การตัดสินใจว่าช่วงเวลามีจำนวนเฉพาะหรือไม่

ความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าช่วงเวลาของจำนวนธรรมชาติประกอบด้วยนายกหรือไม่? ตัวแปรของ Sieve of Eratosthenes ให้อัลกอริธึมโดยที่Lคือความยาวของช่วงเวลาและ∼ซ่อนโพลี - ลอการิทึมปัจจัยในจุดเริ่มต้นของช่วงเวลา; เราสามารถทำได้ดีกว่า (ในแง่ของLคนเดียว)?$\tilde O(L)$$L$$\sim$$L$

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ : ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในทฤษฎีจำนวน

คำตอบสั้น ๆ : ถ้าคุณยินดีที่จะถือว่า "คาดเดาจำนวนทฤษฎีที่เหมาะสม" จากนั้นเราสามารถบอกได้ว่ามีความสำคัญในช่วงในเวลาที่P o L Y L o กรัม ( n ) หากคุณไม่เต็มใจที่จะทำเช่นสมมติฐานแล้วมีความเป็นอัลกอริทึมที่สวยงามเนื่องจาก Odlyzko ที่บรรลุn 1 / 2 + o ( 1 )และผมเชื่อว่านี่เป็นที่รู้จักกันดี$[n, n+\Delta]$$\mathrm{polylog}(n)$$n^{1/2 + o(1)}$

ลิงค์ที่เป็นประโยชน์มากที่มีจำนวนของข้อมูลที่ดีเกี่ยวกับปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด : โครงการพหูสูตในขั้นตอนวิธีการที่กำหนดในการหาจำนวนเฉพาะ

คำตอบยาว :

นี่เป็นปัญหาที่ยากงานวิจัยที่กระตือรือร้นและดูเหมือนว่าจะเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับคำถามที่ยากลำบากของการ จำกัด ช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ ปัญหาของคุณนั้นคล้ายกับปัญหาในการค้นหานายกระหว่างและ2 n ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าซึ่งเมื่อเร็ว ๆ นี้เป็นหัวข้อของโครงการ PolyMath (หากคุณต้องการดำน้ำกับคำถามเหล่านี้จริง ๆ ลิงก์นั้นเป็นจุดเริ่มต้นที่ยอดเยี่ยม) โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึมที่ดีที่สุดของเราสำหรับปัญหาทั้งสองนั้นก็เหมือนกัน$n$$2n$

ในทั้งสองกรณีอัลกอริทึมที่ดีที่สุดขึ้นอยู่กับขนาดของช่องว่างระหว่างนายก โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเป็นเช่นนั้นจะมีค่าเฉพาะระหว่างnและn + f ( n ) (และf ( n )สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ) จากนั้นเราจะสามารถหานายกในเวลาp o l y l o g ( n ) ⋅ f ( n )ดังนี้ เพื่อตรวจสอบว่ามีความสำคัญระหว่างnและn $f(n)$$n$$n + f(n)$$f(n)$$\mathrm{polylog}(n) \cdot f(n)$$n$ , ตรวจสอบก่อนว่า Δ ≥ ฉ( n ) ถ้าเป็นเช่นนั้นเอาท์พุทใช่ มิฉะนั้นเพียงวนซ้ำจำนวนเต็มระหว่าง nและ n + Δและทดสอบแต่ละอย่างเพื่อหาคำตอบและตอบใช่ถ้าคุณค้นหานายกและไม่ (สิ่งนี้สามารถทำได้แบบกำหนดแน่นอนซึ่งเป็นสาเหตุที่การค้นหาแบบเฉพาะระหว่าง nและ 2 nนั้นเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการพิจารณาว่ามีนายกในช่วงเวลาที่แน่นอนหรือไม่)$n + \Delta$$\Delta \geq f(n)$$n$$n + \Delta$$n$$2n$

หากจำนวนเฉพาะทำงานเหมือนที่เราคิดว่าพวกเขาทำแล้วนี่คือจุดสิ้นสุดของเรื่องราว (มากถึงปัจจัย) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราคาดว่าจะสามารถที่จะใช้F ( n ) = O ( log 2 n ) เรื่องนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อการคาดเดาของCramérหลัง Harald Cramérและพิสูจน์ได้ว่ามันไกลเกินเอื้อมในขณะนี้ แต่เท่าที่ฉันรู้ก็เชื่อกันอย่างกว้างขวาง (หนึ่งมาถึงการคาดเดานี้เช่นจากฮิวริสติกที่ primes ทำตัวเหมือนชุดสุ่มของจำนวนเต็มที่ได้รับโดยรวมแต่ละจำนวนเต็มn ≥ $\mathrm{polylog}(n)$$f(n) = O(\log^2 n)$$n \geq 3$สุ่มโดยอิสระด้วยความน่าจะเป็น .)$1/\log n$

มีการคาดเดามากมายที่บ่งบอกถึงขอบเขตที่อ่อนแอกว่าเช่นการคาดเดาของเลอช็องดร์ (ฉันไม่ได้ตระหนักถึงการคาดเดาใด ๆ ที่เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นสื่อกลางถึงแม้ว่าฉันจะจินตนาการว่ามันมีอยู่) และสมมติฐานของรีมันน์เป็นที่รู้กันว่าบ่งบอกถึงขอบเขตที่คล้ายกันf(n)≤O($f(n) \leq O(\sqrt{n})$) ดังนั้นหากคุณถือว่าการคาดเดาเหล่านี้คุณต้องจับคู่อัลกอริธึมของ Odlyzko (ปัจจัยหนึ่งคือn o ( 1 ) ) ด้วยอัลกอริทึมที่ง่ายกว่ามาก$f(n) \leq O(\sqrt{n} \log n)$$n^{o(1)}$

ผมเชื่อว่าสิ่งที่ดีที่สุดที่ไม่มีเงื่อนไขที่เหมาะสมที่ถูกผูกไว้ในขณะนี้คือเนื่องจากเบเกอร์ Harman และ Pintz ดังนั้นถ้าคุณถือว่าไม่มีอะไรแล้วอัลกอริทึมของ Odlyzko เต้นอัลกอริทึมที่เห็นได้ชัดโดยประมาณปัจจัยของn 0.025$\widetilde{O}(n^{0.525})$$n^{0.025}$