค่าเริ่มต้นด้วยบน เทปคือการยอมรับและแต่ละคือการเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้องของMคำในอธิบายการดำเนินการยอมรับของM $L_M$ $\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$ $C_i$ $M$ $p(n)$ $C_0$ $w$ $C_f$ $C_i\to C_{i+1}$ $M$ $L_M$ $M$

เราสร้างบนตัวอักษรเช่นที่ยอมรับว่าคำพูดที่ไม่อยู่ในโดยมองหาการละเมิดของความหมายของการL_Mนิพจน์จะเป็นความแตกแยกใหญ่ซึ่งแต่ละคนมองหาการละเมิดที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นค้นหาการละเมิด ความจริงที่ว่าแต่ละมีขนาดตรง(n) ส่วนที่ยุ่งยากที่สุดคือการคาดเดาการละเมิดระหว่างและ $e$ $\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$ $e$ $L_M$ $L_M$ $e$ $e_1+e_2+\dots+e_k$ $e_i$

e_{1} = (Σ^{'})^{*} $ (Σ^{< p (n)} + Σ^{> p (n)}) $ (Σ^{'})^{*}

$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$

C_{i}

$C_i$

p (n)

$p(n)$

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$ : นิพจน์สามารถเปรียบเทียบรูปแบบโลคอลในและรูปภาพในโดยใช้โดยที่และเป็นนิพจน์สำหรับรูปแบบโลคอล ด้วยวิธีนี้เราสามารถเดาได้ว่าการละเมิดฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงของในรูปแบบท้องถิ่นหรือการละเมิดตัวตนนอกรูปแบบนี้ ในท้ายที่สุดเราจะได้รับว่าจึงลดลง ( พหุนาม) ปัญหา PSPACE ตามอำเภอใจเพื่อความเป็นสากลของการแสดงออกปกติ ฉันออกจากรายละเอียดบางอย่าง แต่สิ่งนี้จะช่วยให้คุณสร้างหลักฐานที่สมบูรณ์

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$

t (Σ^{'})^{p (n)} t^{'}

$t(\Sigma')^{p(n)}t'$

t

$t$

t^{'}

$t'$

M

$M$

L (e) \neq (Σ^{'})^{*} if and only if L_{M} \neq \emptyset if and only if M accepts w

$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$

แน่นอนตามที่ Michael Wehar ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นสำหรับผู้อื่นปัญหาสามารถกลายเป็นเรื่องง่ายขึ้น การจำแนกความซับซ้อนของปัญหานี้ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางในเอกสารนี้ [1] เพื่อความเท่าเทียมกันการกักกันและการครอบคลุม คุณสามารถดูสรุปของผลลัพธ์สำหรับปัญหาความเท่ากันในคำตอบนี้ (มีกรณีที่สมบูรณ์ NP อยู่) $E_1$

สำหรับคำพูดของคุณเกี่ยวกับกำลังสอง: การอนุญาตให้กำลังสองในการแสดงออกปกติทำให้การรวมและปัญหาสากลเสร็จสมบูรณ์ EXPSPACE [2] โปรดสังเกตว่าสิ่งนี้สามารถเห็นได้ในรูปแบบการพิสูจน์ด้านบนเนื่องจากสามารถแสดงด้วยนิพจน์ลอการิทึมขนาดในโดยใช้การสลายตัวแบบไบนารีของมันดังนั้นเราสามารถขึ้นไปได้ เป็น exponentialในขณะที่รักษาขนาดของพหุนามนิพจน์ $(\Sigma')^{p(n)}$ $p(n)$ $p(n)$

[1] ในเรื่องความเท่าเทียมกันการกักกันและครอบคลุมปัญหาสำหรับภาษา แฮร์รี่บีฮันท์, Daniel J.Rosenkrantz, Thomas G.Szymanski วารสารคอมพิวเตอร์และระบบวิทยาศาสตร์ เล่มที่ 12 ฉบับที่ 2 เมษายน 1976 หน้า 222-268

[2] ปัญหาที่เท่าเทียมกันสำหรับการแสดงออกปกติกับ squaring ต้องใช้พื้นที่ชี้แจง Meyer, AR และ L. Stockmeyer การประชุมวิชาการ IEEE ครั้งที่ 13 เรื่องทฤษฎีการสลับเปลี่ยนและออโตมาตา, ต.ค. 1972, pp.125–129

— เดนิส
แหล่งที่มา

ว้าวขอบคุณมากสำหรับการแบ่งปันการอ้างอิง !! นี่มันเรียบร้อย !! :)

— Michael Wehar

เพื่อนร่วมงานของฉันชี้ให้ฉันเห็นแบบสำรวจต่อไปนี้ที่เกี่ยวกับภาษาปกติและปัญหาออโตมาตะและมีการอ้างอิงที่เป็นประโยชน์เพิ่มเติม: sciencedirect.com/science/article/pii/S0890540110001999

— Florent Foucaud