เทคนิคในการกลับคำสั่งซื้อ Quanti

เป็นที่ทราบกันดีว่าโดยทั่วไปแล้วคำสั่งของปริมาณที่เป็นสากลและที่มีอยู่ไม่สามารถย้อนกลับได้ ในคำอื่น ๆ ทั่วไปตรรกะสูตร ,$\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

ในทางกลับกันเรารู้ว่าทางด้านขวานั้นเข้มงวดกว่าทางด้านซ้าย ว่ามี$(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$y)

คำถามนี้มุ่งเน้นไปที่เทคนิคการสืบทอด$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$ทุกครั้งที่มันถือ$\phi(\cdot,\cdot)$cdot)

การทแยงมุมเป็นหนึ่งในเทคนิคดังกล่าว ครั้งแรกที่ฉันเห็นการใช้ diagonalization ในบทความRelativizations ของ$\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$คำถาม (ดูบันทึกย่อโดย Katz ) ในบทความนั้นผู้เขียนคนแรกพิสูจน์ว่า:

สำหรับการใด ๆ ที่กำหนด, พหุนามเวลาเครื่อง oracle M มีอยู่ภาษา B ดังกล่าวว่า$L_B \ne L(M^B)$B)

จากนั้นพวกเขากลับคำสั่งของปริมาณ (ใช้diagonalization ) เพื่อพิสูจน์ว่า:

มีภาษา B เช่นว่าทุกกำหนดโพลีเวลา M เรามีอยู่B)$L_B \ne L(M^B)$

เทคนิคนี้จะใช้ในเอกสารอื่น ๆ เช่น[CGH]และ[AH]

ผมพบว่าเทคนิคในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 6.3 ของ[IR] มันใช้การรวมกันของทฤษฎีการวัดและหลักการหลุมนกพิราบเพื่อย้อนกลับลำดับของปริมาณ

ฉันต้องการทราบว่ามีเทคนิคอื่นใดบ้างที่ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เพื่อย้อนกลับลำดับของตัวสากลและตัวระบุที่มีอยู่?

การกลับตัวของปริมาณเป็นคุณสมบัติที่สำคัญที่มักจะอยู่เบื้องหลังทฤษฎีบทที่รู้จักกันดี

ตัวอย่างเช่นในการวิเคราะห์ความแตกต่างระหว่างและคือความแตกต่างระหว่างจุดต่อเนื่องและสม่ำเสมอ ทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีบอกว่าแผนที่อย่างต่อเนื่องทุก pointwise อย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอให้โดเมนเป็นสิ่งที่ดีคือมีขนาดกะทัดรัด$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

ในความเป็นจริงความกะทัดรัดเป็นหัวใจสำคัญของการกลับตัวของปริมาณ พิจารณาสองประเภทข้อมูลและซึ่งคือโจ่งแจ้งและมีขนาดเล็ก (ดูด้านล่างสำหรับคำอธิบายของคำเหล่านี้) และให้เป็นความสัมพันธ์ระหว่าง semidecidableและYคำสั่งสามารถอ่านได้ดังต่อไปนี้ทุกจุดในถูกปกคลุมด้วยบาง\ เนื่องจากชุดเป็น "เปิดได้" (semidecidable) และ$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$มีขนาดกะทัดรัดมีอยู่ จำกัด subcover เราได้พิสูจน์แล้วว่า หมายถึง บ่อยครั้งที่เราสามารถลดการดำรงอยู่ของรายการแน่นอนที่เดียวxตัวอย่างเช่นถ้าเป็นคำสั่งเป็นเส้นตรงและเป็นเสียงเดียวในที่เกี่ยวกับการสั่งซื้อแล้วเราสามารถใช้จะเป็นคนที่ใหญ่ที่สุดของx_n

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

เพื่อดูว่าหลักการนี้ถูกนำไปใช้ในกรณีที่คุ้นเคยอย่างไรให้เราดูข้อความที่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราเก็บเป็นตัวแปรอิสระเพื่อไม่ให้สับสนเกี่ยวกับ quantifier สากลด้านนอก: เนื่องจากมีขนาดกะทัดรัดและการเปรียบเทียบ reals นั้นเป็นแบบ semidecidable คำสั่งเป็น semidecidable reals ที่เป็นบวกนั้นชัดเจนและนั้นกะทัดรัดดังนั้นเราจึงสามารถนำหลักการไปใช้: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ เนื่องจากเป็น antimonotone ในหนึ่งที่เล็กที่สุดของทำงานได้แล้วดังนั้นเราจึงต้องการหนึ่ง : สิ่งที่เราได้มีเป็นชุดต่อเนื่องของฉ$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

พูดรางประเภทข้อมูลเป็นขนาดกะทัดรัดหากมีปริมาณคำนวณเป็นสากลและชัดเจนหากมีปริมาณคำนวณอัตถิภาวนิยม จำนวนเต็ม (ไม่ใช่ลบ)แจ่มแจ้งเพราะเพื่อให้เกิดการ semidecide ว่ากับ semidecidable เราดำเนินการค้นหาขนานโดยการประกบกัน คันทอร์สเปซมีขนาดกะทัดรัดและเปิดเผยตามที่อธิบายโดยพอลเทย์เลอร์สโตน Duality คู่และมาร์ติน Escardo ของ "สัณฐานวิทยาสังเคราะห์ของ Datatypes และคลาสสิค Spaces " (ดูความคิดที่เกี่ยวข้องของพื้นที่ค้นหา )$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

ให้เราใช้หลักธรรมกับตัวอย่างที่คุณกล่าวถึง เราดูภาษาเป็นแผนที่จากคำ (จำกัด ) เหนือตัวอักษรคงที่ถึงค่าบูลีน เนื่องจากคำ จำกัด อยู่ในการติดต่อ bijective คำนวณด้วยจำนวนเต็มเราอาจดูภาษาเป็นแผนที่จากจำนวนเต็มถึงค่าบูลีน นั่นคือประเภทข้อมูลของทุกภาษาคือขึ้นอยู่กับการคำนวณ isomorphism แม่นยำพื้นที่คันทอร์nat -> boolหรือในสัญกรณ์คณิตศาสตร์ซึ่งมีขนาดกะทัดรัด เครื่องทัวริงเวลาพหุนามอธิบายโดยโปรแกรมซึ่งเป็นสตริง จำกัด ดังนั้นพื้นที่ของทั้งหมด (การเป็นตัวแทนของ) ทัวริงเครื่องสามารถนำไปเป็นหรือซึ่งแจ่มแจ้ง$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

ให้ทัวริงเครื่องและภาษาคำสั่งซึ่งบอกว่า "ภาษาถูกปฏิเสธโดย " เป็น semidecidable เพราะในความเป็นจริง decidable: เพียงเรียกใช้กับอินพุตและดูสิ่งที่ มันทำ เงื่อนไขสำหรับหลักการของเรามีความพึงพอใจ! คำสั่ง "ทุกเครื่องพยากรณ์มีภาษาเช่นที่ไม่ได้รับการยอมรับจาก " ถูกเขียนเป็นสัญลักษณ์เป็น หลังจากการผกผันของปริมาณที่เราได้รับ $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ ตกลงดังนั้นเราจึงใช้ภาษาหลายภาษาอย่างไม่ จำกัด เราสามารถรวมมันเข้าเป็นหนึ่งเดียวได้หรือไม่? ฉันจะปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัด (สำหรับตัวคุณเองและคุณ!)

คุณอาจสนใจคำถามที่กว้างขึ้นเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการแปลง เป็นคำสั่งที่เทียบเท่าของแบบฟอร์มหรือในทางกลับกัน มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• รูปแบบปกติ Skolem ,
• รูปแบบปกติ Herbrand ,
• Gödelของการตีความการทำงาน

บทแทรกชุดฮาร์ดคอร์ของ Impagliazzo ช่วยให้คุณสามารถสลับปริมาณในบริบทของสมมติฐานการคำนวณความแข็ง นี่คือกระดาษเดิม คุณสามารถค้นหาบทความและโพสต์ที่เกี่ยวข้องได้มากมายโดย Googling

lemma บอกว่าถ้าสำหรับทุก ๆอัลกอริธึม A มีชุดของอินพุตขนาดใหญ่ที่ A ไม่สามารถคำนวณฟังก์ชันคงที่ f แล้วในความเป็นจริงมีชุดอินพุตขนาดใหญ่ซึ่งอัลกอริธึมทุกตัวล้มเหลวในการคำนวณ f ด้วยความน่าจะเป็น / 2

บทแทรกนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทขั้นต่ำหรือการส่งเสริม (เทคนิคจากทฤษฎีการเรียนรู้คอมพิวเตอร์) ซึ่งทั้งสองตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างของการสลับปริมาณ

สำหรับฉันแล้วการพิสูจน์ "บัญญัติ" ของทฤษฎีบท Karp-Lipton (นั่น ) มีรสชาตินี้ แต่นี่ไม่ใช่คำแถลงทฤษฎีจริงที่ว่าตัวปริมาณจะกลับตัว แต่เป็น "ตัวปริมาณ" ที่ได้กลับด้านในรูปแบบของการคำนวณแบบสลับโดยใช้สมมติฐานที่ว่ามีวงจรขนาดเล็ก$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

คุณต้องการจำลองการคำนวณของแบบฟอร์ม

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

โดยที่คือภาคแสดงเวลาพหุนาม คุณสามารถทำได้โดยการคาดเดาวงจรขนาดเล็กสำหรับ (พูด) ความน่าพอใจปรับเปลี่ยนเพื่อให้ตรวจสอบตัวเองและสร้างการกำหนดที่น่าพอใจเมื่ออินพุตของมันเป็นที่น่าพอใจ จากนั้นสำหรับทั้งหมดให้สร้างอินสแตนซ์ SATที่เทียบเท่ากับและแก้ปัญหา ดังนั้นคุณได้ทำการคำนวณรูปแบบที่เทียบเท่ากัน$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$คือพอใจตามC]$C]$

การใช้ยูเนี่ยนขั้นพื้นฐานที่ผูกไว้ในวิธีการความน่าจะเป็นสามารถตีความได้ว่าเป็นวิธีการกลับคำสั่งของปริมาณ แม้ว่าสิ่งนี้จะถูกกล่าวถึงในคำถามโดยปริยายเพราะการพิสูจน์โดย Impagliazzo และ Rudich เป็นตัวอย่างของเรื่องนี้ แต่ฉันคิดว่ามันมีค่าที่จะระบุอย่างชัดเจนยิ่งขึ้น

สมมติว่าXมี จำกัด และว่าสำหรับทุกx ∈ Xเรารู้ว่าไม่เพียง แต่ที่บางปี ∈ Yน่าพอใจφ ( x , Y ) แต่ยังมีทางเลือกว่าหลายปี ∈ Y Satisfy φ ( x , Y ) เป็นทางการสมมติว่าเรารู้ (∀ x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [￢φ ( x , y )] <1 / | X | สำหรับการวัดความน่าจะเป็นบางอย่างในY. จากนั้นสหภาพผูกพันช่วยให้เราสามารถสรุปได้ Pr _{Y ∈ Y} [(∃ x ∈ X ) ¬ φ ( x , Y )] <1 ซึ่งเทียบเท่ากับ (∃ Y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y ที่ )

มีการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์นี้:

1. หากXไม่มีที่สิ้นสุดบางครั้งเราสามารถแยกแยะX ได้โดยพิจารณาเมตริกที่เหมาะสมบนXและε -net ของมัน หลังจาก discretizing Xเราสามารถใช้การรวมสหภาพตามที่กล่าวไว้ข้างต้น

2. เมื่อเหตุการณ์φ ( x , y ) สำหรับค่าที่แตกต่างกันของxเกือบจะเป็นอิสระเราสามารถใช้เลมาก้าท้องถิ่นLovászแทนสหภาพที่ถูกผูกไว้

ฉันต้องการเพิ่มเทคนิคอื่น ๆ แม้ว่าสองเทคนิคแรกนั้นไม่ได้มีไว้สำหรับการกลับคำสั่งของปริมาณสากลและอัตถิภาวนิยม แต่ก็มีรสชาติที่คล้ายกันมาก ดังนั้นฉันจึงใช้โอกาสอธิบายพวกเขาที่นี่:

ค่าเฉลี่ยเล็มม่า:ใช้เพื่อพิสูจน์และทฤษฎีที่น่าสนใจอื่น ๆ อีกมากมาย อย่างไม่เป็นทางการสมมติว่าหมายถึงชุดสมาชิกของห้องสมุดบางแห่งหมายถึงชุดหนังสือในห้องสมุดและสำหรับและ , ข้อเสนอเป็นจริงถ้ามีสมาชิก "ชอบหนังสือ ." ค่าเฉลี่ยแทรกซึมกล่าวว่า: ถ้าทุก , มีอย่างน้อย 2/3 ของ 's ในเช่นนั้นถือ, มีอยู่เดียว$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$เช่นนั้นอย่างน้อย 2/3 ของในข้อเสนอถืออยู่ (สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายผ่านทางreductio ad absurdumและการโต้แย้งการนับ)$s$$S$$\phi(s,b)$

ตอนนี้ขอและให้เป็นเครื่อง PPT ที่ตัดสินใจLสมมติว่าเวลาทำงานของเป็นที่สิ้นสุดโดยพหุนามcdot) จากนั้นสำหรับและอย่างน้อย 2/3 ของ 's,มัน ถือได้ว่า(x) นี่เป็นเครื่องซึ่งใช้การสุ่มและเป็นฟังก์ชั่นลักษณะของLค่าเฉลี่ยแทรกจะถูกใช้เพื่อแสดงว่าสำหรับใด ๆ$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$มีอยู่คนเดียวเช่นว่าอย่างน้อย 2/3 's ความยาว ,(x) ครั้งนี้ครั้งเดียวทำงานเป็นคำแนะนำไปยังและดังนั้นจึงP$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

การแลกเปลี่ยนเล็มม่า: Zachos และFürerแนะนำปริมาณความน่าจะเป็นแบบใหม่ (ซึ่งหมายถึง "ส่วนใหญ่" อย่างคร่าว ๆ ) พวกเขาพิสูจน์แล้วว่า (ละเว้นรายละเอียด):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

โปรดทราบว่านี่เป็นทฤษฎีตรรกะอันดับสอง

ใช้แทรกสลับพวกเขาพิสูจน์ให้เห็นจำนวนของทฤษฎีที่น่าสนใจเช่น BPP-ทฤษฎีบทและ Babai ของทฤษฎีบท ฉันแนะนำคุณไปยังเอกสารต้นฉบับสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม$MA \subseteq AM$

ทฤษฎีบทคล้ายกับคาร์พ-ลิปตันทฤษฎีบทที่กล่าวถึงในไรอันวิลเลียมส์โพสต์:P$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$