ใช้เวลานานแค่ไหนในการหารอบสั้นในกราฟสุ่ม?

ให้เป็นกราฟสุ่มขอบ ด้วยความน่าจะเป็นที่สูงมากมีจำนวนตำแหน่ง เป้าหมายของเราคือการส่งออกหนึ่งในเหล่านี้อย่างรวดเร็วที่สุด $G \sim G(n, n^{-1/2})$ $\approx n^{3/2}$ $G$ $4$ $4$

สมมติว่าเรามีการเข้าถึงในรูปแบบรายการ adjacency เราสามารถประสบความสำเร็จกับความน่าจะเป็นคงที่ในเวลาดังต่อไปนี้: เลือกโหนดและเริ่มสร้างสุ่มพา ธ เริ่มต้นจาก ; เมื่อเราพบ -paths ที่ต่างกันซึ่งแบ่งจุดปลายทางแล้วเราก็ทำเสร็จแล้ว มีจุดปลายที่เป็นไปได้จุดและโดยเส้นขนานวันเกิดเราจะประสบความสำเร็จกับความน่าจะเป็นคงที่หลังจากค้นพบของพวกเขา $G$ $O(\sqrt{n})$ $v$ $2$ $v$ $2$ $n$ $\sqrt{n}$

เราทำได้ดีกว่านี้ไหม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นอัลกอริธึมเวลาคงที่ที่ประสบความสำเร็จกับความน่าจะเป็นคงที่หรือไม่?

— GMB
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่ากราฟนี้มีขอบน้อยเกินไปที่จะมีคุณสมบัติที่คุณต้องการถ้าคุณใช้คำศัพท์มาตรฐานมันก็เหมือนกับตัวอย่างมี

G (n, p)

$G(n,p)$

p = (\sqrt{n} / C (n, 2)) = O (n^{- 3 / 2})

$p=(\sqrt{n}/C(n,2))=O(n^{-3/2})$

— kodlu

ขอบคุณคุณพูดถูกฉันหมายถึง (แก้ไข) กราฟเหล่านี้จะมี s เมื่อใดก็ตามที่สองโหนดแบ่งปันเพื่อนบ้านซึ่งเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็นคงที่ต่อคู่โหนด

p = n^{- 1 / 2}

$p = n^{-1/2}$

C_{4}

$C_4$

\geq 2

$\ge 2$

— GMB

ฉันกำลังใช้คำศัพท์ที่นี่ ( en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93R%C3%A9nyi_model ) ซึ่งแต่ละขอบถูกรวมอย่างอิสระกับความน่าจะเป็น - ดังนั้นขอบอย่างที่คาดไว้

p

$p$

p \cdot (\binom{n}{2})

$p \cdot {n \choose 2}$

— GMB

คำตอบ:

ไม่คุณไม่สามารถเอาชนะการสอบถามฉันจะอธิบายวิธีการทำแบบร่างหลักฐานการทดสอบของ exfretให้เป็นระเบียบในลักษณะที่ใช้งานได้กับอัลกอริธึมการปรับตัว นี่คือทั้งหมดที่คาดไว้ในคำตอบของ exfret; ฉันแค่กรอกรายละเอียดบางอย่าง $\Theta(\sqrt{n})$

พิจารณาอัลกอริทึม (อาจปรับได้) ใด ๆ ที่ออกลำดับของเคียวรีโดยที่แต่ละเคียวรีคือ "ดึงข้อมูลขอบของรายการจุดยอด " หรือ "ทดสอบว่าจุดยอดเชื่อมต่อกันด้วยขอบ" เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่มีการสืบค้นซ้ำเนื่องจากอัลกอริทึมใด ๆ ที่ทำซ้ำแบบสอบถามสามารถแปลงเป็นแบบสอบถามที่ไม่ซ้ำแบบสอบถามใด ๆ ในทำนองเดียวกันเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าอัลกอริทึมไม่เคยทำแบบสอบถามการเชื่อมต่อกับคู่ของจุดยอดใด ๆ ที่เป็นที่รู้จักแล้วจะเชื่อมต่อโดยขอบ (กล่าวคือการทดสอบเมื่อถูกส่งกลับก่อนหน้านี้โดยแบบสอบถามดึงข้อมูลบนหรือคือ ส่งกลับก่อนหน้านี้โดยแบบสอบถามดึงข้อมูลใน $i$ $v$ $v,w$ $v,w$ $w$ $v$ $v$ $w$ หรือก่อนหน้านี้เราได้ทดสอบการเชื่อมต่อของ ) $w,v$

ให้แสดงถึงเหตุการณ์ที่ในระหว่างเคียวรีแรกไม่มีการส่งจุดยอดโดยมากกว่าหนึ่ง fetch-query และไม่มี fetch-query ส่งคืนจุดสุดยอดที่ถูกสอบถามก่อนหน้านี้และไม่มีการเชื่อมต่อ " เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าถ้า{n}) ตามมาแล้วว่าไม่มีอัลกอริทึมที่ทำให้การสืบค้นสามารถมีความน่าจะเป็นแบบคงที่ในการค้นหารอบ 4 $E_k$ $k$ $w$ $\Pr[E_q] = 1-o(1)$ $q=o(\sqrt{n})$ $o(\sqrt{n})$

เราจะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร คำนวณ Let 's{k-1}] มีสองกรณีคือทั้งเคียวรี th คือเคียวรีดึงข้อมูลหรือเป็นเคียวรีทดสอบการเชื่อมต่อ: $\Pr[E_k|E_{k-1}]$ $k$

ถ้าเคียวรี th เป็นเคียวรีดึงข้อมูลบนจุดยอดมีจุดยอดกล่าวถึงในเคียวรีแรกและถ้าเคียวรี th ส่งคืนหนึ่งในนั้นเราจะมีมิฉะนั้น เราจะมีE_kตอนนี้การตอบสนองต่อ th นั้นมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในชุดของจุดยอดที่ประกอบด้วยจุดยอดทั้งหมดที่ไม่ได้ถูกส่งคืนโดยเคียวรีดึงข้อมูลก่อนหน้านี้บนดังนั้นการตอบสนองเคียวรี th จะกระจายอย่างสม่ำเสมอ ขนาดอย่างน้อย $k$ $v$ $2(k-1)$ $k-1$ $k$ $\neg E_k$ $E_k$ $k$ $S$ $S$ $v$ $k$ $n-k+1$ . ความน่าจะเป็นที่จะชนอย่างน้อยหนึ่งอย่างคือดังนั้นในกรณีนี้1) $\le 2(k-1)/(n-k+1)$ $\Pr[E_k|E_{k-1}] \ge 1 - 2(k-1)/(n-k+1)$
ถ้า TH แบบสอบถามมีการเชื่อมต่อการทดสอบแบบสอบถามแล้ว{n} $k$ $\Pr[E_k|E_{k-1}] \ge 1 - 1/\sqrt{n}$

ในกรณีใดกรณีหนึ่งถ้าเรามี $q=o(\sqrt{n})$

Pr [E_{k} | E_{k - 1}] \geq 1 - \frac{2 (k - 1)}{(n - k + 1)} .

$\Pr[E_k|E_{k-1}] \ge 1 - {2(k-1) \over (n-k+1)}.$

ตอนนี้

Pr [E_{q}] = \prod_{k = 1}^{q} Pr [E_{k} | E_{q - 1}] .

$\Pr[E_q] = \prod_{k=1}^q \Pr[E_k|E_{q-1}].$

ถ้าแล้ว $k \le q \le \sqrt{n}$

Pr [E_{k} | E_{k - 1}] \geq 1 - \frac{2 q}{n - q},

$\Pr[E_k|E_{k-1}] \ge 1 - {2q \over n - q},$

ดังนั้น

Pr [E_{q}] \geq (1 - \frac{2 q}{n - q})^{q} .

$\Pr[E_q] \ge (1 - {2 q \over n - q})^q.$

ด้านขวามือจะอยู่ที่ประมาณ\} เมื่อนี้เป็น(1) $\exp \{ - 2q^2/(n-q)\}$ $q = o(\sqrt{n})$ $1 -o(1)$

สรุป:เมื่อ{n}) ตามมาว่าคุณต้องการเพื่อให้มีความน่าจะเป็นในการค้นหารอบใด ๆ (อย่างน้อย 4 รอบ) $\Pr[E_q] = 1-o(1)$ $q=o(\sqrt{n})$ $\Omega(\sqrt{n})$

— ใบสำคัญแสดงสิทธิอนุพันธ์
แหล่งที่มา

"ถ้าเคียวรี kth เป็นเคียวรีทดสอบการเชื่อมต่อดังนั้น " ฉันกำลังคิด ? (แม้ว่าจะเป็นเช่นนั้นข้อสรุปก็ยังคงผ่านไปอย่างแน่นอน)

P r [E k | E k - 1] \geq 1 - 1 / n

$Pr[Ek|Ek−1]≥1−1/n$

1 - 1 / \sqrt{n}

$1-1/\sqrt{n}$

— usul

@usul, อ๊ะ, ใช่ขอบคุณ! แก้ไขแล้ว.

— DW

สมมติว่าเราสามารถสืบค้นเฉพาะขอบที่ของรายการ adjacency ของจุดยอดที่กำหนด (ซึ่งฉันสมมติว่าไม่ได้เรียงลำดับ) หรือว่าจุดยอดที่กำหนดสองอันอยู่ติดกันหรือไม่ ในกรณีนี้มันควรจะใช้แบบสอบถามเพื่อหาวงจร นี่เป็นเพราะมีโอกาสที่แบบสอบถามของเราทั้งหมดในประเภทแรกคืนค่าจุดยอดต่าง ๆ และแบบสอบถามทั้งหมดของเราที่เป็นประเภทที่สองกลับมาซึ่งจุดยอดทั้งสองไม่ได้เชื่อมต่อ $i$ $\sqrt n$ $1-o(1)$

โปรดแก้ไขให้ฉันด้วยถ้าฉันผิดที่อื่นหรือเข้าใจผิดปัญหา

— exfret
แหล่งที่มา

ภาพร่างหลักฐานนี้ฟังดูเหมือนว่าจะใช้ได้กับอัลกอริธึมที่ไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้ (เช่นการค้นหาที่กำหนดไว้ล่วงหน้า)

— usul

@usul ทำไมเป็นเช่นนั้น เราจะใช้ต้นไม้การตัดสินใจเพียงสาขาเดียวเท่านั้นต่อไป

— exfret

บางทีฉันควรชี้แจง มันควรจะชัดเจนว่าถ้าเราได้รับคำตอบสำหรับคำถามของเราตามที่กำหนดแล้วเราจะไม่สามารถส่งออก 4 รอบด้วยความน่าจะเป็นคงที่ อย่างไรก็ตามสำหรับต้นไม้การตัดสินใจใด ๆ ที่มีความลึกมีโอกาสที่เราจะถูกส่งลงสาขาดังกล่าว

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt n)$

1 - o (1)

$1-o(1)$

— exfret

ขอบคุณ! ฉัน (ค่อนข้างโดยพลการ) ยอมรับรุ่นอื่น ๆ ออกมา แต่ดูเหมือนว่าคุณจะได้รับมัน ขอบคุณคำตอบ

— GMB

@GMB ฉันคิดว่าคุณตัดสินใจถูกต้อง อีกคำตอบหนึ่งคือคำตอบที่มีคุณภาพสูงขึ้นและสมควรที่จะได้เห็นเป็นอันดับแรกจากคนอื่น

— exfret