ตัวอักษรของเครื่องทัวริงเทปเดียว

สามารถทำงานได้ทุกนั่นคือคำนวณในเวลาที่เดียวเทปเครื่องทัวริงโดยใช้ตัวอักษรขนาดคำนวณได้ในเวลาบน เดียวเทปเครื่องทัวริงโดยใช้ตัวอักษรขนาด (พูด, และที่ว่างเปล่า)? $f : \{0,1\}^* \to \{0,1\}$ $t$ $k = O(1)$ $O(t)$ $3$ $0,1,$

(จากความคิดเห็นด้านล่างโดย OP) โปรดทราบว่าอินพุตถูกเขียนโดยใช้แต่เครื่องทัวริงที่ใช้ตัวอักษรขนาดสามารถเขียนทับสัญลักษณ์อินพุตด้วยสัญลักษณ์จากตัวอักษรขนาดใหญ่ ฉันไม่เห็นวิธีการเข้ารหัสสัญลักษณ์ในอักษรขนาดใหญ่ในตัวอักษรที่มีขนาดเล็กได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนรอบการป้อนข้อมูลซึ่งจะเสียค่าใช้จ่ายเวลา 2 $0,1$ $k$ $n^2$

computability turing-machines

— มนุ
แหล่งที่มา

หมายเหตุอินพุตถูกเขียนโดยใช้

แต่เครื่องทัวริงที่ใช้ตัวอักษรขนาด

สามารถเขียนทับสัญลักษณ์อินพุตด้วยสัญลักษณ์จากตัวอักษรขนาดใหญ่ ฉันไม่เห็นวิธีการเข้ารหัสสัญลักษณ์ในอักษรขนาดใหญ่ในตัวอักษรที่มีขนาดเล็กได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนรอบการป้อนข้อมูลซึ่งจะเสียค่าใช้จ่ายเวลา

0, 1

$0,1$

k

$k$

n^{2}

$n^2$

— มนู

@Emanuele: คุณควรแก้ไขคำถามและเน้นด้านนี้ มิฉะนั้นฟังดูเหมือนจะเป็นแบบฝึกหัดหนังสือมาตรฐาน ...

— Jukka Suomela

@ ซึโยชิฉันคิดว่าคุณเข้าใจผิดคำถาม

— Suresh Venkat

@ Jukka: บนเครื่องทัวริงเทปเดียวทุกสิ่งที่สามารถคำนวณได้ในเวลา

เป็นภาษาปกติ

o (n \log n)

$o(n \log n)$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@Abel: ผลลัพธ์ที่คุณอ้างจาก Arora และ Barak ได้แก้ไขปัญหาหลักที่นี่เพราะในรูปแบบของพวกเขา (ซึ่งเป็นมาตรฐานสำหรับ multi-tape TMs) พวกเขามีเทปอินพุตแยกต่างหากอ่านอย่างเดียว

— Joshua Grochow

คำตอบ:

คำตอบบางส่วนถ้า TM ทำงานใน $o( |x| \log |x|)$

ถ้า TM4 เป็น 4 สัญลักษณ์ TM (ที่มีตัวอักษร ) ที่คำนวณ , คือภาษาใน $\Sigma_4 = \{\epsilon,0,1,2 \}$ $f:\{0,1\}^* \to \{0,1\}$ $L = \{ x | f(x) = 1 \}$ $(o( |x| \log |x|))$

หนึ่งความซับซ้อนเชิงเส้นเวลากำหนดเทปหนึ่ง $1DLIN = 1DTime(O(n))$

Hennie พิสูจน์แล้วว่า (1) ว่า $REG = 1DLIN$
โคบายาชิได้รับการพิสูจน์ (2) ที่ $REG = 1DTime(o(n \log n))$

ดังนั้นจึงเป็นปกติและเห็นได้ชัดว่ายังคงปกติมากกว่าตัวอักษร $L$ $\Sigma_3 = \{\epsilon,0,1\}$

จึงมี DFA ที่ตัดสินใจ L และการใช้สัญลักษณ์เฉพาะใน 3หนึ่งเทป 3 สัญลักษณ์ TM3 สามารถสร้างขึ้นโดยตรงจากเอฟเอและตัดสินใจ L โดยใช้การป้อนข้อมูล unpadded เดียวกันของเดิม TM4 $\Sigma_3$

... คุณไม่สามารถสร้างได้โดยตรงจาก TM4 แต่มี TM3 อยู่

หาก TM4 ทำงานในคุณสามารถเลื่อนอินพุตและสร้างการแปลงโดยตรงจาก TM4 เป็น TM3 $\Omega(n^2)$

ในฐานะที่สังเกตเห็นในความคิดเห็นกรณีที่ยากคือเมื่อ TM4 ทำงานใน ) $\Omega(n\log n) \cap o(n^2)$

(1) Hennie, หนึ่งเทป, การคำนวณแบบทัวริงของเครื่องทัวริง (1965)

(2) โคบายาชิกับโครงสร้างของลำดับชั้นเวลาของเครื่องจักรทัวริงไทม์เทป nondeterministic (1985)

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

o (n \log n)

$o(n\log n)$

Ω (n \log n) \cap o (n^{2})

$\Omega(n\log n) \cap o(n^2)$

คุณพูดถูกฉันไม่ได้สังเกตเห็นความคิดเห็นของ Kristoffer ฉันแสดงกรณีที่น่าสนใจไม่ดี (ฉันไม่รู้วิธีพิสูจน์) ดังนั้นฉันจึงอัปเดตคำตอบ

— Marzio De Biasi

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n)

$O(n)$

L

$L$

O (n^{2})

$O(n^2)$

x \in L

$x \in L$

| x |^{2}

$|x|^2$

x \notin L

$x \notin L$

| x |^{2}

$|x|^2$

O (n)

$O(n)$ เวลาและไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้เครื่องสถานะ จำกัด

— Jukka Suomela

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

x

$x$

Θ (| x |^{2})

$\Theta(|x|^2)$

x \in L

$x \in L$

Θ (| x |)

$\Theta(|x|)$ บิตของการขยาย).

— Jukka Suomela

-4

~~$1$ $\log_k(x) \in \Theta(\log_l(x))$ $k, l > 1$~~

$t$ $t$ $k$ $\{0,1,\dots,k-1\}$ $\lceil \log_2(k) \rceil$ $\lceil \log_2(k) \rceil$ $\{0,1\}$ (สงวนช่องว่างไว้เพื่อทำเครื่องหมายเซลล์ที่ไม่ได้ใช้) โปรดทราบว่านี่เป็นรหัสที่เป็นเลขฐานสอง

$\lceil \log_2(k) \rceil \cdot t \in \mathcal{O}(t)$

$\{0,1\}$ $\mathcal{O}(n^2)$ $\mathcal{O}(n^2) + \lceil \log_2(k) \rceil \cdot t$

$t(n) \in \Omega(n^2)$ $\Omega(n^2)$

— ราฟาเอล
แหล่งที่มา

จนกว่าคุณจะโน้มน้าวใจฉันว่าทำไมเรื่องนี้ควรเป็นเช่นนี้

— Andrej Bauer

ฉันต้องการฟังหลักฐานการเรียกร้องของคุณ ทั้งหมดมันเป็นเพียงหนึ่งข้อเรียกร้อง

— Andrej Bauer

โอ้ฉันเห็นสิ่งที่คุณพูดถึง โอเคขอโทษ แต่คำถามคือไม่ได้เกี่ยวกับว่า มันเป็นความแตกต่างเล็กน้อย

— Andrej Bauer

ฉันคิดว่ากรณีที่มี t = Ω (n ^ 2) เป็นกรณีง่ายเพราะคุณสามารถหาเวลาเปลี่ยนสตริงอินพุตได้ กรณีที่สำคัญคือเมื่อ t = o (n ^ 2) ฉันไม่ทราบว่าการพิจารณา single-tape TM มีความสำคัญกับเวลาเท่าใด (n ^ 2) แต่คำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้

— Tsuyoshi Ito

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$