เทคนิคในการกลับคำสั่งซื้อ Quanti


73

เป็นที่ทราบกันดีว่าโดยทั่วไปแล้วคำสั่งของปริมาณที่เป็นสากลและที่มีอยู่ไม่สามารถย้อนกลับได้ ในคำอื่น ๆ ทั่วไปตรรกะสูตร ,ϕ(,)

(x)(y)ϕ(x,y)(y)(x)ϕ(x,y)

ในทางกลับกันเรารู้ว่าทางด้านขวานั้นเข้มงวดกว่าทางด้านซ้าย ว่ามี(y)(x)ϕ(x,y)(x)(y)ϕ(x,y)y)

คำถามนี้มุ่งเน้นไปที่เทคนิคการสืบทอด(x)(y)ϕ(x,y)(y)(x)ϕ(x,y)ทุกครั้งที่มันถือϕ(,)cdot)

การทแยงมุมเป็นหนึ่งในเทคนิคดังกล่าว ครั้งแรกที่ฉันเห็นการใช้ diagonalization ในบทความRelativizations ของP=?NPคำถาม (ดูบันทึกย่อโดย Katz ) ในบทความนั้นผู้เขียนคนแรกพิสูจน์ว่า:

สำหรับการใด ๆ ที่กำหนด, พหุนามเวลาเครื่อง oracle M มีอยู่ภาษา B ดังกล่าวว่าLBL(MB)B)

จากนั้นพวกเขากลับคำสั่งของปริมาณ (ใช้diagonalization ) เพื่อพิสูจน์ว่า:

มีภาษา B เช่นว่าทุกกำหนดโพลีเวลา M เรามีอยู่B)LBL(MB)

เทคนิคนี้จะใช้ในเอกสารอื่น ๆ เช่น[CGH]และ[AH]

ผมพบว่าเทคนิคในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 6.3 ของ[IR] มันใช้การรวมกันของทฤษฎีการวัดและหลักการหลุมนกพิราบเพื่อย้อนกลับลำดับของปริมาณ

ฉันต้องการทราบว่ามีเทคนิคอื่นใดบ้างที่ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เพื่อย้อนกลับลำดับของตัวสากลและตัวระบุที่มีอยู่?


14
ว้าวนี่เป็นคำถามที่ดีมาก แค่อ่านมันทำให้ฉันมองวัตถุ "คุ้นเคย" แตกต่างกัน ขอบคุณ!
Mark Reitblatt

คำตอบ:


68

การกลับตัวของปริมาณเป็นคุณสมบัติที่สำคัญที่มักจะอยู่เบื้องหลังทฤษฎีบทที่รู้จักกันดี

ตัวอย่างเช่นในการวิเคราะห์ความแตกต่างระหว่างและคือความแตกต่างระหว่างจุดต่อเนื่องและสม่ำเสมอ ทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีบอกว่าแผนที่อย่างต่อเนื่องทุก pointwise อย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอให้โดเมนเป็นสิ่งที่ดีคือมีขนาดกะทัดรัดϵ>0.x.δ>0ϵ>0.δ>0.x

ในความเป็นจริงความกะทัดรัดเป็นหัวใจสำคัญของการกลับตัวของปริมาณ พิจารณาสองประเภทข้อมูลและซึ่งคือโจ่งแจ้งและมีขนาดเล็ก (ดูด้านล่างสำหรับคำอธิบายของคำเหล่านี้) และให้เป็นความสัมพันธ์ระหว่าง semidecidableและYคำสั่งสามารถอ่านได้ดังต่อไปนี้ทุกจุดในถูกปกคลุมด้วยบาง\ เนื่องจากชุดเป็น "เปิดได้" (semidecidable) และXYXYϕ(x,y)XYy:Y.x:X.ϕ(x,y)yYUx={z:Yϕ(x,z)}UxYมีขนาดกะทัดรัดมีอยู่ จำกัด subcover เราได้พิสูจน์แล้วว่า หมายถึง บ่อยครั้งที่เราสามารถลดการดำรงอยู่ของรายการแน่นอนที่เดียวxตัวอย่างเช่นถ้าเป็นคำสั่งเป็นเส้นตรงและเป็นเสียงเดียวในที่เกี่ยวกับการสั่งซื้อแล้วเราสามารถใช้จะเป็นคนที่ใหญ่ที่สุดของx_n

y:Y.x:X.ϕ(x,y)
x1,,xn:X.y:Y.ϕ(x1,y)ϕ(xn,y).
x1,,xnxXϕxxx1,,xn

เพื่อดูว่าหลักการนี้ถูกนำไปใช้ในกรณีที่คุ้นเคยอย่างไรให้เราดูข้อความที่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราเก็บเป็นตัวแปรอิสระเพื่อไม่ให้สับสนเกี่ยวกับ quantifier สากลด้านนอก: เนื่องจากมีขนาดกะทัดรัดและการเปรียบเทียบ reals นั้นเป็นแบบ semidecidable คำสั่งเป็น semidecidable reals ที่เป็นบวกนั้นชัดเจนและนั้นกะทัดรัดดังนั้นเราจึงสามารถนำหลักการไปใช้: f:[0,1]Rϵ>0

x[0,1].δ>0.y[xδ,x+δ].|f(y)f(x)|<ϵ.
[xδ,x+δ]ϕ(x,δ)y[xδ,x+δ].|f(y)f(x)|<ϵ[0,1]
δ1,δ2,,δn>0.x[0,1].ϕ(δ1,x)ϕ(δn,x).
เนื่องจากเป็น antimonotone ในหนึ่งที่เล็กที่สุดของทำงานได้แล้วดังนั้นเราจึงต้องการหนึ่ง : สิ่งที่เราได้มีเป็นชุดต่อเนื่องของฉϕ(δ,x)δδ1,,δnδ
δ>0.x[0,1].y[xδ,x+δ].|f(y)f(x)|<ϵ.
f

พูดรางประเภทข้อมูลเป็นขนาดกะทัดรัดหากมีปริมาณคำนวณเป็นสากลและชัดเจนหากมีปริมาณคำนวณอัตถิภาวนิยม จำนวนเต็ม (ไม่ใช่ลบ)แจ่มแจ้งเพราะเพื่อให้เกิดการ semidecide ว่ากับ semidecidable เราดำเนินการค้นหาขนานโดยการประกบกัน คันทอร์สเปซมีขนาดกะทัดรัดและเปิดเผยตามที่อธิบายโดยพอลเทย์เลอร์สโตน Duality คู่และมาร์ติน Escardo ของ "สัณฐานวิทยาสังเคราะห์ของ Datatypes และคลาสสิค Spaces " (ดูความคิดที่เกี่ยวข้องของพื้นที่ค้นหา )NnN.ϕ(n)ϕ(n)2N

ให้เราใช้หลักธรรมกับตัวอย่างที่คุณกล่าวถึง เราดูภาษาเป็นแผนที่จากคำ (จำกัด ) เหนือตัวอักษรคงที่ถึงค่าบูลีน เนื่องจากคำ จำกัด อยู่ในการติดต่อ bijective คำนวณด้วยจำนวนเต็มเราอาจดูภาษาเป็นแผนที่จากจำนวนเต็มถึงค่าบูลีน นั่นคือประเภทข้อมูลของทุกภาษาคือขึ้นอยู่กับการคำนวณ isomorphism แม่นยำพื้นที่คันทอร์nat -> boolหรือในสัญกรณ์คณิตศาสตร์ซึ่งมีขนาดกะทัดรัด เครื่องทัวริงเวลาพหุนามอธิบายโดยโปรแกรมซึ่งเป็นสตริง จำกัด ดังนั้นพื้นที่ของทั้งหมด (การเป็นตัวแทนของ) ทัวริงเครื่องสามารถนำไปเป็นหรือซึ่งแจ่มแจ้ง2NnatN

ให้ทัวริงเครื่องและภาษาคำสั่งซึ่งบอกว่า "ภาษาถูกปฏิเสธโดย " เป็น semidecidable เพราะในความเป็นจริง decidable: เพียงเรียกใช้กับอินพุตและดูสิ่งที่ มันทำ เงื่อนไขสำหรับหลักการของเรามีความพึงพอใจ! คำสั่ง "ทุกเครื่องพยากรณ์มีภาษาเช่นที่ไม่ได้รับการยอมรับจาก " ถูกเขียนเป็นสัญลักษณ์เป็น หลังจากการผกผันของปริมาณที่เราได้รับ Mcrejects(M,c)cMMcMbbMb

M:N.b:2N.rejects(Mb,b).
b1,,bn:2N.M:N.rejects(Mb1,b1)rejects(Mbn,bn).
ตกลงดังนั้นเราจึงใช้ภาษาหลายภาษาอย่างไม่ จำกัด เราสามารถรวมมันเข้าเป็นหนึ่งเดียวได้หรือไม่? ฉันจะปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัด (สำหรับตัวคุณเองและคุณ!)

คุณอาจสนใจคำถามที่กว้างขึ้นเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการแปลง เป็นคำสั่งที่เทียบเท่าของแบบฟอร์มหรือในทางกลับกัน มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้:x.y.ϕ(x,y)u.v.ψ(u,v)


4
มันเป็นเงื่อนไขทั่วไปมาก (ช่องว่างหนึ่งช่องจะต้องเปิดเผยอย่างชัดแจ้งข้อตกลงอื่น ๆ และความสัมพันธ์เปิด) แต่มันก็เป็นเทคนิค: ถ้าคุณสามารถหาโทโพโลยีที่ตอบสนองเงื่อนไขได้
Andrej Bauer

8
@ อังเดรคำตอบของคุณดีมากและให้การศึกษา ฉันไม่เคยรู้ว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างความกะทัดรัดและการย้อนกลับของปริมาณจนกว่าโพสต์นี้จะปรากฏขึ้น ฉันรู้สึกรู้แจ้ง
Hsien-Chih Chang 張顯之

8
ช่างเป็นคำตอบที่วิเศษมาก
Suresh Venkat

10
ฉันรู้สึกปลื้ม ฉันต้องการให้ผู้คนจำนวนมากรู้เกี่ยวกับการเชื่อมต่อที่ใกล้ชิดระหว่างตรรกะการคำนวณและโทโพโลยี
Andrej Bauer

6
@ อังเดร: มีการอ้างอิงที่ดี (โดยเฉพาะหนังสือหรือบันทึกการบรรยาย) เกี่ยวกับ "การเชื่อมต่อที่ใกล้ชิดระหว่างตรรกะการคำนวณและโทโพโลยี" หรือไม่?
MS Dousti

25

บทแทรกชุดฮาร์ดคอร์ของ Impagliazzo ช่วยให้คุณสามารถสลับปริมาณในบริบทของสมมติฐานการคำนวณความแข็ง นี่คือกระดาษเดิม คุณสามารถค้นหาบทความและโพสต์ที่เกี่ยวข้องได้มากมายโดย Googling

lemma บอกว่าถ้าสำหรับทุก ๆอัลกอริธึม A มีชุดของอินพุตขนาดใหญ่ที่ A ไม่สามารถคำนวณฟังก์ชันคงที่ f แล้วในความเป็นจริงมีชุดอินพุตขนาดใหญ่ซึ่งอัลกอริธึมทุกตัวล้มเหลวในการคำนวณ f ด้วยความน่าจะเป็น / 2

บทแทรกนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทขั้นต่ำหรือการส่งเสริม (เทคนิคจากทฤษฎีการเรียนรู้คอมพิวเตอร์) ซึ่งทั้งสองตัวอย่างนี้เป็นตัวอย่างของการสลับปริมาณ


3
นั่นเป็นจุดที่ยอดเยี่ยม
Suresh Venkat

17

สำหรับฉันแล้วการพิสูจน์ "บัญญัติ" ของทฤษฎีบท Karp-Lipton (นั่น ) มีรสชาตินี้ แต่นี่ไม่ใช่คำแถลงทฤษฎีจริงที่ว่าตัวปริมาณจะกลับตัว แต่เป็น "ตัวปริมาณ" ที่ได้กลับด้านในรูปแบบของการคำนวณแบบสลับโดยใช้สมมติฐานที่ว่ามีวงจรขนาดเล็กNPP/polyΠ2P=Σ2PNP

คุณต้องการจำลองการคำนวณของแบบฟอร์ม

(y)(z)R(x,y,z)

โดยที่คือภาคแสดงเวลาพหุนาม คุณสามารถทำได้โดยการคาดเดาวงจรขนาดเล็กสำหรับ (พูด) ความน่าพอใจปรับเปลี่ยนเพื่อให้ตรวจสอบตัวเองและสร้างการกำหนดที่น่าพอใจเมื่ออินพุตของมันเป็นที่น่าพอใจ จากนั้นสำหรับทั้งหมดให้สร้างอินสแตนซ์ SATที่เทียบเท่ากับและแก้ปัญหา ดังนั้นคุณได้ทำการคำนวณรูปแบบที่เทียบเท่ากันRCCyS(x,y)(z)R(x,y,z)

(C)(y)[S(x,y)คือพอใจตามC]C]


ที่โดดเด่น! นี่คือตัวอย่างของการสลับปริมาณที่ใช้สมมุติฐาน
MS Dousti

แม้ว่านี่จะถูกต้องสมบูรณ์แบบ แต่ฉันต้องการแนะนำให้เขียนแทนเนื่องจาก NP ไม่สามารถเท่ากับ P / poly ได้ NPP/polyNPP/poly
MS Dousti

12

การใช้ยูเนี่ยนขั้นพื้นฐานที่ผูกไว้ในวิธีการความน่าจะเป็นสามารถตีความได้ว่าเป็นวิธีการกลับคำสั่งของปริมาณ แม้ว่าสิ่งนี้จะถูกกล่าวถึงในคำถามโดยปริยายเพราะการพิสูจน์โดย Impagliazzo และ Rudich เป็นตัวอย่างของเรื่องนี้ แต่ฉันคิดว่ามันมีค่าที่จะระบุอย่างชัดเจนยิ่งขึ้น

สมมติว่าXมี จำกัด และว่าสำหรับทุกxXเรารู้ว่าไม่เพียง แต่ที่บางปีYน่าพอใจφ ( x , Y ) แต่ยังมีทางเลือกว่าหลายปีY Satisfy φ ( x , Y ) เป็นทางการสมมติว่าเรารู้ (∀ xX ) Pr yY [¬φ ( x , y )] <1 / | X | สำหรับการวัดความน่าจะเป็นบางอย่างในY. จากนั้นสหภาพผูกพันช่วยให้เราสามารถสรุปได้ Pr YY [(∃ xX ) ¬ φ ( x , Y )] <1 ซึ่งเทียบเท่ากับ (∃ YY ) (∀ xX ) φ ( x , y ที่ )

มีการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์นี้:

  1. หากXไม่มีที่สิ้นสุดบางครั้งเราสามารถแยกแยะX ได้โดยพิจารณาเมตริกที่เหมาะสมบนXและε -net ของมัน หลังจาก discretizing Xเราสามารถใช้การรวมสหภาพตามที่กล่าวไว้ข้างต้น

  2. เมื่อเหตุการณ์φ ( x , y ) สำหรับค่าที่แตกต่างกันของxเกือบจะเป็นอิสระเราสามารถใช้เลมาก้าท้องถิ่นLovászแทนสหภาพที่ถูกผูกไว้


2
ซึโยชินี้เป็นชะมัดปิดหัวข้อ แต่มันถึงเวลาที่จะเสนอชื่อตัวเองเป็นผู้ดูแล :)
Suresh Venkat

10

ฉันต้องการเพิ่มเทคนิคอื่น ๆ แม้ว่าสองเทคนิคแรกนั้นไม่ได้มีไว้สำหรับการกลับคำสั่งของปริมาณสากลและอัตถิภาวนิยม แต่ก็มีรสชาติที่คล้ายกันมาก ดังนั้นฉันจึงใช้โอกาสอธิบายพวกเขาที่นี่:

ค่าเฉลี่ยเล็มม่า:ใช้เพื่อพิสูจน์และทฤษฎีที่น่าสนใจอื่น ๆ อีกมากมาย อย่างไม่เป็นทางการสมมติว่าหมายถึงชุดสมาชิกของห้องสมุดบางแห่งหมายถึงชุดหนังสือในห้องสมุดและสำหรับและ , ข้อเสนอเป็นจริงถ้ามีสมาชิก "ชอบหนังสือ ." ค่าเฉลี่ยแทรกซึมกล่าวว่า: ถ้าทุก , มีอย่างน้อย 2/3 ของ 's ในเช่นนั้นถือ, มีอยู่เดียวBPPP/polySBsSbBϕ(s,b)sbsSbBϕ(s,b)bBเช่นนั้นอย่างน้อย 2/3 ของในข้อเสนอถืออยู่ (สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายผ่านทางreductio ad absurdumและการโต้แย้งการนับ)sSϕ(s,b)

ตอนนี้ขอและให้เป็นเครื่อง PPT ที่ตัดสินใจLสมมติว่าเวลาทำงานของเป็นที่สิ้นสุดโดยพหุนามcdot) จากนั้นสำหรับและอย่างน้อย 2/3 ของ 's,มัน ถือได้ว่า(x) นี่เป็นเครื่องซึ่งใช้การสุ่มและเป็นฟังก์ชั่นลักษณะของLค่าเฉลี่ยแทรกจะถูกใช้เพื่อแสดงว่าสำหรับใด ๆLBPPM()LMq()x{0,1}rr{0,1}q(|x|)Mr(x)=χL(x)Mr()MrχL()LnNมีอยู่คนเดียวเช่นว่าอย่างน้อย 2/3 's ความยาว ,(x) ครั้งนี้ครั้งเดียวทำงานเป็นคำแนะนำไปยังและดังนั้นจึงPr{0,1}q(n)xnMr(x)=χL(x)rMBPPP/poly

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

การแลกเปลี่ยนเล็มม่า: Zachos และFürerแนะนำปริมาณความน่าจะเป็นแบบใหม่ (ซึ่งหมายถึง "ส่วนใหญ่" อย่างคร่าว ๆ ) พวกเขาพิสูจน์แล้วว่า (ละเว้นรายละเอียด):+

(y)(+z)ϕ(x,y,z)(+C)(y)(zC)ϕ(x,y,z)

โปรดทราบว่านี่เป็นทฤษฎีตรรกะอันดับสอง

ใช้แทรกสลับพวกเขาพิสูจน์ให้เห็นจำนวนของทฤษฎีที่น่าสนใจเช่น BPP-ทฤษฎีบทและ Babai ของทฤษฎีบท ฉันแนะนำคุณไปยังเอกสารต้นฉบับสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมMAAM

ทฤษฎีบทคล้ายกับคาร์พ-ลิปตันทฤษฎีบทที่กล่าวถึงในไรอันวิลเลียมส์โพสต์:PcoNPNP/PolyΠ3P=Σ3P


Nitpicking: ฉันต้องการทราบว่าการพิสูจน์BPP⊆P / poly จริงต้องใช้มากกว่าการเขียนที่นี่เพียงเล็กน้อยเนื่องจากสตริงคำแนะนำที่ใช้งานได้เพียง 2/3 ของอินสแตนซ์ที่ไม่เพียงพอ แต่ฉันคิดว่าจุดสำคัญของครึ่งแรกของคำตอบนี้คือการพิสูจน์ว่าBPP⊆P / โพลีสามารถมองได้ว่าเป็นสิ่งที่คล้ายกับการกลับตัวของปริมาณซึ่งถูกต้องสมบูรณ์
Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: คุณพูดถูก แต่ส่วนที่เหลือของการพิสูจน์ใช้การทำซ้ำตามลำดับและ Chernoff ผูกพันเพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของที่ทำงานสำหรับทุกคน แต่เป็นเพียงเศษเสี้ยวเล็กน้อยของชี้แจง; และอย่างที่คุณบอกว่ามันไม่เกี่ยวกับการย้อนกลับของปริมาณดังนั้นฉันจึงละเว้นมัน r
MS Dousti

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณมีจุดของฉัน ประเด็นของฉันคือคำแถลงของ "ค่าเฉลี่ยแทรก" ไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์BPP⊆P / poly คุณต้องมีการประมาณการที่ละเอียดกว่าเล็กน้อยนั่นคือการประมาณความน่าจะเป็นที่คาดหวัง E_b [Pr_s φ (s, b)] แทน max_b [Pr_s φ (s, b)]
Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: ฉันเกรงว่าจะไม่ได้รับคุณ ในความคิดเห็นก่อนหน้านี้ฉันสังเกตเห็นว่าเราขยายข้อผิดพลาด 1/3 เป็นก่อนจากนั้นจึงใช้ค่าเฉลี่ย นี่คือหลักฐานการเป่าเต็มรูปแบบที่นำมาจากหนังสือของ Goldreich ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า? 2|x|
MS Dousti

ขอบคุณ! ฉันเข้าใจผิดความคิดเห็นของคุณ ฉันไม่ทราบว่าBPP⊆P / poly สามารถพิสูจน์ได้โดยการลดข้อผิดพลาดก่อนแล้วจึงใช้ค่าเฉลี่ยแทรก (ฉันกำลังคิดของคำสั่งตรงข้าม)
Tsuyoshi Ito
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.