ที่ดีที่สุดที่รู้จักกันดีขนาด PCP asymptotic / 3-SAT

สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดบนขอบเขตของขนาด asymptotic asymptotic พิสูจน์พิสูจน์ได้? เป็นการดีที่ฉันกำลังมองหาแบบสำรวจร่วมสมัยสำหรับคำถามกว้าง ๆ นี้ แต่ถ้าไม่มีก็จะสนใจ 3-SAT โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

ให้ 7/8 + ε-3-SAT เป็น 3-SAT พร้อมกับสัญญาว่าถ้า 7/8 + εส่วนของอนุประโยคเป็นที่พอใจแล้วอินสแตนซ์นั้นน่าพอใจ การลดลงของ 3-SAT ที่รู้จักกันดีที่สุดคืออะไร$n$ข้อ 7/8 + ε-3-SAT? ตัวอย่างเช่นมีการลดการใช้$O(n \log n)$ข้อ? ($O(n)$ส่วนคำสั่งเป็นปัญหาเปิด) การลดขนาด quasilinear สม่ำเสมอ NC? การพึ่งพาคืออะไร$ε$รวมถึงเมื่อ $ε→0$? มีขนาดเส้นตรงที่รู้จักหรือไม่$ε$) การลดลงของ (1-ε) -3-SAT เป็น 7/8 + ε-3-SAT และถ้าไม่เรามีขอบเขตที่ดีกว่าสำหรับ (1-ε) -3-SAT หรือไม่ แม้แต่คำตอบบางส่วนก็น่าสนใจ

นอกจากนี้ในขณะที่มันอาจทำให้คำถามกว้างเกินไปฉันควรพูดถึงอีกประเด็นสำคัญที่นี่คือปัจจัยคงที่ซึ่งเนื่องจากเทคนิคเช่นรหัสยาวมีขนาดใหญ่เป็นไปไม่ได้ทั่วไป

สุดยอดแห่ง PCPs ที่ให้ผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม $(\frac{7}{8}+\varepsilon)$ 3-SAT (แม้สำหรับค่าคงที่ย่อย $\varepsilon$) เป็นของ Dana Moshkovitz และ Ran Razซึ่งมีความยาว$n^{1 + o(1)}$. ฉันไม่ทราบ แต่ถ้าใครพยายามคำนวณการพึ่งพาความยาวแน่นอน$\varepsilon$หรือความซับซ้อนในการคำนวณของการลดลง ผลทางเทคนิคหลักของพวกเขาได้รับการง่ายในภายหลังโดยไอริตดิเนอร์และ Prahladh Harsha

หากคุณสนใจ PCP สั้น ๆ ที่มีจำนวนข้อความค้นหาอย่างต่อเนื่องซึ่งไม่จำเป็นต้องลดความกระด้างที่เหมาะสมที่สุด (aka "PCPs ที่มีข้อผิดพลาดสูง") ดังนั้นผลลัพธ์ที่ล้ำสมัยคือความยาวของ PCP $n\cdot \mathrm{poly}\log n$เนื่องจากเอลีเบน Sasson และฮาร์ประเทศซูดานและการปรับปรุงโดยการDinur อีกครั้งฉันไม่ทราบว่าใครมีความซับซ้อนที่แน่นอนของการคำนวณการลดลง