Median-SAT ซับซ้อนแค่ไหน?

ให้เป็นสูตร CNF ที่มีตัวแปรและอนุประโยคให้ เป็นตัวแทนของการกำหนดตัวแปรและนับจำนวนคำสั่งที่มีความพึงพอใจโดยการกำหนดตัวแปรไปφจากนั้นให้นิยาม Median-SAT เป็นปัญหาของการคำนวณค่ามัธยฐานของในทุก $\varphi$ $n$ $m$ $t \in \{ 0,1 \}^n$ $f_{\varphi}(t) \in \{ 0, \ldots , m \}$ $\varphi$ $f_{\varphi}(t)$ nตัวอย่างเช่นถ้าเป็นซ้ำซากดังนั้นการแก้ปัญหาสำหรับ Median-SAT จะเป็นเนื่องจากไม่คำนึงถึงการมอบหมายทุกข้อจะพอใจ อย่างไรก็ตามในกรณีของวิธีการแก้ Median-SAT อาจจะเป็นที่ใดก็ได้ระหว่างและ 1 $t \in \{ 0,1 \}^n$ $\varphi$ $m$ $\overline{SAT}$ $0$ $m-1$

คำถามนี้เกิดขึ้นเมื่อฉันไตร่ตรองส่วนขยายตามธรรมชาติสองรายการคือ SAT, MAX-SAT และ #SAT และความยากลำบากของปัญหาที่เกิดขึ้นจะเป็นอย่างไรหากพวกเขารวมตัวกัน สำหรับ MAX-SAT เราต้องไปหาการกำหนดตัวแปรโดยเฉพาะอย่างยิ่งการเพิ่มจำนวนของตัวแปรความพึงพอใจโดยφสำหรับ #SAT เราต้องนับจำนวนที่ได้รับมอบหมายตอบสนองทุกคำสั่งของφตัวแปรนี้จบลงส่วนใหญ่เป็นส่วนขยายของ #SAT (และในความเป็นจริงของ#WSAT ) แต่ยังคงรักษารสชาติของ MAX-SAT บางส่วนไว้ซึ่งเรานับจำนวนอนุประโยคที่พอใจมากกว่าเพียงแค่ตัดสินใจว่าพวกเขาพอใจหรือไม่ ไม่. $\varphi$ $m$ $\varphi$

ปัญหานี้ดูเหมือนยากกว่า #SAT หรือ #WSAT สำหรับแต่ละการกำหนดตัวแปร #SAT ตัดสินใจปัญหาแบบบูลไม่ว่าจะสร้างความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายหรือไม่ในขณะที่ค่ามัธยฐาน-SAT กำหนด "สิ่งที่ขอบเขต" มีความพึงพอใจในแง่ของจำนวนข้อที่ว่าความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมาย $\varphi$ $\varphi$

ฉันรู้ว่าปัญหานี้ค่อนข้างเป็นเรื่องที่ไม่แน่นอน การคำนวณจำนวนคำสั่งเฉลี่ยหรือโหมดของคำสั่งที่พอใจโดยการมอบหมายตัวแปรแต่ละรายการดูเหมือนว่าจะมีคุณภาพเหมือนกัน อาจมีปัญหาอื่น ๆ อีกมากมายเช่นกัน

มีการศึกษาปัญหานี้หรือไม่ภายใต้หน้ากากที่แตกต่างกัน? มันยากแค่ไหนเมื่อเทียบกับ #SAT ไม่ชัดเจนสำหรับฉันที่ Median-SAT ยังมีอยู่ใน FPSPACE แม้ว่าจะดูเหมือนว่าจะมีอยู่ใน FEXPTIME

cc.complexity-theory sat counting-complexity

— Huck Bennett
แหล่งที่มา

มันอยู่ใน

: สำหรับแต่ละ

เราสามารถนับจำนวนของการมอบหมายที่ตอบสนองอย่างน้อย

clauses โดยใช้ #P oracle

F P^{# P} \subseteq F P S P A C E

$FP^{\#P}\subseteq FPSPACE$

k \leq m

$k\leq m$

k

$k$

— โคลิน McQuillan

@Colin ทำให้มันเป็นคำตอบ?

— Suresh Venkat

ใช่นี้จะทำให้คำตอบที่ดี คุณสามารถอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการสอบถาม oracle #P เพื่อตรวจสอบว่า

ข้อมีความพึงพอใจ? ฉันไม่สามารถหาวิธีที่จะทำอย่างมีประสิทธิภาพ

k \leq m

$k \leq m$

— Huck Bennett

@Tsuyoshi นิยามของ SAT ของคุณคืออะไร? เราอนุญาตการทำซ้ำประโยคหรือไม่? หรือตัวอักษรและ / หรือตัวแปรในข้อที่กำหนด? เพราะถ้าคุณไม่อนุญาตให้มีการทำซ้ำตัวอักษรและ / หรือตัวแปรในประโยคที่กำหนดคุณจะไม่สามารถมีสูตร CNF ที่เป็นซ้ำซากได้ ..

— Tayfun จ่าย

@Tayfun - ฉันถามคำถามนี้จริง ๆ Tsuyoshi ช่วยด้วยแก้ไขเล็กน้อย คุณพูดถูกต้องเกี่ยวกับการใช้คำซ้ำซากในสูตร CNF ซึ่งต้องใช้ตัวอักษรซ้ำหลายครั้ง ตัวแปร SAT ใด ๆ จะน่าสนใจ CNF-SAT ซ้ำโดยไม่มีการซ้ำซ้อนในส่วนคำสั่ง (ซึ่งในกรณีที่เป็นไปไม่ได้เลยที่จะไม่ใช้คำซ้ำซาก) หรืออาจจะเป็นวงจร CIRCUIT-SAT ฉันไม่คิดว่าตัวเลือกนี้จะเปลี่ยนรสชาติของคำถาม

— Huck Bennett

$k$ $k$ $k$ $k$

$\#P$ $FP^{\#P} \subseteq FPSPACE$

— Colin McQuillan
แหล่งที่มา

คุณพูดถูก นี่เป็นข้อโต้แย้งที่สะอาดมากและฉันเดาว่าชัดเจนจากนิยามของ #P ฉันเรียนรู้บางสิ่ง

— Huck Bennett

k

$k$

# P

$\#P$

# P

$\#P$

F P^{# P}

$FP^{\#P}$

$\lceil \lg m+1 \rceil$

$M(\varphi)$ $\varphi$ $k$ $\psi_k$ $x$ $x$ $k$ $\varphi$ $\varphi$ $k$ $\psi_k$

$\psi_k$ $\psi_k$ $M(\varphi) \ge k$ $M(\varphi)$ $k=m/2$ $k$ $\lg m+1$ $M(\varphi)$ . การวนซ้ำแต่ละครั้งต้องใช้หนึ่งเคียวรีใน oracle ของเราสำหรับ MAJSAT

— ใบสำคัญแสดงสิทธิอนุพันธ์
แหล่งที่มา