อัลกอริทึมที่เวลาทำงานขึ้นอยู่กับ P กับ NP

มีตัวอย่างที่ทราบชัดเจนของอัลกอริทึมที่มีคุณสมบัติดังกล่าวหรือไม่ถ้า$P\neq NP$ดังนั้นอัลกอริทึมนี้จะไม่ทำงานในเวลาพหุนามและถ้า$P=NP$จะทำงานในเวลาพหุนามหรือไม่

ถ้าคุณคิดว่า$P=^?NP$สามารถพิสูจน์ได้ใน PA (หรือ ZFC) ตัวอย่างที่ไม่สำคัญมีดังต่อไปนี้:

Input: N   (integer in binary format)
For I = 1 to N do
begin
  if I is a valid encoding of a proof of P = NP in PA (or ZFC)
    then halt and accept
End
Reject

อีกตัวอย่างที่น่าสนใจน้อยกว่าที่ไม่มีข้อสันนิษฐานคือ:

Input: x   (boolean formula)
Find the minimum i such that
  1) |M_i| < log(log(|x|))  [ M_1,M_2,... is a standard fixed TM enumeration] 
  2) and  M_i solves SAT correctly 
       on all formulas |y| < log(log(|x|))
          halting in no more than |y|^|M_i| steps
          [ checkable in polynomial time w.r.t. |x| ]
  if such i exists simulate M_i on input x 
      until it stops and accept/reject according to its output
      or until it reaches 2^|x| steps and in this case reject;
  if such i doesn't exist loop for 2^|x| steps and reject.

ถ้า$P =NP$อัลกอริทึมจะเร็ว ๆ นี้หรือในภายหลัง - คิดว่าการป้อนข้อมูล$x_0$ - หาดัชนีของพหุนามเวลาเครื่องทัวริง (หรือรุ่นที่เบาะมัน) $M_{SAT}$ที่แก้ SAT ใน$O( |x| ^ { |M_{SAT}| })$และสำหรับอินพุตทั้งหมดที่มากกว่า$x_0$จะทำการจำลองต่อไปและหยุดในเวลาพหุนาม (โปรดทราบว่าขั้นตอนที่ 2 สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม) ในคำอื่น ๆ ถ้า$P = NP$ อัลกอริทึมแก้ SAT ในเวลาพหุนามในทุกกรณียกเว้นจำนวน จำกัด

ถ้า$P \neq NP$อัลกอริทึมจะทำงานในเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียล