โครงสร้างข้อมูลแบบ quad-edge (Delaunay / Voronoi)

2 คำถามสำหรับ geometers หรือพีชคณิตการคำนวณ:

ฉันเพิ่งเริ่มดำน้ำในเรขาคณิตการคำนวณและฉันรักมัน =)

ฉันกำลังพยายามอ่านบทความที่มีชื่อเสียงโดย Guibas และ Stolfi เรียกว่า"Primitives สำหรับการจัดการส่วนย่อยทั่วไปและการคำนวณ Voronoi Diagrams"เพื่อใช้อัลกอริธึมสามเหลี่ยม Delaunay ฉันถูกล่อลวงให้ข้ามสิ่งต่าง ๆ ทางทฤษฎีทั้งหมดและเพียงแค่อ่านคำอธิบายของโครงสร้างข้อมูลสี่ด้านเพื่อประหยัดเวลา อย่างไรก็ตามฉันคิดว่ามันอาจคุ้มค่าที่จะเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดในบทความหากมีการใช้โครงสร้างอย่างกว้างขวางหรือเพียงเพราะมันอาจจะสวยงาม

คณิตศาสตร์มีความหนาแน่นเล็กน้อยสำหรับฉัน ฉันไม่ได้สนใจโทโพโลยีอย่างสมบูรณ์ แต่คำอธิบายของพีชคณิตขอบของพวกเขาต้องการความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตนามธรรมที่ฉันไม่มี

คำถามสองข้อของฉันคือ: มีแอปพลิเคชันอื่น ๆ ของโครงสร้างแบบ quad-edge นอกเหนือจากการคำนวณ Delaunay / Voronoi? ดูเหมือนว่าเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังอย่างยิ่ง

คำถามที่สอง; พีชคณิตนามธรรมคืออะไร? มันจะดีถ้าคุณสามารถให้ฉันอ้างอิงถึงการแนะนำพีชคณิตนามธรรมเพียงพอเพื่อให้ฉันสามารถเข้าใจส่วนในพีชคณิตขอบของพวกเขา

ขอขอบคุณ!

ฉันคิดว่าการทำพิธีการ "edge algebra" ของ Guibas และ Stolfi นั้นไม่จำเป็นเลย

สิ่งที่จำเป็นจริงๆคือการจดจำความแตกต่างระหว่างกราฟแรกและกราฟคู่ แต่ละหน้าของกราฟเบื้องต้นมีจุดยอดคู่ที่สอดคล้องกัน ; ขอบแต่ละอันของกราฟเบื้องต้นนั้นมีขอบคู่ที่สอดคล้องกัน ; และแต่ละจุดสุดยอดของกราฟปฐมมีที่สอดคล้องกันคู่หน้า * ขอบปฐมเชื่อมต่อจุดยอดดั้งเดิมและใบหน้าที่แยกต่างหาก ขอบคู่เชื่อมต่อจุดยอดคู่และแยกหน้าคู่ คู่ของสองสิ่งคือสิ่งเดิม ดูรูปที่ 4 ในกระดาษของ Guibas และ Stolfi:f ∗ e e ∗ v v $f$$f^*$$e$$e^*$$v$$v^*$

Guibas และ Stolfi เสนอความคิดเกี่ยวกับแต่ละขอบ (ไม่ว่าจะเป็นครั้งแรกหรือครั้งที่สอง) เป็นชุดของสี่ขอบกำกับเน้น ; สำหรับความเรียบง่าย, ฉันจะเรียกเหล่านี้ลูกดอก แต่ละลูกดอกคะแนนจากจุดปลายหนึ่งไปยังจุดปลายอีกและแยกใบหน้าสองหน้าและ{E}) ตัวเลือกที่ปลายทางที่จะโทรหาคือทิศทางของโผและตัวเลือกที่จะโทรหาเป็นการวางแนวหาง( → e )หัว( → e )ซ้าย( → e )ขวา( → e )หาง( → e )ซ้าย( → e$\vec{e}$$\text{tail}(\vec{e})$$\text{head}(\vec{e})$$\text{left}(\vec{e})$$\text{right}(\vec{e})$$\text{tail}(\vec{e})$$\text{left}(\vec{e})$. (Guibas และ Stolfi ใช้ "Org" และ "Dest" แทน "tail" และ "head" แต่ฉันชอบป้ายที่สั้นกว่าเพราะตัวย่อที่ไม่จำเป็นเป็นสิ่งชั่วร้าย)

สำหรับลูกดอกใด ๆGuibas และ Stolfi เชื่อมโยงลูกดอกสามดอกที่เกี่ยวข้อง:$\vec{e}$

1. tail ( → e ) → $\text{tailNext}(\vec{e})$ : โผออกต่อไปเพื่อทวนเข็มนาฬิกาหลังจาก{E}$\text{tail}(\vec{e})$$\vec{e}$
2. → eซ้าย( → e ) ขวา$\text{flip}(\vec{e})$ : ลูกดอก“ เดียวกัน” เป็นแต่มีและสลับ$\vec{e}$$\text{left}(\vec{e})$$\text{right}(\vec{e})$
3. $\text{rotate}(\vec{e})$ : โผคู่ที่ได้รับโดยให้หนึ่งในสี่หันทวนเข็มนาฬิการอบจุดกึ่งกลาง$\vec{e}$

ฟังก์ชั่นทั้งสามนี้ตอบสนองตัวตนที่น่าอัศจรรย์ทุกประเภทเช่น:

• $\text{right}(\text{tailNext}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
• $\text{right}(\text{flip}(\vec{e})) = \text{left}(\vec{e})$
• $\text{right}(\text{rotate}(\vec{e})) = \text{head}(\vec{e})^*$
• $\text{flip}(\text{flip}(\vec{e})) = \vec{e}$
• $\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$
• $\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\vec{e})))) = \vec{e}$

สำหรับรายการทั้งหมดให้ดูหน้า 83 ของกระดาษ (แต่ระวังว่าผู้แต่งใช้เครื่องหมาย postfixน่าจะเป็นเพราะมันใกล้กับรหัสประกาศ) Guibas และ Stolfi เรียกร้องใด ๆ สามของฟังก์ชั่นความพึงพอใจของตัวตนทั้งหมดเหล่านี้พีชคณิตขอบ$e~Flip$e.Flip

ยิ่งไปกว่านั้นด้วยฟังก์ชั่นทั้งสามนี้เราสามารถกำหนดฟังก์ชั่นที่มีประโยชน์อื่น ๆ อีกมากมายเช่น

• $\text{reverse}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{flip}(\text{rotate}(\vec{e})))$ - สลับหัวและหางจุดยอด
• → eเหลือ( → e$\text{leftNext}(\vec{e}) = \text{rotate}(\text{tailNext}(\text{rotate}(\text{rotate}(\text{rotate}(\vec{e})))))$ - โผถัดไปหลังจากตามลำดับทวนเข็มนาฬิการอบใบหน้า$\vec{e}$$\text{left}(\vec{e})$

ในที่สุดการรู้ว่าฟังก์ชั่นเหล่านี้จะบอกคุณทุกอย่างเกี่ยวกับโทโพโลยีของการแบ่งและการแบ่งเหลี่ยมหลายเหลี่ยมของพื้นผิวใด ๆ (ปรับทิศทางได้หรือไม่) สามารถเข้ารหัสได้โดยใช้ฟังก์ชันทั้งสามนี้

โครงสร้างข้อมูลแบบ quad-edge เป็นการแสดงกราฟพื้นผิวที่ให้ความสะดวกในการเข้าถึงฟังก์ชั่นเหล่านี้พร้อมกับการดำเนินการเวลาคงที่อื่น ๆ เช่นการแทรกการลบการทำสัญญาการขยายและการพลิกขอบ แยกหรือรวมจุดยอดหรือใบหน้า; และการเพิ่มหรือลบที่จับหรือข้ามแคป

มีความสุข!