ตัวเลขธรรมชาติที่ไม่สามารถเทียบเคียงได้

"ชื่อเกมที่มีจำนวนมากที่สุด" ขอให้ผู้เล่นสองคนเขียนหมายเลขลงไปอย่างลับๆและผู้ชนะคือคนที่เขียนหมายเลขที่ใหญ่กว่า เกมโดยทั่วไปอนุญาตให้ผู้เล่นเขียนฟังก์ชันประเมินที่จุดดังนั้นจะเป็นสิ่งที่ยอมรับได้ในการเขียน $2^{2^{2^{2}}}$

ค่าของฟังก์ชั่นบีเวอร์วุ่นวายไม่สามารถกำหนด (ใน ZFC หรือที่เหมาะสมของระบบซึ่งเป็นจริงใด ๆ ที่สอดคล้องกัน) สำหรับค่าที่มีขนาดใหญ่ของxโดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่สามารถกำหนดได้ตามเอกสารนี้ อย่างไรก็ตามนี่ไม่ได้หมายความว่าเราไม่สามารถเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชั่น Busy Beaver ได้ ตัวอย่างเช่นเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นต่อเนื่องอย่างเคร่งครัด $BB(x)$ $x$ $BB(10^4)$ $BB(x)$

สมมติว่าเราอนุญาตให้ผู้เล่นเขียนนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของฟังก์ชันพื้นฐานหมายเลขธรรมชาติและฟังก์ชัน Busy Beaver มีการแสดงออกสองอย่างที่ผู้เล่นสองคนสามารถเขียนลงไปได้เช่นนี้เราสามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC ว่าการตัดสินผู้ชนะใน ZFC นั้นเป็นไปไม่ได้ (สมมติว่า ZFC สอดคล้องกัน)?

แก้ไข:เดิมคำถามนี้กล่าวว่า "... การรวมกันของฟังก์ชั่นคำนวณตัวเลขโดยธรรมชาติและฟังก์ชั่น Busy Beaver"

ถ้าเราปล่อยให้หาค่าเป็นถ้า [สิ่งที่ไม่ใหญ่โตและไม่สามารถอธิบายได้บนเว็บไซต์นี้] และถ้าไม่ใช่มันก็และนั้นหาที่เปรียบมิได้ $f(x)$ $3$ $BB(x) >$ $7$ $f(10^4)$ $6$

สิ่งนี้ไม่เป็นที่น่าพอใจสำหรับฉันเพราะไม่ได้เป็นฟังก์ชั่นที่สมเหตุสมผลสำหรับบางคนที่ใช้ในเกมนี้ ฉันไม่เห็นวิธีการพูดปรีชาของฉันเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่อย่างใดดังนั้นฉันจึง จำกัด คำถามเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้ฟังก์ชันแบบเป็นชิ้น $f$

computability undecidability

— Stella Biderman
แหล่งที่มา

ความไม่สามารถถอดรหัสได้ของสามารถขยายไปถึงบิตส่วนบุคคลหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณต้องทำอะไรบางอย่างเช่นเปรียบเทียบบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของกับบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดที่ 8

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

— mhum

@mhum คำถามแบบนั้นมีความยุ่งยากเพราะค่าของนั้นขึ้นอยู่กับการเข้ารหัส มีการเข้ารหัสที่เสมอแม้กระทั่งตัวอย่างเช่น ความเข้าใจของฉันคือคำถามทุกข้อในบรรทัดเหล่านั้นอาจคำนวณได้หรือเปิดกว้างขึ้นอยู่กับการเข้ารหัส

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

— Stella Biderman

ตามคำตอบในโพสต์นี้: cstheory.stackexchange.com/questions/9652/ …ดูเหมือนว่าบีบีจะพูดซ้ำซากอย่างเคร่งครัด

— Avi Tal

ศิลปะการเล่นเกมดังกล่าวคือการทำให้กฏกติกาดังนั้นฉันไม่คิดว่ามันจะนับว่าฟังก์ชั่นบางอย่างไม่มีเหตุผล ถ้าเราจะเล่นเกมฉันจะตีคุณด้วยฟังก์ชั่นที่น่าขยะแขยงที่สุดที่ฉันนึกออก (และฉันเป็นนักตรรกวิทยา)

— Andrej Bauer

B (m) > n

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

$B$ $\Phi$ $\iff$ $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ $\Phi$

$\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{i = 1}^{k} (B (m_{i}) - n_{i})^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

\begin{matrix} (*) & \sum_{i = 1}^{k} B (m_{i})^{2} + n_{i}^{2} > \sum_{i = 1}^{k} 2 B (m_{i}) n_{i} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

$m_i$ $n_i$

— Bjørn Kjos-Hanssen
แหล่งที่มา

n, m

$n,m$

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$