ทำไมอัตราส่วนการประมาณค่าที่แตกต่างกันจึงไม่ได้รับการศึกษาที่ดีเมื่อเปรียบเทียบกับค่ามาตรฐานแม้ว่าจะได้รับสิทธิประโยชน์

$\sup\frac{A}{OPT}$$MIN$$A$$A$$OPT$$\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}$$\Omega$

• มันให้อัตราส่วนการประมาณเดียวกันสำหรับปัญหาเช่นฝาครอบจุดยอดขั้นต่ำและชุดอิสระสูงสุดซึ่งเป็นที่ทราบกันว่าเป็นเพียงการรับรู้ที่แตกต่างกันของปัญหาเดียวกัน
• มันให้อัตราส่วนเท่ากันสำหรับรุ่นสูงสุดและต่ำสุดของปัญหาเดียวกัน ในขณะเดียวกันเรารู้ในทฤษฎีมาตรฐาน MIN TSP และ MAX TSP มีอัตราส่วนที่แตกต่างกันมาก
• มันมาตรการระยะไม่เพียง แต่จะเหมาะสม แต่ยัง pessimum \ดังนั้นในกรณีของ Vertex Cover ทฤษฎีการประมาณมาตรฐานบอกว่าเป็นขอบเขตบนที่ดีที่สุด แต่สิ่งจำเป็นคืออัตราส่วนสูงสุดระหว่างค่า pessimum และค่าที่เหมาะสม ดังนั้นอัลกอริทึมดังกล่าวรับประกันว่าจะส่งออกโซลูชั่นที่มีค่าที่เลวร้ายที่สุด$\Omega$$2$$2$

ข้อโต้แย้งของฉันคือ: ในการวิเคราะห์เชิงเส้นประสาทเราไม่คำนึงถึงค่าคงที่และเงื่อนไขต่ำ (ที่นี่ฉันจำคำพูดของ Avi Widgerson: "เราประสบความสำเร็จเพราะเราใช้ระดับที่เหมาะสมของนามธรรม") และนี่คือ ระดับของสิ่งที่เป็นนามธรรมสำหรับการเปรียบเทียบการใช้ทรัพยากรของอัลกอริทึม แต่เมื่อเราศึกษาการประมาณเราด้วยเหตุผลบางอย่างแนะนำความแตกต่างในสถานที่เหล่านั้นที่เราสามารถหลีกเลี่ยงได้

คำถามของฉันคือ

ทำไมทฤษฎีการประมาณค่าแตกต่างจึงศึกษาไม่ดี หรือข้อโต้แย้งที่เกี่ยวข้องไม่แข็งแรงพอ?

มีการตีความสองครั้งของการอ้างสิทธิ์"อัลกอริทึมค้นหา -approximation ของปัญหา "α $A$$\alpha$$P$ :

1. ปัญหานั้นง่ายในการแก้ค่อนข้างดีเนื่องจากเรามีอัลกอริทึมที่พบการประมาณที่ดี$P$
2. อัลกอริทึมเป็นสิ่งที่ดีเนื่องจากพบว่ามีการประมาณที่ดี$A$

ฉันคิดว่านิยามดั้งเดิมของปัจจัยการประมาณเน้นการตีความครั้งแรก เราจำแนกปัญหาตามความง่ายในการแก้ปัญหาที่ค่อนข้างดี

อัตราส่วนการประมาณค่าดิฟเฟอเรนเชียลดูเหมือนจะเพิ่มน้ำหนักอีกเล็กน้อยในการตีความครั้งที่สอง: เราไม่ต้องการที่จะ "ให้รางวัล" อัลกอริธึมเล็กน้อย (เช่นอัลกอริธึมที่เพิ่งส่งออกชุดว่างเปล่า

แน่นอนว่าทั้งคู่เป็นมุมมองที่ถูกต้อง แต่เป็นมุมมองที่ต่างกัน

นอกจากนี้เรายังสามารถศึกษาคำถามจากมุมมองที่เป็นประโยชน์ได้อีกเล็กน้อย น่าเสียดายที่จุดสุดยอดครอบคลุมเช่นนี้ไม่ได้มีการใช้งานโดยตรงหลายอย่าง แต่เพื่อประโยชน์ในการโต้แย้งขอให้เราพิจารณาแอปพลิเคชั่นทั้งสองนี้

• จุดสุดยอดปก: โหนดคอมพิวเตอร์และขอบเป็นการเชื่อมโยงการสื่อสาร เราต้องการตรวจสอบการเชื่อมโยงการสื่อสารทั้งหมดและด้วยเหตุนี้อย่างน้อยหนึ่งจุดปลายของแต่ละขอบจึงต้องใช้กระบวนการพิเศษ

• ชุดอิสระ: โหนดคือพนักงานและขอบโมเดลขัดแย้งกันระหว่างกิจกรรมของพวกเขา; เราต้องการค้นหาชุดกิจกรรมที่ปราศจากความขัดแย้งที่สามารถทำได้พร้อมกัน

ขณะนี้ปัญหาทั้งสองมีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย: ชุดของโหนดทั้งหมดเป็นหน้าปกและชุดที่ว่างเปล่าเป็นชุดอิสระ

แตกต่างที่สำคัญคือว่าที่มีปัญหาจุดสุดยอดปกทางออกที่น่ารำคาญได้รับงานทำ แน่นอนว่าเรากำลังใช้ทรัพยากรมากกว่าที่จำเป็น แต่อย่างน้อยเราก็มีทางออกที่เราสามารถใช้ในทางปฏิบัติ แต่ด้วยปัญหาชุดที่เป็นอิสระ, การแก้ปัญหาเล็กน้อยก็คือไร้ประโยชน์อย่างสมบูรณ์ เราไม่มีความก้าวหน้าเลย ไม่มีใครทำอะไรเลย งานไม่เสร็จสมบูรณ์

ในทำนองเดียวกันเราสามารถเปรียบเทียบโซลูชั่นเกือบเล็กน้อย: จุดสุดยอดปกที่ประกอบด้วยจุดสิ้นสุดของการจับคู่สูงสุดและชุดอิสระที่เป็นส่วนประกอบของCอีกครั้งI C $C$$I$$C$$C$แน่นอนจะทำงานให้สำเร็จในแอปพลิเคชันของเราและในครั้งนี้เราไม่ต้องสูญเสียทรัพยากรมากกว่าสองปัจจัย อย่างไรก็ตามอาจจะว่างเปล่าอีกครั้งซึ่งไร้ประโยชน์อย่างสมบูรณ์$I$

ดังนั้นคำจำกัดความมาตรฐานของการรับประกันการประมาณโดยตรงบอกเราว่าวิธีแก้ปัญหานั้นมีประโยชน์หรือไม่ การประมาณจุดยอดปก 2 จุดทำให้งานเสร็จสมบูรณ์ ชุดอิสระที่ไม่มีการรับประกันใด ๆ อาจไร้ประโยชน์อย่างสมบูรณ์

เรียกอีกอย่างหนึ่งว่าอัตราส่วนประมาณต่างพยายามที่จะวัด "วิธีแก้ปัญหา" - ไม่ใช่เรื่องไร้สาระ แต่มันมีความสำคัญในการใช้งานอย่างใดอย่างหนึ่งหรือไม่? (มีความสำคัญในแอปพลิเคชันใด ๆ หรือไม่)

ฉันไม่คุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องการประมาณค่าแบบต่าง ๆ และฉันไม่มีทฤษฎีใด ๆ ว่าทำไมจึงไม่ได้รับการศึกษาอย่างดี อย่างไรก็ตามฉันอยากจะชี้ให้เห็นว่ามันไม่เป็นที่พึงปรารถนาที่จะอธิบายประสิทธิภาพของอัลกอริทึมการประมาณโดยการวัดเพียงครั้งเดียว ในแง่นี้ฉันคิดว่าเป็นการยากที่จะยอมรับว่ามาตรการบางอย่างดีกว่ามาตรการอื่น

ตัวอย่างเช่นตามที่คุณระบุฝาปิดจุดสุดยอดขั้นต่ำยอมรับอัลกอริทึมแบบโพลิโนเมียลเวลา 2 ประมาณขณะที่มันเป็น NP- ยากที่จะประมาณอิสระสูงสุดตั้งค่าอัตราส่วนคงที่ใด ๆ แม้ว่าฉันจะเข้าใจว่าสิ่งนี้น่าประหลาดใจตั้งแต่แรกเห็น แต่ก็มีความหมายที่ถูกต้องตามกฎหมาย: (1) จุดยอดขั้นต่ำสามารถประมาณได้ดีเมื่อมันมีขนาดเล็ก แต่ (2) มันไม่สามารถประมาณได้ดีเมื่อมันมีขนาดใหญ่ เมื่อเราระบุว่ามันยากที่จะประมาณยอดสุดยอดขั้นต่ำ (และชุดอิสระสูงสุด) โดยประมาณด้วยค่าคงที่ประมาณค่าต่าง ๆ คงที่เราจะเพิกเฉยต่อคุณสมบัติ (1) มันอาจจะดีพอสำหรับบางวัตถุประสงค์ที่จะไม่สนใจคุณสมบัติ (1) แต่แน่นอนว่ามันไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป

โปรดทราบว่าเราไม่ได้ใช้อัตราส่วนโดยประมาณเสมอในการอธิบายประสิทธิภาพของอัลกอริทึมการประมาณ ตัวอย่างเช่นในการระบุผลลัพธ์ที่ไม่สามารถวัดได้ตามทฤษฎีบท PCP ในลักษณะทั่วไปเราจำเป็นต้องกำหนดสูตรตามปัญหาช่องว่าง ดูคำตอบของฉันสำหรับคำถามอื่นสำหรับรายละเอียด ในกรณีนี้การไม่ใช้อัตราส่วนการประมาณมาตรฐานหรือการใช้อัตราส่วนการประมาณแบบดิฟเฟอเรนเชียลทำให้เราสามารถระบุผลลัพธ์ในลักษณะทั่วไปได้ทั้งหมด

เมื่อ Tsuyoshi ชี้ให้เห็นปัญหาอาจเป็นเพราะการโต้เถียงที่คุณต้องการใช้ขอบเขตที่ได้รับ ในเรื่องต่อไปนี้ฉันจะพยายามพัฒนาแรงจูงใจที่แตกต่างกันสองแบบ

$\alpha = \frac{A}{OPT}$

$\alpha = \frac{\Omega - A}{\Omega - OPT}$$\alpha\cdot 100\%$

ดังนั้นขึ้นอยู่กับชนิดของคำสั่งขอบเขตที่ได้รับคือการสำรองคุณควรเลือกทางเลือกที่เหมาะสม

$[\Omega, OPT]$