การค้นหาจุดยอดคู่ในกราฟ

ให้เป็นกราฟ สำหรับจุดสุดยอดกำหนดจะเป็น (เปิด) ย่านในGนั่นคือ\} กำหนดจุดสองในจะเป็นฝาแฝดถ้าและมีชุดเดียวกันของเพื่อนบ้านนั่นคือถ้า(V)$G=(V,E)$$x\in V$$N(x)$$x$$G$$N(x)=\{y\in V \,\vert\, \{x,y\}\in E\}$$u,v$$G$$u$$v$$N(u)=N(v)$

เมื่อกำหนดกราฟบนจุดยอดและขอบเป็นอินพุตเราจะสามารถหาคู่แฝดในได้เร็วแค่ไหนถ้าคู่นั้นมีอยู่จริง$G$$n$$m$$G$

เราสามารถตรวจสอบได้ว่าจุดยอดที่กำหนดสองจุดเป็นคู่ในเวลาหรือไม่โดยการเปรียบเทียบย่านที่คุ้นเคย อัลกอริทึมที่ตรงไปตรงมาคือการค้นหาคู่แฝดดังนั้นเพื่อตรวจสอบสำหรับแต่ละจุดยอดไม่ว่าจะเป็นฝาแฝด นี้จะใช้เวลาเวลา (และก็พบว่าทุกคู่ของฝาแฝด) มีวิธีที่เร็วกว่าในการค้นหา (ถ้ามี) คู่แฝดในกราฟหรือไม่? มีงานที่รู้จักกันดีในวรรณคดีที่แก้ปัญหานี้หรือไม่?$O(n)$$O(n^{3})$

ฝาแฝดในกราฟเป็นเพียงโมดูลขนาด 2. การสลายตัวแบบแยกส่วนของกราฟที่สามารถพบได้ในเวลา แผนผังการสลายตัวแบบแยกส่วนโดยปริยายหมายถึงโมดูลทั้งหมดของกราฟและประกอบด้วยโหนดภายในสามประเภท: ซีรีย์โหนดคู่ขนานและไพรม์และใบไม้ประกอบไปด้วยโหนดแต่ละโหนด ชุดของจุดยอดอย่างน้อยสองจุดคือโมดูลหากว่ามันเป็นโหนดบางส่วนในทรีหรือสหภาพของชุดลูกบางชุดของซีรีส์หรือโหนดคู่ขนาน$O(n+m)$$S \subset V$

ดังนั้นเพื่อหาคู่ของโหนดคู่ถ้าพวกเขาอยู่เราสามารถสร้างต้นไม้สลายตัว modular ในเวลา จากนั้นดูที่ใบไม้ถ้าผู้ปกครองของใบไม้ใด ๆ เป็นอนุกรมหรือโหนดคู่ขนานจากนั้นโหนดนั้นจะต้องมีลูกสองคนอย่างน้อยซึ่งเป็นคู่แฝด ดังนั้นเวลาทำงานทั้งหมดจึงเป็นเชิงเส้น$O(n+m)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_decomposition

ปัญหาเทียบเท่ากับการพิจารณาว่ามีสองแถวเท่ากันในเมทริกซ์กราฟ เราสามารถสร้าง trie บนแถวของกราฟเมทริกซ์ เวลา Compleixty จะเป็น O (n ^ 2)

แก้ไข: โซลูชั่นโดย @MikleB และ @Travis นั้นฉลาดมาก ขออภัยสำหรับคำตอบที่มากเกินไป

ดูเหมือนว่าปัญหาจะสามารถลดลงไปปัญหาคูณเมทริกซ์ในถ้อยคำเมทริกซ์ของกราฟโดยการเปลี่ยนคูณกับ EQU (นั่นคือ NXOR) และนอกจากนี้ยังมีและ ดังนั้นหากมีคู่ของฝาแฝดในกราฟแล้วเมทริกซ์ที่เกิดTจะไม่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์และดัชนี( ฉัน, เจ)ที่คุ้มค่าฉัน, เจไม่เป็นศูนย์จะตรงโหนดคู่คู่ .$A$$AA^T$$(i,j)$$a_{i,j}$

เพื่อความรู้ของฉันดีที่สุดปัญหาคูณเมทริกซ์จะสามารถแก้ไขได้ในเวลากับα ≈ 2.376โดยอัลกอริทึมทองแดง-Winograd หากจำเป็นต้องแก้ปัญหาในทางปฏิบัติขั้นตอนวิธีการคูณเมทริกซ์ใด ๆ ก็ใช้งานได้ดีในทางปฏิบัติ$O(n^\alpha)$$\alpha \approx 2.376$

เนื่องจากระบบที่บ้าคลั่งในเว็บไซต์นี้ฉันไม่สามารถแสดงความคิดเห็นโดยตรง แต่ฉันมีข้อสังเกตสองสามคำตอบที่มีอยู่

ฉันแน่ใจว่าสวยเซียน-Chih ช้างความต้องการของการแก้ปัญหาที่ถูกต้องที่จะ2เพื่อT$A^2$$AA^T$

การสังเกตของ TheMachineCharmer 4 กลับไปข้างหน้า (ตัวอย่างเช่น: [0,0,1], [0,1,0], [0,1,1] มีปัจจัย 0 แต่ไม่มีฝาแฝด) ถ้ามีฝาแฝดอยู่แล้วดีเทอร์มีแนนต์จะเป็นศูนย์

หัวข้อนี้ค่อนข้างเก่า อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าจะไม่มีใครได้เข้าใกล้กับวิธีการที่หรูหราและเรียบง่ายที่สุด เรียงลำดับคำย่อคำศัพท์แบบย่อคำศัพท์ในเวลา O (n + m) จากนั้นตรวจสอบรายการที่ซ้ำกัน (ดู Aho, Hopcroft, Ullman, 74 ') คุณสามารถใช้การสลายตัวแบบแยกส่วนได้

เธรดนี้เก่าและมีการตอบคำถามของ OP แต่ฉันต้องการเพิ่มอัลกอริทึมอื่นเพื่อค้นหาคู่ดังกล่าวทั้งหมดในเวลาเชิงเส้น ไม่มีใครพูดถึงการปรับแต่งพาร์ติชัน !

อัลกอริทึมนี้ค้นหาคลาสการเทียบเท่าของฝาแฝดปลอม อัลกอริทึมนั้นอาศัยกระบวนการที่มีประสิทธิภาพซึ่งจะปรับแต่งพาร์ติชัน ได้รับชุดและพาร์ทิชันS . หมายถึงการตั้งค่าจุดตัดและชุดความแตกต่าง พาร์ติชันมีเสถียรภาพหากไม่สามารถปรับปรุงได้อีก ขั้นตอนนี้ใช้เวลา O (| S |) (ดูบทความของ Wikipedia เกี่ยวกับการปรับแต่งพาร์ติชัน) ดังนั้นจึงรวดเร็วP = {X1, ..., Xn}refine(P, S) = {X1 ^ S, X1 - S, X2 ^ S, X2 - S, ..., Xn ^ S, Xn - S}^-

Algorithm:

P = {V} // initial partition consists of the vertex set
for every vertex v:
    P = refine(P, N(v)) // refine with the open neighborhood of v

เวลาทั้งหมดคือ O (| V | + | E |) โปรแกรมนี้ใช้งานง่ายเช่นกัน

ข้อสังเกตบางอย่างที่อาจช่วยได้

1. สำหรับ, ข∈ Vถ้าไม่ได้เป็นฝาแฝดของขแล้วCและDไม่สามารถเป็นฝาแฝดที่ ค∈ N ( )และd ∈ N ( ข )$a,b \in V$$a$$b$$c$$d$$c \in N(a)$$d \in N(b)$

2. ดังนั้น aและ bไม่สามารถเป็นแฝดได้$|N(a)| \neq |N(b)|$$a$$b$

3. ถ้าดังนั้นaและbไม่สามารถเป็นแฝดได้ ใช้งานได้เฉพาะในกรณีที่คุณกำลังมองหาฝาแฝดที่ไม่ใช่ที่อยู่ติดกัน$b \in N(a)$$a$$b$

4. หากมีฝาแฝดอยู่แล้วดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ adjacency เป็นศูนย์

ความคิดแฟนซี:

1. สร้างต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์พร้อม height = | V |
2. จากนั้นเริ่มอ่านเมทริกซ์ adjacency หนึ่งแถว
3. หากคุณพบ 0 เลี้ยวซ้ายมิฉะนั้นจะถูกต้อง
4. เมื่อคุณไปถึงที่เก็บใบไม้จุดสุดยอดของคุณที่นั่น
5. ทำเช่นนี้สำหรับทุกแถว ดังนั้นในที่สุดใบไม้แต่ละใบจะมีเพื่อนบ้าน

ถูกขโมยมาจากแรงบันดาลใจจากอัลกอริธึมการบีบอัด Huffman! :)