แบบจำลองการคำนวณควอนตัมคืออะไร?

ฉันเคยได้ยินคนพูดถึงอัลกอริทึมควอนตัมและเกี่ยวกับรัฐและความสามารถในการพิจารณาความเป็นไปได้หลายอย่างพร้อมกันในบางครั้ง เพื่อความชัดเจนฉันไม่ได้ถามว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมนั้นถูกสร้างขึ้นทางร่างกายอย่างไร แต่จะดูจากมุมมองการคำนวณได้อย่างไร

ฉันจะพูดถึงคำแนะนำของ Martin Schwartz เกี่ยวกับNielsen & Chaungเป็นข้อมูลอ้างอิงมาตรฐาน มีคนอื่นอีกมากมายเช่นกัน

การวิจัยในสาขานี้ต้องการพิจารณาครอบครัวที่มีเครื่องแบบของวงจรควอนตัมซึ่ง (แดกดัน) เป็นเครือข่ายแบบอะคูสติกที่อธิบายว่าสถานะของรีจิสเตอร์หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นมีการเปลี่ยนแปลงตามเวลาในลักษณะคล้ายกับวงจรบูลีนแบบดั้งเดิม หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมฉันขอแนะนำการเรียนรู้ในแง่ของรุ่นนี้

ฉันต้องการให้คำตอบเชิงคุณภาพเพื่อเสริมการตอบสนองของ Martin

1. ควอนตัมการคำนวณไม่จริงพิจารณา "ความเป็นไปได้หลายครั้ง" --- หรืออย่างแม่นยำมากขึ้นหรือไม่ว่าคุณคิดว่าพวกเขาจะต้องพิจารณาความเป็นไปได้หลายครั้งเป็นเรื่องของทางเลือกของคุณของการตีความของกลศาสตร์ควอนตัคือทางเลือกที่ปรัชญาซึ่งไม่มี ขึ้นอยู่กับความสามารถหรือการทำนายของตัวแบบการคำนวณ ( "เมื่อพิจารณาความเป็นไปได้หลายครั้ง" สอดคล้องกับ "โลกหลายคนตีความ" ของ QM.)
   
   อย่างน้อยที่สุดหนึ่งสามารถพูดได้ว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมจะพิจารณาความเป็นไปได้หลายอย่างในเวลาเดียวกันเพียงเท่าที่สุ่มคำนวณโดยใช้ coin- พลิกพิจารณาความเป็นไปได้หลายอย่างในเวลาเดียวกัน นี้เป็นเพราะ:

2. Quantum state เป็นภาพรวมของการแจกแจงความน่าจะเป็น "ปกติ" --- ด้วยความแตกต่างที่เรียบง่าย แต่สำคัญ การแจกแจงความน่าจะเป็นตัวแทนเวกเตอร์จริงที่ไม่เป็นลบซึ่งมีผลรวมรายการที่ 1: นั่นคือเวกเตอร์หน่วยในบรรทัดฐานℓ ¹ การคำนวณความน่าจะเป็นต้องทำแผนที่ℓ ^{1 -}รวมเวกเตอร์กับเวกเตอร์อื่น ๆ และอธิบายด้วยแผนที่สโทแคสติก หนึ่งสามารถอธิบายการคำนวณควอนตัมในลักษณะที่คล้ายกันยกเว้นการใช้ℓ ²หน่วยเวกเตอร์มากกว่า over (ไม่ จำกัด เฉพาะการเป็นจริงหรือไม่เชิงลบ); การแปลงโดยแผนที่เหล่านั้นซึ่งรักษาℓ ² -norm, เช่นการดำเนินการรวมกัน
   
   ความแตกต่างนี้ไม่น่ารำคาญของหลักสูตรหรือไม่ก็อธิบายยังสิ่งที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์รัฐควอนตัมที่หมายความว่า แต่มันอาจช่วยอธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นกับช่องว่างของฮิลแบร์ตและผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ในการคำนวณควอนตัม: กับสิ่งที่เกิดขึ้นเหมือนกับการคำนวณความน่าจะเป็น พื้นที่การกำหนดค่าของบิตสุ่มเป็นเวกเตอร์ในℝ ₊ ² (โดยที่ℝ ₊เป็น reals ที่ไม่เป็นลบ); แต่เนื่องจากบิตสุ่มสามารถมีความสัมพันธ์กันเราจึงรวมพื้นที่การกำหนดค่าของบิตสุ่มหนึ่งบิตขึ้นไปโดยการใช้ผลิตภัณฑ์เมตริกซ์ ดังนั้นพื้นที่การกำหนดค่าของบิตสุ่มสองบิตคือℝ ₊ ²  ⊗ℝ ₊ ²  ≅ℝ ₊ ⁴ หรือพื้นที่ว่างทั่วไปของการแจกแจงความน่าจะเป็นเหนือทั้งสองสตริงสองบิตที่แตกต่างกัน การดำเนินการในวันแรกของการสุ่มบิตเหล่านี้ที่ไม่ได้ทำหน้าที่ในวันที่สองที่เป็นตัวแทนจากผู้ประกอบการ ⊗  ฉัน  2 และอื่น ๆ สิ่งก่อสร้างเดียวกันนี้ใช้กับควอนตัมบิต; และเราสามารถพิจารณาควอนตัมรีจิสเตอร์กับชุดขององค์ประกอบที่ต่างกันได้เช่นเดียวกับที่เราพิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นของเซตดังกล่าวอีกครั้งโดยใช้ℓ ² -norm vector over ℂ
   
   คำอธิบายนี้อธิบายถึงสถานะควอนตัม "บริสุทธิ์" จริง ๆ --- ซึ่งคุณสามารถทำได้ในหลักการการแปลงข้อมูลในวิธีการรักษาข้อมูลเพื่อการกระจายเดลต้าผ่านบิตสตริง 00 ... 0 (หรือมากกว่าอย่างแม่นยำเพื่อ รัฐโดยพลการใกล้กับสิ่งนี้ในบรรทัดฐานℓ ² ) ด้านบนของ quantum-randomness (ซึ่งฉันยังไม่ได้กล่าวถึงสิ่งใดที่ชัดเจน) คุณสามารถพิจารณา vanilla-convexity-randomness ที่สอดคล้องกับการผสม probabilistic ของสถานะควอนตัม: สิ่งเหล่านี้แสดงโดยตัวดำเนินการความหนาแน่นซึ่งสามารถแทนได้ ด้วยการติดตาม 1 (การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบ "คลาสสิค" อีกครั้งโดยทั่วไปซึ่งอาจแสดงโดยกรณีพิเศษของเมทริกซ์เส้นทแยงมุมบวกที่มีการติดตาม 1)
   
   สิ่งที่สำคัญเกี่ยวกับเรื่องนี้ก็คือในขณะที่สหรัฐฯมักอธิบายว่าควอนตัม "ใหญ่ชี้แจง" นี่เป็นเพราะพวกเขามักจะอธิบายโดยใช้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกับการแจกแจงความน่าจะเป็น; เหตุใดการแจกแจงความน่าจะเป็นไม่ได้อธิบายว่า "ใหญ่อย่างมาก" ในทางเดียวกันนั้นไม่ชัดเจน (แต่ท้ายที่สุดก็ไม่สำคัญ) ความยากของการจำลองสถานะควอนตัมนั้นมาจากข้อเท็จจริงนี้พร้อมกับความจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อนของการแจกแจงแบบℓ ² -distribution (หรือเงื่อนไขที่ซับซ้อนในแนวทแยงมุมของตัวดำเนินการความหนาแน่นหากคุณต้องการ) อาจยกเลิกในทางที่ ทำให้การประมาณการยากขึ้น

3. การพัวพันเป็นอีกรูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ สำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นเช่นสตริงบูลีนรัฐ "บริสุทธิ์" เท่านั้น (ซึ่งสามารถแมปโดยการแปลงข้อมูลที่เก็บรักษาไว้เพื่อการกระจายเดลต้ายอดแหลมใน 000 ... 0) เป็น "มาตรฐานพื้นฐาน" ของการแจกแจงเดลต้ายอดแหลมบน สตริงบูลีนที่แตกต่างกัน ดังนั้นพื้นฐานนี้ของℝ ₊ ^{2 n}มีความโดดเด่น แต่ไม่มีพื้นฐานที่แตกต่างเช่นนี้ในกลศาสตร์ควอนตัมเท่าที่เราสามารถบอกได้ --- มันชัดเจนที่สุดสำหรับควอนตัมบิต (ค้นหาสปิน 1/2 อนุภาคหากคุณต้องการทราบสาเหตุ) เป็นผลให้มีการเปลี่ยนแปลงการเก็บรักษาข้อมูลมากกว่าเพียงแค่การเรียงสับเปลี่ยน: กลุ่มของพวกเขาอย่างต่อเนื่องในความเป็นจริง สิ่งนี้จะช่วยให้คอมพิวเตอร์ควอนตัมเปลี่ยนสถานะในรูปแบบที่เป็นไปไม่ได้สำหรับคอมพิวเตอร์ที่มีความน่าจะเป็น
   
   แต่สิ่งที่เกี่ยวกับความยุ่งเหยิงซึ่งหลายคนพบว่าลึกลับและอ้างว่าเป็นสาเหตุของการเร่งความเร็วของคอมพิวเตอร์ควอนตัมมากกว่าคลาสสิก? "ความยุ่งเหยิง" นี่เป็นเพียงรูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์เช่นเดียวกับตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีความสัมพันธ์กันหากการกระจายของพวกเขาเป็นการรวมกันแบบนูนของการกระจายผลิตภัณฑ์มากกว่าหนึ่งรายการ (ที่มีระยะขอบแตกต่างกันในแต่ละตัวแปร) "ตัวแปรควอนตัม" สองตัว การกระจายคือการรวมกันเชิงเส้น (พร้อมหน่วยℓ ²- ไม่มี) ของการแจกแจงผลิตภัณฑ์สองอย่างที่ถูกต้อง; มันเป็นแนวคิดเดียวกันภายใต้บรรทัดฐานที่แตกต่างกันและมีบทบาทคล้ายกันในงานสื่อสาร (ตัวอย่างเช่น: "การเคลื่อนย้ายควอนตัม" ในการสื่อสารควอนตัมสอดคล้องกับการเข้ารหัสและถอดรหัสข้อความโดยใช้แผ่นเพียงครั้งเดียวแบบคลาสสิก) นี่คือรูปแบบของความสัมพันธ์ซึ่งทั่วไปกว่าบิตที่มีความสัมพันธ์แบบคลาสสิก แต่วิธีเดียวที่จะแสดงสิ่งนี้คือความสัมพันธ์ที่เข้ารหัสในสถานะที่เข้ากันได้นั้นนำไปใช้กับสิทธิพิเศษมากกว่าหนึ่งข้อเท่านั้น ในลักษณะของการพูดการพัวพันเป็นผลมาจากการไม่มีพื้นฐานที่ได้รับการยกเว้น
   
   คนชอบเรียกสิ่งกีดขวางเป็นองค์ประกอบสำคัญของการคำนวณควอนตัม แต่ดูเหมือนว่านี่จะไม่ถือน้ำ: มีผลลัพธ์แสดงให้เห็นว่าการพัวพันไม่สำคัญสำหรับอัลกอริทึมของแคระแกร็นในการแยกจำนวนเต็มจำนวนมากและที่จริงแล้วระบบควอนตัมอาจมีการพัวพันมากเกินไปที่จะเป็นประโยชน์สำหรับการคำนวณ ในความเป็นจริงทุกที่ที่ฉันตระหนักถึงความพัวพันนั้นมีบทบาทสำคัญในโปรโตคอลควอนตัมเป็นหลักหนึ่งในการสื่อสาร (ซึ่งคาดว่าความสัมพันธ์จะมีบทบาทสำคัญสำหรับโปรโตคอลคลาสสิก)

เมื่อมาถึงจุดนี้ฉันเริ่มลุยในโดเมนของความเห็นส่วนตัวดังนั้นฉันจะหยุดที่นี่ แต่หวังว่าคำพูดเหล่านี้อาจยกเลิกความลึกลับบางอย่างเกี่ยวกับการคำนวณควอนตัมและวิธีการอธิบาย

Lance Fortnow เขียนบทความที่อธิบายการคำนวณควอนตัมโดยไม่ใช้กลศาสตร์ควอนตัม เขานำเสนอเป็นหลักเช่นเดียวกับที่จะนำเสนอการคำนวณความน่าจะเป็น ฉันคิดว่านี่อาจเป็นจุดเริ่มต้นที่เร็วกว่าสิ่งที่ต้องการเช่น Nielson และ Chuang (แม้ว่าฉันจะยอมรับว่าถ้าคุณต้องการที่จะเข้าไปในสิ่งนี้จริงๆแล้ว Nielson และ Chung ควรอยู่ในรายการอ่านของคุณ)

L. Fortnow ทฤษฎีความซับซ้อนมุมมองหนึ่งของการคำนวณควอนตัม ทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์, 292 (3): 597-610, 2003 ฉบับพิเศษของเอกสารที่นำเสนอในการประชุมเชิงปฏิบัติการที่สองเกี่ยวกับอัลกอริทึมในการประมวลผลข้อมูลควอนตัม

ข้อความมาตรฐานที่ใช้คือการคำนวณควอนตัมและข้อมูลควอนตัมโดย Nielsen และ Chuang มันครอบคลุมช่วงที่แตกต่างกันค่อนข้างในระดับที่เหมาะสม เกือบทุกคนที่ทำงานในสนามมีสำเนาสิ่งนี้อยู่บนชั้นวางของพวกเขา หนังสือ Kaye, Laflamme และ Mosca ก็ดีเช่นกัน แต่ก็ครอบคลุมน้อยกว่า (แม้ว่าจะมีการเน้นที่อัลกอริทึมมากกว่านี้)

ในขณะที่เป็นไปได้ค่อนข้างที่จะอธิบายการคำนวณควอนตัมโดยไม่ต้องเข้าไปในกลศาสตร์ควอนตัมมากฉันไม่คิดว่านี่เป็นวิธีที่ดีในการเรียนรู้การคำนวณควอนตัม มีสัญชาตญาณค่อนข้างมากที่จะได้รับจากการรู้สึกถึงทฤษฎีทางกายภาพเนื่องจากรูปแบบการคำนวณควอนตัมล่าสุด (เช่นอะเดียแบติกโมเดลทอพอโลยีและการวัด) มีแรงจูงใจทางร่างกายมากกว่าเครื่องทัวริงควอนตัมหรือ แบบจำลองวงจร

กลศาสตร์ควอนตัมที่ต้องเข้าใจการคำนวณควอนตัมนั้นค่อนข้างง่ายและครอบคลุมค่อนข้างดีใน Nielsen และ Chuang จริงๆแล้วคุณจะรู้สึกดีเมื่ออ่านบทที่เกี่ยวข้องและลองทำแบบฝึกหัด มันเป็นสิ่งที่คุณจะได้รับความเข้าใจอย่างเป็นธรรมด้วยการทำงานสองสามวัน แม้ว่าคำแนะนำของฉันจะไม่เป็นไปตามข้อความแนะนำมาตรฐานสำหรับกลศาสตร์ควอนตัม แนวทางในการทำแบบจำลองอะตอมโมเลกุลและวัสดุใช้ระบบมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดและใช้ความพยายามอย่างมากในการก้าวไปข้างหน้า สำหรับข้อมูลควอนตัมมันเป็นการเริ่มต้นที่ดีกว่าในการดูระบบมิติที่ จำกัด นอกจากนี้ตามธรรมเนียมแล้วปัญหาที่ศึกษาโดยนักฟิสิกส์มีแนวโน้มที่จะหมุนรอบการค้นหาสถานะพื้นและพฤติกรรมของรัฐที่มั่นคง และนี่คือสิ่งที่ตำราเบื้องต้นส่วนใหญ่จะครอบคลุม (เริ่มต้นด้วยสมการคลื่น Schroedinger ที่ไม่ขึ้นกับเวลา) สำหรับการคำนวณควอนตัมเรามีแนวโน้มที่จะให้ความสนใจกับวิวัฒนาการของระบบเวลามากขึ้นและนี่คือการจัดการกับข้อความในการคำนวณควอนตัมรวบรัดมากกว่าในข้อความแนะนำกลศาสตร์ควอนตัมทั่วไป (ซึ่งโดยทั่วไปมีความหมายมากกว่า)

รูปแบบการคำนวณควอนตัมเป็นทางการเทียบเท่าโดย Quantum Turing Machine (QTM) และแบบจำลองควอนตัมวงจรซึ่งเป็นรูปแบบที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน หนึ่งในสามรูปแบบที่ใช้น้อยกว่านั้นขึ้นอยู่กับปริพันธ์ของเส้นทางมิติ จำกัด นั่นคือตัวอย่างที่ใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ของ (Bounded-Error Quantum Polynomial time) กับคลาสความซับซ้อนแบบคลาสสิกเช่น BQP P P ^# P = P ^GapP . นอกจากนี้โมเดลทั่วไปส่วนใหญ่ที่รวมเสียงดังขึ้นอยู่กับการปฏิบัติการควอนตัมหรือตัวดำเนินการ Kraus แบบจำลองทั้งหมดเหล่านี้ทราบว่าเทียบเท่ากัน$BQP$

ให้ฉันแนะนำสั้น ๆ โดยไม่ต้องใช้ฟิสิกส์กับแบบจำลองควอนตัมวงจร: Qubits เป็นหน่วยพื้นฐานของข้อมูลควอนตัมที่ถูกประมวลผล qubit เป็นเพียงบางส่วนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพื้นที่ Hilbert สองมิติ{} การลงทะเบียนที่มากขึ้นนั้นเกิดจากผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ของพื้นที่ฮิลแบร์ตพื้นฐานสองมิติ มิติของพื้นที่คอมโพสิตคือผลผลิตของมิติของช่องว่างที่เป็นส่วนประกอบและทำให้มีการยกระดับแบบทวีคูณด้วยจำนวน qubits ในการลงทะเบียนควอนตัม สถานะควอนตัมในการลงทะเบียนเป็นเวกเตอร์หน่วยอีกครั้ง$|\phi\rangle$$\cal{H_2}$$\cal{H_2} \otimes ... \otimes \cal{H_2}$$|\psi\rangle$ในพื้นที่คอมโพสิต ส่วนประกอบของเวกเตอร์นี้เป็นค่าที่ซับซ้อนที่เรียกว่าแอมพลิจูดของความน่าจะเป็นและสามารถระบุด้วยสตริงบิตแบบคลาสสิก วิวัฒนาการของรัฐดำเนินการโดยใช้ตัวดำเนินการรวมตัว (หรือที่รู้จักกันในชื่อประตูควอนตัม) กับเซตย่อยของความกว้างคงที่ของ qubits ในตอนท้ายของการคำนวณ qubits จะถูกวัดที่นำไปสู่สตริงบิตแบบคลาสสิกซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับกำลังของความน่าจะเป็นที่สัมพันธ์กับบิตสตริงนั้น$U$$square$

สำหรับการแนะนำเชิงลึกเพิ่มเติมโปรดดูหนังสือเรียนมาตรฐานNielsen และ Chuang

ก่อนอื่นคุณจะต้องเข้าใจฟิสิกส์ควอนตัม

คำแนะนำเล็กน้อย:

1. " คอมพิวเตอร์ควอนตัมสำหรับนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ " โดย Noson S. Yanofsky และ Mirco A. Mannucci
2. "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการคำนวณควอนตัม"โดย Phillip Kaye, Raymond Laflamme และ Michele Mosca

และในอีกด้านหนึ่งของความบันเทิง"ทางลัดผ่านกาลเวลา: หนทางสู่คอมพิวเตอร์ควอนตัม"โดย George Johnson

คุณสามารถมีการแนะนำที่ดีในบทความ "การแนะนำการคำนวณควอนตัมสำหรับนักฟิสิกส์" โดย Eleanor Rieffel และ Wolfgang Polak มันอาจจะค่อนข้างเก่า แต่ก็ยังเป็นการแนะนำสั้น ๆ ที่ดีในตัวเองในหัวข้อ: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9809016

บทความอีกข้อสรุปที่มากขึ้นคือ "การคำนวณควอนตัมอธิบายให้แม่ของฉัน" ของ Pablo Arrighi ที่http://arxiv.org/abs/quant-ph/0305045

คุณอาจทราบอยู่แล้ว แต่ในบล็อกของเขา Scott Aaronson มีลิงก์ไปยังจำนวนการบรรยายหลักสูตรของเขาเกี่ยวกับการคำนวณควอนตัมรวมถึงลิงก์ไปยังไพรเมอร์ QC โดยผู้อื่น (เพียงเลื่อนลงด้านขวาแถบเพื่อค้นหาสิ่งเหล่านี้) .

หากคุณต้องการแนะนำหนังสือที่มีความยาว แต่สิ่งที่ดีกว่าข้อความอย่าง Nielsen และ Chuang ฉันขอแนะนำQuantum Computing สำหรับนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดย Yanofsky และ Mannucci พวกเขาใช้เวลาพอสมควรในการทบทวนข้อกำหนดเบื้องต้นทางคณิตศาสตร์ก่อนที่จะดำลงไปใน QC หากคุณมีภูมิหลังทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งหนังสือเล่มนี้อาจดูธรรมดาเกินไป แต่ฉันคิดว่ามันมีประโยชน์ทีเดียว

โดยทั่วไปฉันต้องการคำแนะนำของ Joe ที่สอง แต่สำหรับคำแนะนำสั้น ๆ ฉันจะใส่ตำราของ Lance FortnowและStephen Fennerในรายการเรื่องรออ่านของนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่กำลังจะไปสู่ระดับควอนตัม

หากคุณค่อนข้างก้าวหน้าคุณอาจเริ่มต้นด้วยการสำรวจ de Wolf-Drucker เกี่ยวกับวิธีการควอนตัมสำหรับปัญหาแบบดั้งเดิม มันเป็นวิธีที่ดีที่จะเข้าใจควอนตัมเทคนิคก่อนที่คุณจะได้รับการควอนตัมปัญหา

ฉันไม่คิดว่าคุณต้องเรียนรู้กลไกควอนตัม อย่างไรก็ตามมันขึ้นอยู่กับพื้นที่ที่คุณต้องการทำงาน มีพื้นที่ของเขตข้อมูลที่ต้องการความรู้เกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัมอย่างแท้จริงอย่างไรก็ตามเช่นพื้นที่ที่ฉันทำงานอยู่ทฤษฎีการพิมพ์และแคลคูลัสแลมบ์ดาฉันไม่ต้องการมันฉันสามารถทำได้เพียงแค่รู้แบบจำลองการคำนวณบางอย่างสำหรับมัน

นอกจากข้อความมาตรฐานของเขากับ Chuang แล้ว Michael Nielsen ยังมีชุดวิดีโอบรรยายบน Youtube ที่เรียกว่าQuantum Computing for the Determinedซึ่งจนถึงตอนนี้ให้ภาพรวมของโมเดลการคำนวณ วิดีโอสามารถดูได้มากสำหรับทุกคนที่มีความเข้าใจเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และพีชคณิตเชิงเส้นเล็กน้อย