-nets ด้วยความเคารพต่อบรรทัดฐานตัด

บรรทัดฐานการตัด $||A||_C$ ของจริงเมทริกซ์เป็นจำนวนสูงสุดเหนือทุกปริมาณ. $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}$ $I \subseteq [n], J \subseteq [n]$ $\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right|$

กำหนดระยะห่างระหว่างสองเมทริกซ์ $A$ และ $B$ เป็น $d_C(A,B) = ||A-B||_C$

cardinality ที่เล็กที่สุดคืออะไร $\epsilon$ สุทธิของพื้นที่ตัวชี้วัด $([0,1]^{n\times n}, d_C)$ ?

คือขนาดที่เล็กที่สุดเซต $S \subset [0,1]^{n\times n}$ เช่นว่าทุก , มีอยู่ดังกล่าวว่า ε $A \in [0,1]^{n\times n}$ $A' \in S$ $d_C(A, A') \leq \epsilon$

(แก้ไข: ฉันลืมที่จะพูดถึง แต่ฉันยังสนใจใน "ไม่เหมาะสม" $\epsilon$ -nets ด้วย $S \subset \mathcal{R}_+^{n\times n}$ - เช่นถ้าองค์ประกอบของ $\epsilon$ -net มีรายการนอก [0,1 ] นั่นก็น่าสนใจเช่นกัน)

ฉันสนใจทั้งในขอบเขตบนและล่าง

โปรดทราบว่าเทคนิคการตัด sparsifier บ่งบอก -nets สำหรับเมตริกตัด แต่ให้สิ่งที่แข็งแกร่งกว่าที่ฉันต้องการ - พวกเขาให้สุทธิที่คุณได้อย่างมีประสิทธิภาพสามารถหาจุด -close เมทริกซ์ใด ๆ เพียงโดยการสุ่มตัวอย่างจากเมทริกซ์ที่ หนึ่งอาจคิดว่ามีอยู่มีขนาดเล็กมาก -nets ที่คุณไม่สามารถตัวอย่างก็ไม่พบจุด -close ไปยังเมทริกซ์โดยพลการ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$

ตอนแรกฉันถามคำถามนี้ที่นี่เกี่ยวกับ mathoverflow

— แอรอนโรท
แหล่งที่มา

เนื่องจากการตัดบรรทัดฐานของ A มากกว่าหรือเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของแต่ละรายการของ A จึงเป็นที่ชัดเจนว่า net-net จะต้องมีขนาดอย่างน้อย (1 / (2ε)) ^ (n ^ 2) อะไรคือขอบเขตสูงสุดที่ได้จากเทคนิคการแยกตัวตัด (นี่อาจเป็นคำถามที่โง่ แต่ฉันไม่ทราบเทคนิคนั้น)

— Tsuyoshi Ito

เพียงเพื่อให้แน่ใจว่าฉันเปลี่ยนครึ่งแรกของความคิดเห็นก่อนหน้านี้เป็นคำตอบ (และเพิ่มขอบเขตบนให้) ฉันยังคงสนใจในขอบเขตบนที่ได้จากเทคนิคการแยกสปอร์ไลเซอร์

— Tsuyoshi Ito

เทคนิคข้างต้นให้ผลเมทริกซ์กับรายการใน

มากกว่าใน

]

ฉันลืมที่จะพูดถึงมันในโพสต์ แต่ฉันก็สนใจใน

-covers ประเภทนี้ด้วย

{0, m | | A | |_{1}}

$\{0, m||A||_1\}$

[0, 1]

$[0,1]$

ϵ

$\epsilon$

— Aaron Roth

สุทธิคุณจะได้รับจากการตัด sparsification ไม่ได้อยู่ในจริง

ตีความเมทริกซ์เป็นการกระจายความน่าจะเป็นบนขอบของกราฟกำกับและตัวอย่าง

ขอบจากการแจกแจง น้ำหนักแต่ละขอบด้วย

. โดยข้อโต้แย้ง VC-dimension (หรือเพียงแค่การรวมกันในการตัด) ข้อผิดพลาดการเติมสูงสุดในการตัดใด ๆ จะเป็น

ϵ

$\epsilon$

[0, 1]^{n \times n}

$[0,1]^{n×n}$

m = \tilde{O} (n / ϵ^{2})

$m=\tilde{O}(n/\epsilon^2)$

| | A | |_{1} / m

$||A||_1/m$

O (ϵ n^{2})

$O(\epsilon n^2)$ . ดังนั้นนี่ก็หมายความว่าชุดของ (ถ่วงน้ำหนักตามความเหมาะสม) กราฟบน

ขอบแบบ

สุทธิซึ่งเป็นที่ไม่น่ารำคาญสำหรับ

n^{5} / ϵ^{2}

$n^5/\epsilon^2$

ϵ

$\epsilon$

ϵ > n^{3 / 2}

$\epsilon>n^{3/2}$

— Aaron Roth

นี่คือการประเมินที่ง่าย ที่นี่เราเรียกชุดS ⊆ X εสุทธิของตัวชี้วัดพื้นที่Xเมื่อสำหรับทุกจุดx ∈ Xมีอยู่จุดs ∈ Sดังกล่าวว่าระยะห่างระหว่างxและsเป็นอย่างมาก ε หากคุณต้องการความไม่เท่าเทียมอย่างเข้มงวดในคำจำกัดความของε -net คุณสามารถปรับแต่งค่าของεเล็กน้อย

มันถือว่า | | A | | _∞≤ || A | | _C ≤ n ² || A | | _∞ , ที่ไหน || A | | _∞ซึก entrywise สูงสุดบรรทัดฐานของn × nเมทริกซ์

มันง่ายที่จะสร้างε -net ของพื้นที่เมตริก ([0,1] ^N , d _∞ ) ด้วยขนาด⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^Nและไม่ยากที่จะแสดงว่าขนาดนี้เป็นขั้นต่ำ (ในการแสดงค่าต่ำสุดให้พิจารณา⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^Nจุดซึ่งพิกัดเป็นทวีคูณของ 1 / ⌈1 / (2 ε ) −1⌉ และแสดงให้เห็นว่าระยะห่างระหว่างสองจุดเหล่านี้มากกว่า 2 ε .) ด้วยการตั้งค่าN = n ²และรวมสิ่งนี้เข้ากับการเปรียบเทียบดังกล่าวระหว่างการตัดมาตรฐานและค่าสูงสุด, ความสำคัญขั้นต่ำของεสุทธิส่วนที่เกี่ยวกับบรรทัดฐานตัดเป็นอย่างน้อย⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^{n ²}และที่มากที่สุด⌈ n ² / (2 ε ) ⌉ ⁿ 2

อัปเดต : หากการคำนวณของฉันถูกต้องขอบเขตที่ต่ำกว่าΩ ( n / ε ) ^{n ²}สามารถรับได้โดยอาร์กิวเมนต์ปริมาณ การทำเช่นนี้เราต้องผูกไว้บนบนไดรฟ์ของนั้นεบอลอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับบรรทัดฐานตัด

อันดับแรกเราพิจารณา "คัตติ้งบรรทัดฐาน" ของเวคเตอร์เดียวซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดระหว่างผลรวมขององค์ประกอบบวกกับผลรวมขององค์ประกอบเชิงลบ มันไม่ได้เป็นเรื่องยากที่จะแสดงให้เห็นว่าปริมาณของนั้นεบอลอื่น ๆ ในℝ ⁿส่วนที่เกี่ยวกับเรื่องนี้“ตัดบรรทัดฐาน” จะมีค่าเท่ากับ

ε^{n} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n}} \frac{1}{| I |!} \cdot \frac{1}{(n - | I |)!} = ε^{n} \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) \frac{1}{r! (n - r)!}

$\varepsilon^n \sum_{I \subseteq \{1,\dotsc,n\}} \frac{1}{|I|!} \cdot \frac{1}{(n-|I|)!} = \varepsilon^n \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{1}{r!(n-r)!}$

= \frac{ε^{n}}{n!} \sum_{r = 0}^{n} {(\binom{n}{r})}^{2} = \frac{ε^{n}}{n!} (\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)! ε^{n}}{(n!)^{3}} .

$= \frac{\varepsilon^n}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \frac{\varepsilon^n}{n!} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!\varepsilon^n}{(n!)^3}.$

ถัดไปตั้งแต่บรรทัดฐานตัดของn × nเมทริกซ์มากกว่าหรือเท่ากับบรรทัดฐานตัดของแต่ละแถวปริมาณของนั้นεบอลอื่น ๆ ในℝ ⁿ^×ⁿที่มากที่สุดnอำนาจ th ของปริมาณนั้นεบอลอื่น ๆ ในℝ nดังนั้นขนาดของนั้นεสุทธิของ [0,1] ⁿ^×ⁿต้องมีอย่างน้อย

\frac{(n!)^{3 n}}{(2 n)!^{n} ε^{n^{2}}} = {(Ω (\frac{n}{ε}))}^{n^{2}},

$\frac{(n!)^{3n}}{(2n)!^n \varepsilon^{n^2}} = \left(\Omega\left(\frac{n}{\varepsilon}\right)\right)^{n^2},$

โดยที่ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายเป็นการคำนวณที่น่าเบื่อซึ่งเราใช้สูตรของสเตอร์ลิง : ln n ! = n ln n - n + O (บันทึกn )

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

ในการตอบสนองต่อการแก้ไข (แก้ไขครั้งที่ 4) ของคำถามขอบล่างที่ระบุไว้ในคำตอบนี้ยังใช้กับ "ไม่เหมาะสม" ε-nets

— Tsuyoshi Ito

ดูถูกต้องเรียบร้อยดี!

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih: ขอบคุณ ส่วนที่ฉันชอบมากที่สุดคือการใช้สัมประสิทธิ์ทวินามในการคำนวณปริมาตรของε-ball ในℝ ^ n

— Tsuyoshi Ito

ฉันสงสัยว่าขอบเขตล่างของขนาดสุทธิ (เทียบเท่าขอบเขตบนของปริมาตร) สามารถปรับปรุงได้ ฉันถามคำถามที่เกี่ยวข้องกับ MathOverflow

— Tsuyoshi Ito