การวัดแบบแผนของสูตร CNF

เป็นที่ทราบกันอย่างกว้างขวางว่าสูตร CNF สามารถแบ่งพาร์ติชันได้ประมาณ 2 คลาส: สุ่มกับโครงสร้าง สูตร CNF ที่มีโครงสร้างซึ่งตรงกันข้ามกับสูตร CNF แบบสุ่มแสดงการเรียงลำดับบางส่วนแสดงรูปแบบที่ไม่น่าจะเกิดขึ้นโดยบังเอิญ อย่างไรก็ตามบางคนอาจพบว่าสูตรที่มีโครงสร้างแสดงระดับของการสุ่ม (เช่นบางกลุ่มของ clauses ดูเหมือนจะมีโครงสร้างที่น้อยกว่าคนอื่น ๆ ) เช่นเดียวกับสูตรสุ่มที่มีรูปแบบที่อ่อนแอของโครงสร้าง (เช่นบางกลุ่มของ clauses ) ดังนั้นดูเหมือนว่าการสุ่มของสูตรไม่ใช่แค่ใช่ / ไม่ใช่จริง

ให้เป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดสูตร CNF F ∈ Fคืนค่าจริงระหว่าง0และ1รวม: 0หมายถึงสูตรโครงสร้างที่บริสุทธิ์ขณะที่1หมายถึงสูตรสุ่มบริสุทธิ์$r: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$$F \in \mathcal{F}$$0$$1$$0$$1$

ฉันสงสัยว่ามีใครบางคนเคยพยายามที่จะคิดค้นเช่นRแน่นอนว่าค่าที่ส่งคืนโดยrจะเท่ากับ (อย่างน้อยนี่คือความตั้งใจของฉัน) เพียงแค่การวัดที่ใช้ได้จริงตามเกณฑ์ที่สมเหตุสมผลบางอย่างแทนที่จะเป็นความจริงทางทฤษฎีที่มั่นคง$r$$r$

ฉันยังสนใจที่จะทราบว่ามีใครเคยกำหนดและศึกษาตัวบ่งชี้ทางสถิติใด ๆ ที่สามารถใช้ในคำจำกัดความของหรือในการพิจารณาคุณสมบัติโดยรวมที่มีประโยชน์อื่น ๆ ของสูตร จากตัวบ่งชี้ทางสถิติฉันหมายถึงสิ่งที่ต้องการ$r$

1. ไวรัสตับอักเสบซี (จำนวนระเบียนแปรปรวน)
   
   ให้เป็นฟังก์ชั่นที่ได้รับตัวแปรวีเจ ∈ Nกลับจำนวนครั้งที่วีเจปรากฏในF Let Vเป็นชุดของตัวแปรที่ใช้ในการเรนไฮน์ ให้ˉ h F = $h_F: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$v_j \in \mathbb{N}$$v_j$$F$$V$$F$เป็น AHC (จำนวน Hit เฉลี่ย) HCV มีการกำหนดดังต่อไปนี้: HVC=$\bar{h}_F = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{h_F(v_j)}$
   
   ในกรณีสุ่ม HCV นั้นต่ำมาก (ตัวแปรทั้งหมดถูกกล่าวถึงเกือบเท่ากันจำนวนครั้ง) ในขณะที่โครงสร้างไม่ได้ (บางตัวแปร มีการใช้บ่อยมากและบางคนไม่เช่นมี "กลุ่มการใช้งาน")$HVC = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(h_F(v_j) - \bar{h}_F)^2}$
   
   
   
   
2. AID (ระดับความไม่บริสุทธิ์เฉลี่ย)
   
   ปล่อยให้เป็นจำนวนครั้งที่v jเกิดขึ้นเป็นบวกและให้h - F ( v j )จำนวนครั้งที่เกิดการลบ ให้ฉัน: N → [ 0 , 1 ]เป็นฟังก์ชั่นที่ได้รับตัวแปรวีเจ ∈ Vกลับของ ID (มัวหมองปริญญา) ฟังก์ชันi ( v j )ถูกกำหนดดังนี้: i $h_F^{+}(v_j)$$v_j$$h_F^{-}(v_j)$$i: \mathbb{N} \rightarrow [0,1]$$v_j \in V$$i(v_j)$ ) ตัวแปรเหล่านั้นที่เกิดขึ้นครึ่งหนึ่งของเวลาเป็นบวกและครึ่งหนึ่งของลบมีระดับความบริสุทธิ์สูงสุดในขณะที่ตัวแปรเหล่านั้นเกิดขึ้นในทางบวกหรือลบเสมอ (เช่นตัวอักษรบริสุทธิ์) มีระดับความบริสุทธิ์ต่ำสุด AID มีการกำหนดไว้อย่างง่าย ๆ ดังนี้: AID=$i(v_j) = 2 \cdot \frac{min(h_F^{+}(v_j), h_F^{-}(v_j))}{h_F(v_j)}$
   
   ในกรณีสุ่ม (อย่างน้อยในผู้ที่สร้างขึ้นโดยกวนตัวแปรที่มีความน่าจะเป็น0.5) AID ที่เกือบจะเท่ากับ1ในขณะที่ในกรณีที่มีโครงสร้างก็มักจะห่างไกลจาก1$AID = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{i(v_j)}$
   
   $0.5$$1$$1$
   
   
3. IDV (มัวหมองปริญญาแปรปรวน)
   
   IDV เป็นตัวบ่งชี้ที่แข็งแกร่งมากขึ้นกว่า AID เพียงอย่างเดียวเพราะมันบัญชีสำหรับกรณีสุ่มสร้างขึ้นโดยกวนตัวแปรที่มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันกว่า0.5มันถูกกำหนดเป็น: I D V = $0.5$
   
   $IDV = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(i(v_j) - AID)^2}$
   
   $0$$0$

แรงจูงใจ

1. เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการทำงานของสูตร CNF ได้ดีขึ้นวิธีการวัดแบบแผน / โครงสร้างของพวกเขาหากคุณสมบัติโดยรวมที่มีประโยชน์อื่น ๆ สามารถอนุมานได้โดยดูที่ตัวชี้วัดทางสถิติของพวกเขา
2. สงสัยว่าความน่าพอใจ (หรือแม้แต่จำนวนของการแก้ปัญหา) ของสูตร CNF สามารถสรุปได้ด้วยการจัดการกับตัวบ่งชี้ทางสถิติอย่างชาญฉลาด

คำถาม

1. มีใครเคยเสนอวิธีการวัดแบบแผนของสูตร CNF หรือไม่?
2. มีใครเคยเสนอตัวบ่งชี้ทางสถิติใด ๆ ที่สามารถใช้ในการศึกษาหรือแม้กระทั่งอนุมานคุณสมบัติโดยรวมที่เป็นประโยชน์ของสูตร CNF ได้หรือไม่?

ฉันแนะนำให้ยืมปรีชาฟิสิกส์ว่าโครงสร้าง "สุ่มน้อย" มีความสมมาตรมากกว่า สมมาตรสำหรับ CNF เป็นการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรใด ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชันคงที่ ตามเกณฑ์นั้นฟังก์ชั่นของ 3 ตัวแปรเช่น

$\displaystyle x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3} .$

หรือพูด

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee \neg x_{3}).$

สุ่มน้อยกว่าพูด

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) .$

โดยทั่วไปการกำหนดแนวคิดของ "สุ่ม" บนโครงสร้าง จำกัด เป็นสิ่งที่ท้าทาย ในอดีตมันถูกทดลองในลำดับเลขฐานสองซึ่งเนื้อหาเป็นโครงสร้าง จำกัด ที่ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่นสัญชาตญาณลำดับ 01010101 คือ "สุ่มน้อย" กว่าพูด 01001110 อย่างไรก็ตามมันรู้ได้อย่างรวดเร็วว่าไม่มีคำจำกัดความที่เป็นทางการที่สอดคล้องกันของลำดับสุ่มแน่นอน ! ดังนั้นเราต้องสงสัยว่าความพยายามไร้เดียงสาใด ๆ ในการกำหนดตัวชี้วัดแบบสุ่มสำหรับโครงสร้าง จำกัด ใด ๆ