เหตุใดการคาดเดาโลภจึงยากมาก?

ฉันเพิ่งเรียนรู้เกี่ยวกับการคาดเดาโลภสำหรับSuperstring ปัญหาที่สั้นที่สุด

ในปัญหานี้เราจะได้รับชุดของสตริง$s_1,\dots, s_n$และเราต้องการที่จะหาที่สั้นที่สุด superstring $s$เช่นเช่นกันว่า$s_i$ปรากฏขึ้นเป็น substring ของs$s$

ปัญหานี้คือปัญหา NP-hard และหลังจากลำดับของเอกสารที่ยาวอัลกอริทึมการประมาณรู้จักที่ดีที่สุดสำหรับปัญหานี้มีอัตราส่วน$2+\frac{11}{30}$ [Paluch '14]

ในทางปฏิบัตินักชีววิทยาใช้อัลกอริทึมโลภต่อไปนี้:

ในแต่ละขั้นตอนให้ผสานสองสตริงที่มีการทับซ้อนสูงสุดกับทุกคู่ (ส่วนต่อท้ายสูงสุดที่เป็นส่วนนำหน้าของสตริงอื่น) และทำซ้ำในอินสแตนซ์ใหม่นี้จนกว่าจะเหลือเพียงหนึ่งสตริง (ซึ่งเป็น superstring )

ที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่าของ$2$ในอัตราส่วนประมาณโลภขั้นตอนวิธีการนี้สามารถได้รับจากการป้อนข้อมูล$c(ab)^k,(ba)^k,(ab)^kc$ค

ที่น่าสนใจก็คือการคาดคะเนได้ว่านี่เป็นตัวอย่างที่เลวร้ายที่สุดคือที่บรรลุโลภ$2$ -approximation สำหรับสั้น Superstring ปัญหา ฉันประหลาดใจมากที่เห็นว่าอัลกอริทึมที่ง่ายและเป็นธรรมชาตินั้นยากที่จะวิเคราะห์

มีสัญชาติญาณข้อเท็จจริงข้อเท็จจริงการสังเกตตัวอย่างที่แนะนำว่าทำไมคำถามนี้ถึงท้าทายหรือไม่

ก่อนอื่นให้ฉันลองสรุปสิ่งที่ทราบเกี่ยวกับการเดาโลภ

1. Blum, Jiang, Li, Tromp, Yannakakisพิสูจน์ให้เห็นว่าอัลกอริทึมโลภให้การประมาณ 4 แบบและKaplan และ Shafrirแสดงให้เห็นว่าการประมาณ 3.5 สำหรับปัญหา Superstring สามัญที่สั้นที่สุด
2. รุ่นของอัลกอริทึมโลภเป็นที่รู้จักกันเพื่อให้การประมาณ 3 ( Blum, Jiang, Li, Tromp, Yannakakis )
3. $3$$4$
4. การคาดเดาโลภถือได้ว่าอัลกอริทึมโลภเกิดขึ้นกับการรวมสตริงในลำดับเฉพาะบางอย่าง ( Weinard, Schnitger ; Laube, Weinard )
5. อัลกอรึทึมของโลภทำให้การบีบอัดTarhio, Ukkonenประมาณ 2 เท่า (ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นความยาวทั้งหมดของสายป้อนเข้าลบความยาวของ superstrting ทั่วไปที่สั้นที่สุด)
6. มีการดำเนินงานที่มีประสิทธิภาพมากของโลภอัลกอริทึมUkkonen

ฉันคิดว่าเหตุผลข้อหนึ่งที่ว่าทำไมการพิสูจน์ความโลภเป็นการยากที่จะพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้ วิธีการส่วนใหญ่ในการพิสูจน์การรับประกันโดยประมาณของอัลกอริทึมโลภจะวิเคราะห์กราฟที่ทับซ้อนกัน (หรือเทียบเท่า, กราฟนำหน้า) ของชุดอินพุตของสตริง เรารู้เพียงบางคุณสมบัติของกราฟเหล่านี้ (เช่น Monge และความไม่เท่าเทียมสามประการ) แต่คุณสมบัติเหล่านี้ไม่เพียงพอสำหรับการพิสูจน์การคาดการณ์โลภ ( Weinard, Schnitger ; Laube, Weinard )