ความกว้างของ 3D-grid (mesh หรือ lattice) ด้วย sidelength k คือเท่าใด?

ฉันถามคำถามนี้เมื่อหลายสัปดาห์ก่อนที่mathoverflowแต่ฉันไม่ได้รับคำตอบ

ที่นี่โดย 3D-grid of sidelength ฉันหมายถึงกราฟG = ( V , E )กับV = { 1 , … , k } 3และE = { ( ( a , b , c ) , ( x , y , z ) ) ∣ | a - x | + | b - y | + | $k$$G=(V,E)$$V= \{1,\ldots,k\}^3$กล่าวคือโหนดนั้นถูกวางที่พิกัดจำนวนเต็ม 3 มิติระหว่าง 1 และ kและโหนดเชื่อมต่อกับโหนดอื่น ๆ มากที่สุด 6 โหนดที่แตกต่างกันในการประสานงานหนึ่งโดยแม่นยำ$E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$$k$

กราฟนี้ชื่ออะไร? ฉันจะใช้กริด 3D แต่บางทีตาข่าย 3D หรือตาข่ายสามมิติเป็นสิ่งที่คนอื่นคุ้นเคย

treewidth หรือความกว้างของกราฟคืออะไร? มันถูกเผยแพร่ไปแล้วที่ไหนสักแห่ง?

ฉันรู้แล้วว่าคือจริงๆแล้วมันมีขนาดเล็กกว่าk 2 ให้ฉันนี้แสดงให้เห็นว่าข้อโต้แย้งมาตรฐานแสดงให้เห็นว่าk × k 2D ตารางมี treewidth และ pathwidth kจะไม่ได้อย่างง่ายดายคุย$tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$$k^2$$k\times k$$k$

หากต้องการดูนี้เราพิจารณาการสลายตัวเส้นทางที่ "เรตติ้ง" ตารางโดยใช้ส่วนใหญ่โหนดชุดของรูปแบบ } สังเกต| S c | ≤ ( 3 / 4 ) k 2 + O ( k ) , S 3 / 2 kเป็นชุดดังกล่าวที่ใหญ่ที่สุด ชุดระหว่างS cและ$S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$$|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$$S_{3/2 k}$$S_c$ถูกสร้างขึ้นโดยการกวาดด้วยบรรทัดและต้องการ O ( k )โหนดเพิ่มเติมเพื่อเป็นตัวคั่น แม่นยำยิ่งขึ้นใช้ชุด S c , d = { ( x , y , z ) ∣ ( x + y + z = c ∧ x ≤ d ) ∨ ( x + y + z = c ∧ x ≥ d ) $S_{c+1}$$O(k)$$S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$เป็นเส้นทางของการสลายตัวG$G$

ฉันยังมีความคิดสำหรับการพิสูจน์ที่แสดงแต่ยังไม่เสร็จ$tw(G) = \Omega(k^2)$

ความกว้างของสามารถพิจารณาได้จากผลการทดสอบที่ทราบ FitzGerald [2] แสดงให้เห็นว่าแบนด์วิดธ์ของP 3 kคือ⌊ $P^3_k$$P^3_k$⌋ ฮาร์เปอร์ [3] แสดงเงื่อนไขว่าหากกราฟเป็นไปตามเงื่อนไขก็จะทำให้ความกว้างและแบนด์วิดท์เท่ากัน Moghadam [4,5] และBollobásและผู้นำ [1] แสดงให้เห็นอย่างอิสระว่ากริดหลายมิติใด ๆ เป็นไปตามเงื่อนไขของฮาร์เปอร์ ผลลัพธ์เหล่านี้แสดงถึงความกว้างของพา ธ ของP 3 kก็เท่ากับ⌊$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$$P^3_k$⌋$\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

ในบทความของเราที่ Hsien-Chih กล่าวถึงเราสรุปผลของ FitzGerald ตามที่ Yoshio อธิบาย ฉันเชื่อว่าความลับของไม่เป็นที่รู้จัก$P^3_k$

FYI: ฉันเพิ่งส่งรายงานฉบับภาษาอังกฤษของเราไปที่ arXiv

1. B. Bollobásและ I. ผู้นำการบีบอัดและความไม่เท่าเทียมกันทางสถิติคือ J. Combin ทฤษฎี Ser A 56 (1991) 47-62
2. CH FitzGerald, การจัดทำดัชนีที่เหมาะสมที่สุดของกราฟจุด, คณิตศาสตร์ คอมพ์ 28 (1974), 825-831
3. LH Harper, การกำหนดตัวเลขที่เหมาะสมที่สุดและปัญหาทางด้านอิเล็กทรอนิกส์ในกราฟ, J. Combin ทฤษฎี 1 (2509) 385-393
4. $n$
5. $n$

Pathwidth ของ 3D-grids ได้รับการศึกษาโดย Ryohei Suda, Yota Otachi และ Koichi Yamazaki ในหน้ากระดาษPathwidth ของกริด 3 มิติ IEICE Tech รายงานปี 2552

มันถูกอ้างสิทธิ์ในนามธรรมของกระดาษว่า

ในบทความนี้เราให้ pathwidth ของกริด 3 มิติในรูปแบบปิดโดยการกำหนดความกว้างของจุดสุดยอด

อย่างไรก็ตามขอบเขตที่แม่นยำไม่ได้ระบุไว้ในบทคัดย่อและขณะนี้ฉันไม่สามารถเข้าถึงเอกสารฉบับเต็มได้ บางทีคุณสามารถติดต่อผู้เขียนแบบส่วนตัวและโพสต์คำตอบสำหรับคำถามนี้ด้วยตัวเองถ้าผู้เขียนยินดีที่จะแบ่งปันผล