ปัญหาของการตัดสินใจว่า CNF แบบโมโนโทนมีความหมายถึง DNF แบบโมโนโทนหรือไม่

พิจารณาปัญหาการตัดสินใจต่อไปนี้

การป้อนข้อมูล : เป็นเสียงเดียว CNF $\Phi$ และเสียงเดียว DNF Ψ $\Psi$

คำถาม : $\Phi \to \Psi$ ซ้ำซากหรือไม่

แน่นอนคุณสามารถแก้ปัญหานี้ใน $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ - เวลาโดยที่ $n$ คือจำนวนของตัวแปรใน $\Phi \to \Psi$ และ $l$ คือความยาวของอินพุต ในทางกลับกันปัญหานี้เป็น coNP-complete นอกจากนี้การลดลงซึ่งกำหนด coNP-ครบถ้วนนอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าเว้นแต่ SETH ล้มเหลวไม่มี $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ อัลกอริธึมเวลาสำหรับปัญหานี้ (สิ่งนี้จะเก็บไว้ที่ค่าบวก $\varepsilon$ ) นี่คือการลดนี้ ให้ $A$ เป็น CNF ที่ไม่ใช่เสียงเดียวและปล่อยให้ $x$ เป็นตัวแปร แทนที่การเกิดขึ้นในเชิงบวกของ $x$ ด้วย $y$ ทุกครั้งและการเกิดขึ้นทางลบของ $x$ by $z$ ทุกครั้ง ทำเช่นเดียวกันสำหรับทุกตัวแปร ให้เสียงเดียวที่เกิด CNF จะΦ $\Phi$ มันง่ายที่จะเห็นว่า $A$ นั้นเป็นที่น่าพอใจถ้าหาก $\Phi \to yz \lor \ldots$ ไม่ใช่เรื่องน่าเบื่อหน่าย การลดลงนี้ทำให้จำนวนตัวแปรเพิ่มขึ้นด้วยปัจจัย 2 ซึ่งหมายถึง $2^{n/2}$ (ตาม SETH) ขอบเขตล่างที่กล่าวถึงข้างต้น

ดังนั้นจึงมีช่องว่างระหว่าง $2^{n/2}$ และ $2^n$ time คำถามของฉันคือรู้จักอัลกอริทึมที่ดีกว่าหรือดีกว่าการลด SETH หรือไม่

ดูเหมือนว่ามีข้อสังเกตสองข้อที่เกี่ยวข้องกับปัญหา:

ปัญหาย้อนกลับของการบอกว่าโมโนโทนโทน DNF มีความหมายว่าโมโนโทนหรือ CNF สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือไม่
ที่น่าสนใจปัญหาของการตัดสินใจว่า $\Phi$ และ $\Psi$ คำนวณฟังก์ชั่นเดียวกัน สามารถแก้ไขได้ในเวลากึ่งพหุนามเนื่องจาก Fredman และ Khachiyan (บนความซับซ้อนของ Dualization ของ Monotone Disjunctive Form, Journal of Algorithms 21 (1996), no. 3 , pp. 618–628, ดอย: 10.1006 / jagm.1996.0062 )

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— Sasha Kozachinskiy
แหล่งที่มา

สมมติว่า SETH ปัญหาคือไม่ได้แก้ปัญหาได้ในเวลาสำหรับการใด ๆ 0 $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

ก่อนอื่นให้ฉันแสดงให้เห็นว่านี่เป็นความจริงสำหรับปัญหาทั่วไปที่และอาจเป็นสูตรโมโนโทนโดยพลการ ในกรณีนี้มีการลด ctt แบบโพลีเวลาจาก TAUT เป็นปัญหาที่รักษาจำนวนของตัวแปร ให้แสดงถึงฟังก์ชันขีด จำกัด $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$ การใช้เครือข่ายการคัดแยก Ajtai – Komlós – Szemerédiทำให้สามารถเขียนได้โดยสูตรโมโนโพเน่ขนาดพหุนามซึ่งสามารถสร้างได้ในเวลา

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = 1 ⟺ | {i < n : x_{i} = 1} | \geq t .

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$ )

รับสูตรบูลีนเราอาจใช้กฎ De Morgan เพื่อเขียนในรูปแบบ ที่เป็นเสียงเดียว จากนั้น $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, \neg x_{0}, \dots, \neg x_{n - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$ เป็นซ้ำซากถ้าหากว่าเดียวความหมาย

ใช้ได้กับทุก

โดยที่

T_{t}^{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \to ϕ^{'} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}, N_{0}, \dots, N_{n - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

N_{i} = T_{t}^{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n - 1}) .

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

สำหรับความหมายจากซ้ายไปขวาให้จะโอนความพึงพอใจของคืออย่างน้อยคน มีกับที่แน่นอน แล้วจึงนัย $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ )เนื่องจากนี่เป็นสูตรโมโนโทนเราจึงมี $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ )ความหมายจากขวาไปซ้ายคล้ายกัน

ตอนนี้ให้ฉันกลับไปที่ปัญหาเดิม ผมจะแสดงต่อไปนี้: ถ้าเป็นปัญหาที่แก้ไขได้ในเวลาแล้วสำหรับการใด ๆ , -DNF-ตึง (หรือ dually, -SAT) เป็นแก้ปัญหาได้ในเวลา $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ )ซึ่งหมายความถ้า SETH ถือ $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

ดังนั้นถือว่าเราจะได้รับ -DNF ที่สำหรับแต่ละฉันเราแบ่งตัวแปรออกเป็นบล็อกของขนาด $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

แต่ละอัน ด้วยเหตุผลเดียวกับข้างบน

คือถ้าหากมีความหมายซ้ำซาก

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

\begin{matrix} (* * * *) & \underset{ยู < n^{'}}{⋀} T_{{เสื้อ}_{ยู}}^{ข} (x_{ข ยู}, ..., x_{ข (ยู + 1) - 1}) \to \underset{ผม < ล.}{⋁} (\underset{J \in A_{ผม}}{⋀} x_{J} \land \underset{J \in B_{ผม}}{⋀} {ยังไม่มีข้อความ}_{J}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

N_{j} = T_{t_{u}}^{b - 1} (x_{b u}, \dots, x_{b u + j^{'} - 1}, x_{b u + j^{'} + 1}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$ ดังนั้น LHS ของ

(*)

$(*)$ เป็นขนาด CNF เดียว

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$ . ทางด้านขวามือเราอาจเขียน

N_{j}

$N_j$ เป็น DNF ขนาดเดียว

O (2^{b})

$O(2^b)$ . ดังนั้นการใช้การกระจายตัวแต่ละส่วนของ RHS สามารถเขียนเป็นขนาด DNF แบบโมโนโทน

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$ และ RHS ทั้งหมดเป็นขนาด DNF

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$ . มันติดตามว่า

(*)

$(*)$ เป็นตัวอย่างของปัญหาขนาดของเรา

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$ ใน

n

$n$ ตัวแปร โดยสมมติฐานเราอาจตรวจสอบความถูกต้องในเวลา

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$ . เราทำซ้ำการตรวจสอบนี้สำหรับทุกคน

b^{n^{'}}

$b^{n'}$ ทางเลือกของ

\vec{t}

$\vec t$ ดังนั้นเวลาทั้งหมดคือ

O ((ข + 1)^{n / ข} 2^{δ n + O (k ข)} {ล.}^{O (1)}) = O (2^{δ n + O (\sqrt{k n เข้าสู่ระบบ n})} {ล.}^{O (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$ ตามที่อ้างสิทธิ์

เราได้รับการเชื่อมต่อที่แน่นยิ่งขึ้นกับ (S) ETH โดยพิจารณาจากปัญหาความกว้างแบบขอบเขต: สำหรับสิ่งใด ๆ $k\ge3$ , ปล่อย $k$ -MonImp แสดงถึงข้อ จำกัด ของปัญหาที่ $\Phi$ คือ $k$ -CNF และ $\Psi$ คือ $k$ -DNF (S) ETH เกี่ยวข้องกับค่าคงที่

\begin{aligned} s_{k} & = INF {δ : k - S A T \in D T ผม M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = จีบ {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$ ในทำนองเดียวกันให้เรากำหนด

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = INF {δ : k - M โอ n ผม ม. พี \in D T ผม M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = จีบ {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$ เห็นได้ชัดว่า

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$ เช่นเดียวกับในกรณี SAT เรายังมี

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$ และการลดลงของตัวแปรคู่ในคำถามแสดง

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$ ตอนนี้ถ้าเราใช้สิ่งก่อสร้างด้านบนด้วยขนาดบล็อกคงที่

b

$b$ เราได้รับ

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{\log (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$ hence

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$ In particular, SETH is equivalent to

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$ , and ETH is equivalent to

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$ for all

k \geq 3

$k\ge3$ .

— Emil Jeřábek supports Monica
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! ฉันอยากรู้ว่ามันเป็นไปได้ที่จะทำ

Φ

$\Phi$ และ

Ψ

$\Psi$ ความลึกคงที่ในการก่อสร้างนี้? กล่าวคือฉันไม่ทราบว่าสูตรโมโนโพลเชิงลึกขนาดคงที่แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลขนาดคงที่ (หรือแม้แต่วงจรที่ไม่ใช่โมโนโทน) เป็นที่รู้จักสำหรับ

T_{k}^{n}

$T^n_k$ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับคนส่วนใหญ่)? แน่นอนว่ามี

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$ ขอบเขตล่างสำหรับความลึก -

d

$d$ แต่พูด

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ ขนาดจะตกลง

— Sasha Kozachinskiy

T_{k}^{n}

$T^n_k$ , and in general anything computable by polynomial-size formulas (i.e., in NC^1), has depth-

d

$d$ circuits of size

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$ . See e.g. cstheory.stackexchange.com/q/14700 . I will have to think if you can make them monotone, but it sounds plausible.

— Emil Jeřábek supports Monica

OK. First, the generic construction works fine in the monotone setting: if a function has poly-size monotone formulas, it has depth-

d

$d$ monotone circuits of size

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$ for any

d \geq 2

$d\ge2$ . Second, for

T_{k}^{n}

$T^n_k$ specifically, it is easy to construct monotone depth-

3

$3$ circuits of size

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$ by splitting the input into blocks of size

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$ .

— Emil Jeřábek supports Monica

Actually, pushing this idea a little bit more, it does provide an answer to the original question: assuming SETH, the lower bound holds already for

Φ

$\Phi$ monotone CNF and

Ψ

$\Psi$ monotone DNF. I will write it up later.

— Emil Jeřábek supports Monica

I would guess that you can divide all the variables into about

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ blocks

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$ and then write

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$ for every

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$ . You can use

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$ -size CNF for every threshold function. But then on a right hand side you will have not DNF but a depth-3 formula...

— Sasha Kozachinskiy