ยกตัวอย่างอัลกอริธึม max-flow ที่มีน้ำหนักไม่ลงตัว?

เป็นที่ทราบกันว่า Ford-Fulkerson หรือ Edmonds-Karp ที่มี heuristic ของท่อไขมัน (อัลกอริธึมสำหรับ max-flow สอง) ไม่จำเป็นต้องหยุดถ้าน้ำหนักบางอย่างไม่มีเหตุผล ในความเป็นจริงพวกเขาสามารถมาบรรจบกับค่าที่ผิด ! อย่างไรก็ตามตัวอย่างทั้งหมดที่ฉันสามารถหาได้ในวรรณคดี [การอ้างอิงด้านล่างบวกการอ้างอิงในนั้น] ใช้เพียงค่าไม่มีเหตุผลเดียว: อัตราส่วนทองคำคอนจูเกต$\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$และค่าอื่น ๆ ที่มีเหตุผลหรือเป็นผลคูณของ $\phi'$. คำถามหลักของฉันคือ:

คำถามทั่วไป: เกิดอะไรขึ้นกับค่าที่ไม่ลงตัวอื่น ๆ ?

ตัวอย่างเช่น (แต่ไม่รู้สึกว่าคุณต้องตอบคำถามเหล่านี้เพื่อโพสต์ - ฉันจะพบคำตอบที่น่าสนใจสำหรับคนใดคนหนึ่งหรือคำถามอื่น ๆ ที่อยู่ภายใต้คำถามทั่วไปด้านบน):

1. มอบให้ใด ๆ $\alpha \in \mathbb{R}$หนึ่งสามารถสร้าง (หรือแม้กระทั่งแสดงการมีอยู่) ตัวอย่างเช่น?

2. ยิ่งอ่อนแอ: มีตัวอย่างที่รู้จักกันว่าใช้ค่าที่ไม่มีเหตุผลเป็นหลักแตกต่างจาก$\phi'$? นั่นคือมีบางส่วน$\alpha$ ซึ่งไม่ใช่ตัวคูณที่มีเหตุผล $\phi'$ (หรือมากกว่านั้นไม่ได้เป็นอย่างยิ่งใน $\mathbb{Q}(\phi')$) และเช่นนั้นก็มีตัวอย่างให้กับ Ford-Fulkerson และ / หรือ Edmonds-Karp ที่ซึ่งน้ำหนักทั้งหมดอยู่ใน $\mathbb{Q}(\alpha)$?

3. ในอีกทางหนึ่งจะมีเหตุผลหรือไม่ $\alpha$เช่นที่ Ford-Fulkerson (resp., Edmonds-Karp) หยุดการทำงานด้วยค่าที่ถูกต้องในกราฟทั้งหมดที่มีน้ำหนักมาจาก$\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$? (หรือมากกว่านั้นอย่างยิ่งจาก$\mathbb{Q}(\alpha)$?)

ในทุกกรณีฉันต้องการสมมติว่าเป็นแบบจำลอง RAM จริงเพื่อให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์และการเปรียบเทียบจำนวนจริงที่แน่นอนเสร็จสิ้นในเวลาที่แน่นอน

(มีอัลกอริธึม max-flow อื่น ๆ ที่รู้กันว่าทำงานในเวลาพหุนามอย่างยิ่งถึงแม้จะมีน้ำหนักจริงตามอำเภอใจซึ่งอาจเป็นเหตุผลว่าทำไมคำถามประเภทนี้อาจไม่ได้รับการสำรวจต่อไป ฉันยังอยากรู้เกี่ยวกับสิ่งนี้)

อ้างอิง

• ตัวอย่างที่น้อยที่สุดสำหรับ Ford-Fulkerson นั้นได้รับจากZwick TCS 1999

• ตัวอย่างสำหรับ Edmonds-Karp ได้รับจาก Queyranne หรือQueyranne Math โรงละครโอเปรา Res 2523แม้ว่าฉันจะไม่รู้ว่าตัวเล็กที่สุด

• สิ่งเหล่านี้สามารถพบได้ในบันทึกการบรรยายของ Jeff Ericksonโดยที่หนึ่งในข้อ 23.5 และที่สองเป็นแบบฝึกหัดที่ 14 ของการบรรยายที่ 23

คำตอบคือสำหรับทุกจำนวนอตรรกยะ $r$มีเครือข่ายอยู่

• กับ $n=6$ จุดยอดและ $m=8$ โค้ง
• ที่เจ็ดโค้งมีความจุเต็ม
• ที่หนึ่งอาร์คมีความจุ $r$,
• และ Ford-Fulkerson อาจล้มเหลวในการยุติ

สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในบทความ

Toshihiko Takahashi:
"เครือข่ายที่เล็กที่สุดและเล็กที่สุดซึ่งขั้นตอนการไหลสูงสุดของ Ford-Fulkerson อาจล้มเหลวในการยุติ"
วารสารการประมวลผลข้อมูล 24, pp 390-394, 2016
ลิงค์: https: //www.jstage.jst.go jp / บทความ / ipsjjip / 24/2 ท่าน / 24_390 / _article

ขอบคุณสำหรับคำถามที่ฉันพบว่าไม่ใช่เรื่องจริง แต่เป็นเรื่องที่น่าขบขัน

ฉันได้ดูในส่วนของ Ford-Ferkulson และฉันคิดว่าฉันได้พบกราฟที่เป็นตัวนับตัวอย่างและมีเพียงขอบเดียวที่มีความจุไม่ลงตัวα (กราฟสามารถทำงานได้กับαใด ๆ )

นี่คือ PDF สรุปความพยายามของฉัน: https://louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf (ขออภัยมันค่อนข้างพูดน้อย แต่ไม่ลังเลที่จะถามคำถาม)

เห็นได้ชัดว่า Ford-Felkurson ช่วยให้เราสามารถเลือกเส้นทางเพิ่มได้ตามที่เราต้องการ ... ฉันไม่แน่ใจว่ามันจะเป็นไปได้สำหรับ Edmond-Karp