การกลับตัวของปริมาณเป็นคุณสมบัติที่สำคัญที่มักจะอยู่เบื้องหลังทฤษฎีบทที่รู้จักกันดี
ตัวอย่างเช่นในการวิเคราะห์ความแตกต่างระหว่างและคือความแตกต่างระหว่างจุดต่อเนื่องและสม่ำเสมอ ทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีบอกว่าแผนที่อย่างต่อเนื่องทุก pointwise อย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอให้โดเมนเป็นสิ่งที่ดีคือมีขนาดกะทัดรัด∀ϵ>0.∀x.∃δ>0∀ϵ>0.∃δ>0.∀x
ในความเป็นจริงความกะทัดรัดเป็นหัวใจสำคัญของการกลับตัวของปริมาณ พิจารณาสองประเภทข้อมูลและซึ่งคือโจ่งแจ้งและมีขนาดเล็ก (ดูด้านล่างสำหรับคำอธิบายของคำเหล่านี้) และให้เป็นความสัมพันธ์ระหว่าง semidecidableและYคำสั่งสามารถอ่านได้ดังต่อไปนี้ทุกจุดในถูกปกคลุมด้วยบาง\ เนื่องจากชุดเป็น "เปิดได้" (semidecidable) และXYXYϕ(x,y)XY∀y:Y.∃x:X.ϕ(x,y)yYUx={z:Y∣ϕ(x,z)}UxYมีขนาดกะทัดรัดมีอยู่ จำกัด subcover เราได้พิสูจน์แล้วว่า
หมายถึง
บ่อยครั้งที่เราสามารถลดการดำรงอยู่ของรายการแน่นอนที่เดียวxตัวอย่างเช่นถ้าเป็นคำสั่งเป็นเส้นตรงและเป็นเสียงเดียวในที่เกี่ยวกับการสั่งซื้อแล้วเราสามารถใช้จะเป็นคนที่ใหญ่ที่สุดของx_n
∀y:Y.∃x:X.ϕ(x,y)
∃x1,…,xn:X.∀y:Y.ϕ(x1,y)∨⋯∨ϕ(xn,y).
x1,…,xnxXϕxxx1,…,xn
เพื่อดูว่าหลักการนี้ถูกนำไปใช้ในกรณีที่คุ้นเคยอย่างไรให้เราดูข้อความที่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราเก็บเป็นตัวแปรอิสระเพื่อไม่ให้สับสนเกี่ยวกับ quantifier สากลด้านนอก:
เนื่องจากมีขนาดกะทัดรัดและการเปรียบเทียบ reals นั้นเป็นแบบ semidecidable คำสั่งเป็น semidecidable reals ที่เป็นบวกนั้นชัดเจนและนั้นกะทัดรัดดังนั้นเราจึงสามารถนำหลักการไปใช้:
f:[0,1]→Rϵ>0
∀x∈[0,1].∃δ>0.∀y∈[x−δ,x+δ].|f(y)−f(x)|<ϵ.
[x−δ,x+δ]ϕ(x,δ)≡∀y∈[x−δ,x+δ].|f(y)−f(x)|<ϵ[0,1]∃δ1,δ2,…,δn>0.∀x∈[0,1].ϕ(δ1,x)∨⋯ϕ(δn,x).
เนื่องจากเป็น antimonotone ในหนึ่งที่เล็กที่สุดของทำงานได้แล้วดังนั้นเราจึงต้องการหนึ่ง :
สิ่งที่เราได้มีเป็น
ชุดต่อเนื่องของฉ
ϕ(δ,x)δδ1,…,δnδ∃δ>0.∀x∈[0,1].∀y∈[x−δ,x+δ].|f(y)−f(x)|<ϵ.
f
พูดรางประเภทข้อมูลเป็นขนาดกะทัดรัดหากมีปริมาณคำนวณเป็นสากลและชัดเจนหากมีปริมาณคำนวณอัตถิภาวนิยม จำนวนเต็ม (ไม่ใช่ลบ)แจ่มแจ้งเพราะเพื่อให้เกิดการ semidecide ว่ากับ semidecidable เราดำเนินการค้นหาขนานโดยการประกบกัน คันทอร์สเปซมีขนาดกะทัดรัดและเปิดเผยตามที่อธิบายโดยพอลเทย์เลอร์สโตน Duality คู่และมาร์ติน Escardo ของ "สัณฐานวิทยาสังเคราะห์ของ Datatypes และคลาสสิค Spaces " (ดูความคิดที่เกี่ยวข้องของพื้นที่ค้นหา )N∃n∈N.ϕ(n)ϕ(n)2N
ให้เราใช้หลักธรรมกับตัวอย่างที่คุณกล่าวถึง เราดูภาษาเป็นแผนที่จากคำ (จำกัด ) เหนือตัวอักษรคงที่ถึงค่าบูลีน เนื่องจากคำ จำกัด อยู่ในการติดต่อ bijective คำนวณด้วยจำนวนเต็มเราอาจดูภาษาเป็นแผนที่จากจำนวนเต็มถึงค่าบูลีน นั่นคือประเภทข้อมูลของทุกภาษาคือขึ้นอยู่กับการคำนวณ isomorphism แม่นยำพื้นที่คันทอร์nat -> bool
หรือในสัญกรณ์คณิตศาสตร์ซึ่งมีขนาดกะทัดรัด เครื่องทัวริงเวลาพหุนามอธิบายโดยโปรแกรมซึ่งเป็นสตริง จำกัด ดังนั้นพื้นที่ของทั้งหมด (การเป็นตัวแทนของ) ทัวริงเครื่องสามารถนำไปเป็นหรือซึ่งแจ่มแจ้ง2Nnat
N
ให้ทัวริงเครื่องและภาษาคำสั่งซึ่งบอกว่า "ภาษาถูกปฏิเสธโดย " เป็น semidecidable เพราะในความเป็นจริง decidable: เพียงเรียกใช้กับอินพุตและดูสิ่งที่ มันทำ เงื่อนไขสำหรับหลักการของเรามีความพึงพอใจ! คำสั่ง "ทุกเครื่องพยากรณ์มีภาษาเช่นที่ไม่ได้รับการยอมรับจาก " ถูกเขียนเป็นสัญลักษณ์เป็น
หลังจากการผกผันของปริมาณที่เราได้รับ
Mcrejects(M,c)cMMcMbbMb
∀M:N.∃b:2N.rejects(Mb,b).
∃b1,…,bn:2N.∀M:N.rejects(Mb1,b1)∨⋯∨rejects(Mbn,bn).
ตกลงดังนั้นเราจึงใช้ภาษาหลายภาษาอย่างไม่ จำกัด เราสามารถรวมมันเข้าเป็นหนึ่งเดียวได้หรือไม่? ฉันจะปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัด (สำหรับตัวคุณเองและคุณ!)
คุณอาจสนใจคำถามที่กว้างขึ้นเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการแปลง เป็นคำสั่งที่เทียบเท่าของแบบฟอร์มหรือในทางกลับกัน มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้:∀x.∃y.ϕ(x,y)∃u.∀v.ψ(u,v)