วิธีการขนาดเล็กสามารถเป็นวงจรบูลชั้นสำหรับการทำงานที่มีความซับซ้อนวงจร

พิจารณาฟังก์ชันคำนวณโดยวงจรบูลีนมีอินพุตของขนาดบนพื้นฐาน (กับ indegree 2 สำหรับประตู) $f$ $C$ $n$ $s(n) = \mathsf{poly}(n)$ $\{\mathsf{XOR},\mathsf{AND},\mathsf{NOT}\}$ $\mathsf{XOR},\mathsf{AND}$

วงจรบูลีนเป็นชั้นถ้ามันสามารถจัดเป็นชั้น ( เป็นความลึกของวงจร) ของประตูดังกล่าวว่าขอบใด ๆ ระหว่างสองประตูเชื่อมต่อชั้นที่อยู่ติดกัน $d$ $d$

เนื่องจากมีวงจรบูลีนขนาดเราสามารถพูดอะไรเกี่ยวกับขนาดของวงจรคอมพิวเตอร์แบบเลเยอร์ ? มีเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ถูกผูกไว้บน: โดยการเพิ่มโหนดเพื่อหุ่นในแต่ละชั้นข้ามขอบที่เราได้รับวงจรชั้นขนาดที่มากที่สุด )แต่เราจะดีขึ้นโดยทั่วไป (เช่นหรือ ) หรือสำหรับวงจรที่น่าสนใจ? $f$ $s$ $f$ $C$ $O(s^2)$ $O(s\cdot \log s)$ $O(s)$

พื้นหลัง. คำถามนี้เกิดขึ้นจากผลล่าสุดในการเข้ารหัสซึ่งแสดงวิธีการคำนวณปลอดภัยชั้นวงจรบูลีนขนาดกับการสื่อสาร (เช่นหรือ ; ฉันกำลังพยายามที่จะเข้าใจว่าข้อ จำกัด นี้สำหรับวงจรบูลีนที่เป็นชั้น ๆ สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไรสำหรับวงจรทั่วไปหรือสำหรับวงจร "ธรรมชาติ" อย่างไรก็ตามฉันไม่ได้พบอะไรมากเกี่ยวกับวงจรแบบชั้นในวรรณกรรม ตัวชี้ที่เหมาะสมก็จะได้รับการต้อนรับ $s$ $o(s)$ $s/\log s$ $s/\log\log s)$

circuit-complexity circuits

— Geoffroy Couteau
แหล่งที่มา

นี่คือตัวอย่างของวงจรที่ดูเหมือนยากที่จะแปลงเป็นวงจรแบบเลเยอร์โดยไม่มีการระเบิดขนาดใหญ่ กําหนด

จะเป็นฟังก์ชั่นบางอย่างที่สามารถคำนวณขนาดยู

กำหนด

f : {0, 1}^{n - 1} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^{n-1} \to \{0,1\}$

u

$u$

และให้

เป็น

ซ้ำกรัม

จากนั้น

มีขนาด

)

มันดูเหมือนยากที่จะสร้างวงจรชั้นที่มีขนาดน้อยกว่า

)

ดังนั้นถ้า

บางทีเราควรคาดหวังว่าช่องว่างระหว่างขนาดของวงจรเทียบกับขนาดของวงจรแบบเลเยอร์ ไม่ใช่ข้อพิสูจน์เป็นเพียงตัวอย่างที่ชี้นำเพื่อขับสัญชาตญาณ

g (x_{1}, \dots, x_{n}) = (x_{2}, \dots, x_{n}, x_{1} \oplus f (x_{2}, \dots, x_{n}))

$g(x_1,\dots,x_n) = (x_2,\dots,x_n,x_1 \oplus f(x_2,\dots,x_n))$

C

$C$

t

$t$

g

$g$

C

$C$

O (t u)

$O(tu)$

Θ (n t)

$\Theta(nt)$

u = o (n)

$u=o(n)$

— DW

เท่าที่ผมจำได้ว่าสำหรับวงจรชั้นที่ดีที่สุดที่รู้จักกันเป็นขอบเขตล่างของฟอร์ม

)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์สำหรับ

-to-

ฟังก์ชัน ยกตัวอย่างเช่นแผนที่เชิงเส้น

ที่

มีเลขศูนย์บนเส้นทแยงมุมหลักเท่านั้น จากนั้นก็จะต้องมีอย่างน้อย

ประตูในทุกชั้นและจำนวนของชั้นเป็นอย่างน้อย

โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นนี้สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยวงจรปกติขนาด

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n

$n$

n

$n$

A x

$Ax$

A \in {0, 1}^{n \times n}

$A \in \{0,1\}^{n \times n}$

n

$n$

\log_{2} n

$\log_2 n$

)

สำหรับฟังก์ชั่นเอาต์พุตเดียวมันเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ขอบเขตล่างเดียวกัน แต่ฉันไม่จำอาร์กิวเมนต์

O (n)

$O(n)$

— Alexander S. Kulikov

ขอบคุณมากสำหรับความคิดเห็น @ AlexanderS.Kulikov เป็นคติชนโต้แย้งของคุณหรือคุณมีตัวชี้บางอย่างสำหรับการทำงานในวงจรชั้น?

ทำให้รู้สึก - ฉันจะได้รับมากด้วยความประหลาดใจบางสิ่งบางอย่างที่มีขนาดเล็ก - แต่เป็น

เท่านั้นที่รู้จักขอบเขตบน?

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Geoffroy Couteau

ฉันคิดว่ามันเป็นคติชนใช่ ฉันไม่แน่ใจว่าฉันได้รับคำถามเกี่ยวกับขอบเขตบน

คุณอาจต้องการดูกระดาษต่อไปนี้: cs.utexas.edu/~panni/sizedepth.pdf

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Alexander S. Kulikov

ฉันคิดว่าเราไม่รู้การเปลี่ยนแปลงที่ดีกว่า

โดยทั่วไป โปรดทราบว่าวงจรขนาด

และความลึก

สามารถเปลี่ยนเป็นวงจรชั้นขนาดที่มากที่สุด

(ซึ่งในกรณีที่แย่ที่สุดทำให้วงจรมีขนาด

) ฉันแค่อยากจะชี้ให้เห็นว่าถ้าเราสามารถพิสูจน์ขอบเขตล่างของ

กับขนาดของวงจรแบบเลเยอร์ ให้ขอบเขตล่างแบบซุปเปอร์เชิงเส้นกับขนาดของวงจรเชิงลึกสำหรับบันทึกสำหรับฟังก์ชันนี้ คำถามนี้ยังคงเปิดให้บริการมานานกว่า 40 ปี

O (s^{2})

$O(s^2)$

s

$s$

d

$d$

d s

$ds$

O (s^{2})

$O(s^2)$

ω (n \log n)

$\omega(n\log{n})$

— Alex Golovnev

เท่าที่ฉันรู้มีการศึกษาวงจรสามชั้น ในนิยามทั้งหมดเหล่านี้อนุญาตให้ใช้ระหว่างสองเลเยอร์ที่อยู่ติดกันเท่านั้น

วงจรเรียกว่าซิงโครนัส ( ฮาร์เปอร์ 1977 ) หากประตูทั้งหมดถูกจัดเรียงเป็นเลเยอร์และอินพุตต้องอยู่ที่ชั้น 0 (คำจำกัดความเทียบเท่า: สำหรับประตู $g$ ใด ๆเส้นทางทั้งหมดจากอินพุตไปยัง $g$ มีความยาวเท่ากัน)
วงจรเป็นแบบซิงโครนัสในพื้นที่ ( Belaga 1984 ) ถ้าแต่ละอินพุตเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว แต่อยู่ที่เลเยอร์โดยพลการ
$g$ $o$ $g$ $o$

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าคลาสทั้งสามนั้นมีอยู่ในรายการจากจุดอ่อนที่สุดไปจนถึงจุดแข็งที่สุด

$s$

$s$ $s^2$
$\omega(s\log{s})$ $s$ $d$ $O(sd)$ $f$ $\omega(n\log{n})$ $f$ $O(\log{n})$ $O(n)$
มีฟังก์ชั่นที่ชัดเจนอยู่

$\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

$\Omega(n\log{n})$ $O(n)$

$n$

$f\colon\{0,1\}^n\to\{0,1\}^n$ $i$ $i$ $O(n)$ $\log{n}$ $n$ $n$ $f$ $\Omega(n\log{n})$ $n-1$ $\Omega(\log{n})$ $n$ $n$

— อเล็กซ์ Golovnev
แหล่งที่มา