ใช้เวลานานแค่ไหนในการหารอบสั้นในกราฟสุ่ม?


9

ให้เป็นกราฟสุ่มขอบ ด้วยความน่าจะเป็นที่สูงมากมีจำนวนตำแหน่ง เป้าหมายของเราคือการส่งออกหนึ่งในเหล่านี้อย่างรวดเร็วที่สุดGG(n,n1/2)n3/2G44

สมมติว่าเรามีการเข้าถึงในรูปแบบรายการ adjacency เราสามารถประสบความสำเร็จกับความน่าจะเป็นคงที่ในเวลาดังต่อไปนี้: เลือกโหนดและเริ่มสร้างสุ่มพา ธ เริ่มต้นจาก ; เมื่อเราพบ -paths ที่ต่างกันซึ่งแบ่งจุดปลายทางแล้วเราก็ทำเสร็จแล้ว มีจุดปลายที่เป็นไปได้จุดและโดยเส้นขนานวันเกิดเราจะประสบความสำเร็จกับความน่าจะเป็นคงที่หลังจากค้นพบของพวกเขาGO(n)v2v2nn

เราทำได้ดีกว่านี้ไหม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นอัลกอริธึมเวลาคงที่ที่ประสบความสำเร็จกับความน่าจะเป็นคงที่หรือไม่?


ดูเหมือนว่ากราฟนี้มีขอบน้อยเกินไปที่จะมีคุณสมบัติที่คุณต้องการถ้าคุณใช้คำศัพท์มาตรฐานมันก็เหมือนกับตัวอย่างมีG(n,p)p=(n/C(n,2))=O(n3/2)
kodlu

ขอบคุณคุณพูดถูกฉันหมายถึง (แก้ไข) กราฟเหล่านี้จะมี s เมื่อใดก็ตามที่สองโหนดแบ่งปันเพื่อนบ้านซึ่งเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็นคงที่ต่อคู่โหนด p=n1/2C42
GMB

ฉันกำลังใช้คำศัพท์ที่นี่ ( en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93R%C3%A9nyi_model ) ซึ่งแต่ละขอบถูกรวมอย่างอิสระกับความน่าจะเป็น - ดังนั้นขอบอย่างที่คาดไว้ pp(n2)
GMB

คำตอบ:


6

ไม่คุณไม่สามารถเอาชนะการสอบถามฉันจะอธิบายวิธีการทำแบบร่างหลักฐานการทดสอบของ exfretให้เป็นระเบียบในลักษณะที่ใช้งานได้กับอัลกอริธึมการปรับตัว นี่คือทั้งหมดที่คาดไว้ในคำตอบของ exfret; ฉันแค่กรอกรายละเอียดบางอย่างΘ(n)

พิจารณาอัลกอริทึม (อาจปรับได้) ใด ๆ ที่ออกลำดับของเคียวรีโดยที่แต่ละเคียวรีคือ "ดึงข้อมูลขอบของรายการจุดยอด " หรือ "ทดสอบว่าจุดยอดเชื่อมต่อกันด้วยขอบ" เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่มีการสืบค้นซ้ำเนื่องจากอัลกอริทึมใด ๆ ที่ทำซ้ำแบบสอบถามสามารถแปลงเป็นแบบสอบถามที่ไม่ซ้ำแบบสอบถามใด ๆ ในทำนองเดียวกันเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าอัลกอริทึมไม่เคยทำแบบสอบถามการเชื่อมต่อกับคู่ของจุดยอดใด ๆ ที่เป็นที่รู้จักแล้วจะเชื่อมต่อโดยขอบ (กล่าวคือการทดสอบเมื่อถูกส่งกลับก่อนหน้านี้โดยแบบสอบถามดึงข้อมูลบนหรือคือ ส่งกลับก่อนหน้านี้โดยแบบสอบถามดึงข้อมูลในivv,wv,wwvvwหรือก่อนหน้านี้เราได้ทดสอบการเชื่อมต่อของ )w,v

ให้แสดงถึงเหตุการณ์ที่ในระหว่างเคียวรีแรกไม่มีการส่งจุดยอดโดยมากกว่าหนึ่ง fetch-query และไม่มี fetch-query ส่งคืนจุดสุดยอดที่ถูกสอบถามก่อนหน้านี้และไม่มีการเชื่อมต่อ " เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าถ้า{n}) ตามมาแล้วว่าไม่มีอัลกอริทึมที่ทำให้การสืบค้นสามารถมีความน่าจะเป็นแบบคงที่ในการค้นหารอบ 4EkkwPr[Eq]=1o(1)q=o(n)o(n)

เราจะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร คำนวณ Let 's{k-1}] มีสองกรณีคือทั้งเคียวรี th คือเคียวรีดึงข้อมูลหรือเป็นเคียวรีทดสอบการเชื่อมต่อ:Pr[Ek|Ek1]k

  1. ถ้าเคียวรี th เป็นเคียวรีดึงข้อมูลบนจุดยอดมีจุดยอดกล่าวถึงในเคียวรีแรกและถ้าเคียวรี th ส่งคืนหนึ่งในนั้นเราจะมีมิฉะนั้น เราจะมีE_kตอนนี้การตอบสนองต่อ th นั้นมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในชุดของจุดยอดที่ประกอบด้วยจุดยอดทั้งหมดที่ไม่ได้ถูกส่งคืนโดยเคียวรีดึงข้อมูลก่อนหน้านี้บนดังนั้นการตอบสนองเคียวรี th จะกระจายอย่างสม่ำเสมอ ขนาดอย่างน้อยkv2(k1)k1k¬EkEkkSSvknk+1. ความน่าจะเป็นที่จะชนอย่างน้อยหนึ่งอย่างคือดังนั้นในกรณีนี้1)2(k1)/(nk+1)Pr[Ek|Ek1]12(k1)/(nk+1)

  2. ถ้า TH แบบสอบถามมีการเชื่อมต่อการทดสอบแบบสอบถามแล้ว{n}kPr[Ek|Ek1]11/n

ในกรณีใดกรณีหนึ่งถ้าเรามีq=o(n)

Pr[Ek|Ek1]12(k1)(nk+1).

ตอนนี้

Pr[Eq]=k=1qPr[Ek|Eq1].

ถ้าแล้วkqn

Pr[Ek|Ek1]12qnq,

ดังนั้น

Pr[Eq](12qnq)q.

ด้านขวามือจะอยู่ที่ประมาณ\} เมื่อนี้เป็น(1)exp{2q2/(nq)}q=o(n)1o(1)

สรุป:เมื่อ{n}) ตามมาว่าคุณต้องการเพื่อให้มีความน่าจะเป็นในการค้นหารอบใด ๆ (อย่างน้อย 4 รอบ)Pr[Eq]=1o(1)q=o(n)Ω(n)


"ถ้าเคียวรี kth เป็นเคียวรีทดสอบการเชื่อมต่อดังนั้น " ฉันกำลังคิด ? (แม้ว่าจะเป็นเช่นนั้นข้อสรุปก็ยังคงผ่านไปอย่างแน่นอน)Pr[Ek|Ek1]11/n11/n
usul

@usul, อ๊ะ, ใช่ขอบคุณ! แก้ไขแล้ว.
DW

5

สมมติว่าเราสามารถสืบค้นเฉพาะขอบที่ของรายการ adjacency ของจุดยอดที่กำหนด (ซึ่งฉันสมมติว่าไม่ได้เรียงลำดับ) หรือว่าจุดยอดที่กำหนดสองอันอยู่ติดกันหรือไม่ ในกรณีนี้มันควรจะใช้แบบสอบถามเพื่อหาวงจร นี่เป็นเพราะมีโอกาสที่แบบสอบถามของเราทั้งหมดในประเภทแรกคืนค่าจุดยอดต่าง ๆ และแบบสอบถามทั้งหมดของเราที่เป็นประเภทที่สองกลับมาซึ่งจุดยอดทั้งสองไม่ได้เชื่อมต่อin1o(1)

โปรดแก้ไขให้ฉันด้วยถ้าฉันผิดที่อื่นหรือเข้าใจผิดปัญหา


1
ภาพร่างหลักฐานนี้ฟังดูเหมือนว่าจะใช้ได้กับอัลกอริธึมที่ไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้ (เช่นการค้นหาที่กำหนดไว้ล่วงหน้า)
usul

@usul ทำไมเป็นเช่นนั้น เราจะใช้ต้นไม้การตัดสินใจเพียงสาขาเดียวเท่านั้นต่อไป
exfret

บางทีฉันควรชี้แจง มันควรจะชัดเจนว่าถ้าเราได้รับคำตอบสำหรับคำถามของเราตามที่กำหนดแล้วเราจะไม่สามารถส่งออก 4 รอบด้วยความน่าจะเป็นคงที่ อย่างไรก็ตามสำหรับต้นไม้การตัดสินใจใด ๆ ที่มีความลึกมีโอกาสที่เราจะถูกส่งลงสาขาดังกล่าว o(n)1o(1)
exfret

ขอบคุณ! ฉัน (ค่อนข้างโดยพลการ) ยอมรับรุ่นอื่น ๆ ออกมา แต่ดูเหมือนว่าคุณจะได้รับมัน ขอบคุณคำตอบ
GMB

1
@GMB ฉันคิดว่าคุณตัดสินใจถูกต้อง อีกคำตอบหนึ่งคือคำตอบที่มีคุณภาพสูงขึ้นและสมควรที่จะได้เห็นเป็นอันดับแรกจากคนอื่น
exfret
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.