ความซับซ้อนของเกมนี้คืออะไร?

นี่เป็นข้อสรุปทั่วไปของคำถามก่อนหน้าของฉันคำถามก่อนหน้านี้

Let $M$เป็นพหุนามเวลาเครื่องกำหนดว่าสามารถถามคำถามบาง oracle เริ่มแรกAว่างเปล่า แต่สามารถเปลี่ยนแปลงได้หลังจากเกมที่จะอธิบายไว้ด้านล่าง ให้xเป็นสตริง$A$$A$$x$

พิจารณาเกม Alice และ Bob ต่อไปนี้ ในขั้นต้นอลิซและบ็อบมี$m_A$และ$m_B$ดอลลาร์ตามลำดับ Alice ต้องการ$M^A(x)=1$และ Bob ต้องการ$M^A(x)=0$ 0

ในทุกขั้นตอนของเกมผู้เล่นสามารถเพิ่มสตริง$y$ลงใน$A$ ; ค่าใช้จ่ายนี้$f(y)$ดอลล่าร์โดยที่$f: \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$เป็นฟังก์ชันคำนวณเวลาแบบพหุนาม นอกจากนี้ผู้เล่นสามารถพลาดขั้นตอนของเขาหรือเธอ

การเล่นสิ้นสุดลงหากผู้เล่นทั้งสองใช้เงินทั้งหมดหรือหากผู้เล่นบางคนพลาดขั้นตอนที่เขาหรือเธออยู่ในตำแหน่งแพ้ (ซึ่งกำหนดโดยมูลค่าปัจจุบันของ$M^A(x)$ )

คำถาม:ปัญหาของการกำหนดผู้ชนะของเกมนี้สำหรับ $M, f, x, m_A, m_B$คือ

EXPSPACE - งานที่เสร็จสมบูรณ์หรือไม่

โปรดทราบว่า$M$สามารถถาม (สำหรับที่อยู่) เพียงสตริงของความยาวพหุนามเพื่อให้มีความรู้สึกที่อลิซหรือบ๊อบที่จะเพิ่มสายอีกต่อไปมากขึ้นที่จะไม่มี ดังนั้นปัญหานี้อยู่ในEXPSPACE $A$$A$

ในคำถามก่อนหน้าของฉันการเพิ่มทุกสตริงลงใน$A$ค่าใช้จ่ายหนึ่งดอลลาร์ (เช่น$f \equiv 1$ ) จากนั้น (ตามที่แสดงโดยLance Fortnow ) เกมนี้เป็นของEXPHและแม้กระทั่งPSPACEถ้า$m_A = m_B$ B

นี่ควรเป็น EXPSPACE-complete ฉันจะร่างวิธีการทำให้เกิดการสลับกันแบบเลขชี้กำลังแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลโดยไม่ลดปัญหาที่สมบูรณ์แบบของ EXPSPACE ลงไปในปัญหานี้

แสดงว่าคำใน oracle หลังจากที่$t$รอบโดยทีดังนั้นในขั้นแรก0 = ∅ แสดงว่าคำสอบถามโดยM เสื้อโดยQที สังเกตที่สำคัญคือว่าใครก็ตามที่จะสูญเสียกับเสื้อสามารถสันนิษฐานว่าจะเพิ่มอะไรบางอย่างจากคิวทีจะ นี่เป็นเพราะในเกมนี้ทุกการเคลื่อนไหวมีค่าใช้จ่ายเราต้องการย้ายให้น้อยที่สุด ไม่มีประเด็นใดที่จะขยับจนกว่าเราจะชนะ แต่นี่ก็หมายความว่าถ้าเราแพ้ไม่มีจุดเพิ่มอะไรจากนอกQ t$A_t$$A_0=\emptyset$$M^{A_t}$$Q_t$$A_t$$Q_t$$A$$Q_t$ที

สมมติว่าสำหรับความเรียบง่ายที่$M$วิ่งตรง$2n$ขั้นตอนและในขั้นตอนที่$2i$และ$2i+1$จะค้นหาคำที่มีความยาวตรงผม$i$ฟังก์ชั่นค่าใช้จ่าย$f$ก็จะเป็น$2^{-i}$กับคำพูดของความยาวของผม$i$เกมดังกล่าวจะทำให้อลิซต้องเพิ่มคำที่มีความยาวคี่เสมอและบ๊อบจำเป็นต้องเพิ่มคำที่$A$ความยาวเป็น Aเสมอ สมมติว่า$n$เป็นเลขคี่และในตอนแรกอลิซกำลังแพ้

งบประมาณ$m_A$และ$m_B$จะถูกตั้งค่าเพื่อให้เธอสามารถเลือกว่าหนึ่งของความยาว$n$คำสอบถามโดย$M^{A_0}$ที่จะเพิ่ม เกมดังกล่าวจะทำให้เธอเป็นผู้ชนะดังนั้นบ็อบจะต้องย้าย อีกครั้งเนื่องจากข้อ จำกัด ด้านงบประมาณของเขาจะต้องเลือกว่าหนึ่งของความยาวn - 1คำสอบถามโดยM 1ที่จะเพิ่ม หลังจากเพิ่มสิ่งเหล่านี้แล้วM A 2จะสอบถามความยาวใหม่สองค่าn A$A$$n-1$$M^{A_1}$$A$$M^{A_2}$$n$คำคำ (เหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงคำที่ Bob เพิ่มเข้ามา$A$ ) และ Bob จะชนะ อลิซจะถูกบังคับให้เพิ่มว่าหนึ่งในใหม่เหล่านี้มีความยาว$n$คำที่จะทำให้เธอชนะ$A$

เกมดำเนินต่อไปในลักษณะนี้ซึ่งสามารถจินตนาการได้ตามกิ่งก้านของต้นไม้ไบนารีที่สมบูรณ์ของความลึก$n$แม้ว่าในแต่ละโหนดการแยกกิ่งก้านของผู้เล่นคนใดคนหนึ่ง ทางเลือกที่เกี่ยวกับคำที่จะเพิ่มไปยัง หลังจากที่พวกเขาเดินผ่านต้นไม้พวกเขาจะใช้งบประมาณจนหมด หากในขั้นตอนใดของเกมหนึ่งในนั้นตัดสินใจที่จะเพิ่มคำที่สั้นกว่า (เช่น Alice a length k < n word จากQ 0$A$$k<n$$Q_0$ในขั้นตอนแรก) จากนั้นหากผู้เล่นคนอื่น (ในตัวอย่าง Bob ของเรา) เพียงแค่เล่นคำที่ยาวที่สุดที่เขาสามารถทำได้ในต้นไม้ไบนารีเขาจะมีเงินเหลืออยู่ตอนท้ายและเราสร้างเกมเพื่อให้เขาสามารถใช้สิ่งนี้ ที่จะชนะ. (โปรดทราบว่าอลิซอาจมีเงินเหลืออยู่ แต่บ๊อบจะมีมากกว่านี้ดังนั้นเราจึงออกแบบเกมจบที่หากหนึ่งในนั้นมีเงินมากขึ้นผู้เล่นคนนั้นจะชนะได้)

วิธีนี้อลิซตัดสินใจเลือกคำที่มีความยาวคี่หลายคู่แทนและบ๊อบเกี่ยวกับคำที่มีความยาวคู่ที่ชี้แจงอย่างมากซึ่งหนึ่งในคู่แต่ละคู่ไปที่$A$และพวกเขาเลือกตัวเลือกเหล่านี้ในลักษณะสลับกัน