มี CFG ขนาดพหุนามที่อธิบายภาษา จำกัด นี้หรือไม่?

มีการเรียงสับเปลี่ยน $\pi_1,\pi_2$ และขนาดพหุนาม (ใน $|w|=n$ ) ไวยากรณ์อิสระบริบทที่อธิบายภาษาที่ จำกัด $\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$ มากกว่าตัวอักษร $\{0,1\}$ ?

ปรับปรุง: สำหรับหนึ่งการเปลี่ยนแปลง $\pi$ มันเป็นไปได้. $\pi$ เป็นการกลับรายการหรือการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยของการกลับรายการ

fl.formal-languages grammars context-free

— jerr18
แหล่งที่มา

ยังถามเกี่ยวกับ math.stackexchange สิ่งที่เขาหมายถึงคือ: มีลำดับของการเรียงสับเปลี่ยน

π_{1}^{n}, π_{2}^{n} \in S_{n}

$\pi_1^n,\pi_2^n \in S_n$ ดังกล่าวว่าภาษา

L_{n} = {w π_{1} (w) π_{2} (w) : w \in {0, 1}^{n}}

$L_n = \{w \pi_1(w) \pi_2(w) : w\in \{0,1\}^n\}$ มี CFG ขนาดพหุนามหรือไม่?

— Yuval Filmus

math.stackexchange.com/questions/22361/…

— Tsuyoshi Ito

เรารู้หรือไม่ว่ามี CFG หรือไม่

L = ⋃_{n} L_{n}

$L = \bigcup_n L_n$ ?

— Kaveh

@Kaveh: คำตอบคือไม่สำหรับลำดับของ perms ใด ๆ หากภาษาของคุณ

L

$L$ ไม่มีบริบทจากนั้นจะมีความยาวปั๊ม

p

$p$ . ใช้บทแทรกสำหรับ CFG กับสตริงใน L ที่เกี่ยวข้อง

w = 0^{p} 1^{p}

$w = 0^p 1^p$ . lemma ของการสูบสำหรับ CFG ยังให้เราบอกว่าถ้า OQ มีคำตอบที่เป็นบวก CFG สำหรับ

L_{n}

$L_n$ ต้องใช้อย่างน้อย

Ω (n / \log n)

$\Omega(n / \log n)$ ตัวแปรเนื่องจากเราต้องการ

3 n

$3n$ จะน้อยกว่าความยาวของปั๊มเพื่อให้ CFG ของเรา

L_{n}

$L_n$ ไม่ยอมรับสตริงที่มีความยาวใด ๆ

> 3 n

$> 3n$ . ฉันยังไม่เห็นวิธีการใช้สิ่งนี้เพื่อตัดคำตอบในเชิงบวกต่อ OQ แต่อาจเป็นไปได้

— Joshua Grochow

@Kaveh: (นอกจากนี้หากลำดับของ perms สามารถเลือกได้ตามอำเภอใจแล้วภาษาของคุณ

L

$L$ ไม่จำเป็นต้องคำนวณแม้แต่ ... OQ ดูเหมือนจะไม่สม่ำเสมอโดยเนื้อแท้)

— Joshua Grochow

ชอมสกีฟอร์มปกติ

CFG อยู่ใน CNF (รูปแบบปกติ Chomsky) หากโปรดักชั่นเดียวเท่านั้นที่อยู่ในรูปแบบ $A \rightarrow a$ และ $A \rightarrow BC$ ; ไวยากรณ์สามารถนำไปยัง CNF ด้วยการระเบิดกำลังสองเท่านั้น

สำหรับไวยากรณ์ $G$ ใน CNF เรามี Subword Lemma ที่ดี: ถ้า $G$ สร้างคำ $w$ จากนั้นสำหรับแต่ละ $\ell \leq w$ มีคำย่อย $x$ ของ $w$ ความยาว $\ell/2 \leq |x| < \ell$ ซึ่งถูกสร้างขึ้นโดยบางส่วนที่ไม่ใช่ขั้วของ $G$ . การพิสูจน์: สืบทอดแผนผังต้นไม้ (ไบนารี) ลงไปที่ลูกซึ่งสร้างคำย่อยที่ยาวกว่าเสมอ หากคุณเริ่มด้วยคำย่อยที่มีขนาดอย่างน้อย $\ell$ คุณไม่สามารถลงไปด้านล่าง $\ell/2$ .

สารละลาย

เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นไวยากรณ์ $L_n$ (เช่นภาษาที่มีเฉพาะ $\pi_1,\pi_2 \in S_n$ ) อยู่ใน Chomsky Normal Form ภาษา $L_n$ ประกอบด้วยคำว่า $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in \{0,1\}^n$ .

ใช้ Subword Lemma สำหรับแต่ละคน $w(x)$ เราสามารถหาซับสตริงได้ $s(x)$ ความยาว

\frac{n}{2} \leq | s (x) | < n

$\frac{n}{2} \leq |s(x)| < n$ สร้างโดยสัญลักษณ์บางอย่าง

A (x)

$A(x)$ และเกิดขึ้นที่ตำแหน่ง

p (x)

$p(x)$ .

สมมติว่า $p(x) = p(y)$ และ $A(x) = A(y)$ . ตั้งแต่ $|s(x)|<n$ คำย่อย $s(x)$ ไม่สามารถตัดกันทั้งสอง $x$ ส่วนหนึ่งและ $\pi_2(x)$ เป็นส่วนหนึ่งของ $w(x)$ ; เราสามารถสรุปได้ว่ามันแยกจากกัน $x$ ส่วนหนึ่ง ดังนั้น $w(x)$ เป็นของแบบฟอร์ม $x \alpha s(x) \beta$ . นี่ก็หมายความว่า $A(x)$ สร้างหนึ่งสตริงคือ $s(x)$ . ดังนั้น $s(x) = s(y)$ .

ตอนนี้ $s(y)$ ตัดกันเช่นกัน $\pi_1(y)$ หรือ $\pi_2(y)$ อย่างน้อย $n/4$ สถานที่และอย่างน้อยก็กำหนด $n/4$ บิตของ $y$ . ดังนั้นอย่างมาก $2^{3n/4}$ เงื่อนไข $y \in \{0,1\}^n$ สามารถมี $p(x) = p(y)$ และ $A(x) = A(y)$ . เนื่องจากมีมากที่สุด $3n$ ความเป็นไปได้สำหรับ $p(y)$ เราเข้าใจว่ามีอย่างน้อย

\frac{2^{n / 4}}{3 n}

$\frac{2^{n/4}}{3n}$ ไม่ใช่เทอร์มินัลต่าง ๆ ในไวยากรณ์

ความคิดเห็น: หลักฐานเดียวกันทำงานถ้า $\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$ คือการเรียงสับเปลี่ยนโดยพลการในชุดของทั้งหมด $n$ คำศัพท์ ป.ร. ให้ไว้ $n/4$ บิตของ $\pi_i(y)$ มีอย่างแน่นอน $2^{3n/4}$ preimages $y$ .

ตัวอย่างเพิ่มเติม

การใช้วิธีการเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าภาษาที่ตัวละครแต่ละตัวปรากฏขึ้นสองครั้งนั้นต้องการ CFG ขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียลในขนาดของตัวอักษร เราสามารถแทนที่ "สองครั้ง" ด้วยชุดย่อยใด ๆ ของ $\mathbb{N}$ นอกเหนือจากสี่เรื่องเล็กน้อย (ไม่สนใจ $0$ ทั้งที่ไม่มี $\mathbb{N}_{\geq 1}$ หรือทั้งหมด)

ฉันขอขอบคุณการอ้างอิงสำหรับวิธีการพิสูจน์นี้

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

Yuval คุณช่วยคัดลอกโซลูชันได้ที่นี่ด้วย

— Kaveh

ขอบคุณ Yuval หากวิธีการของคุณถูกต้องและแปลกใหม่ฉันยินดีที่จะอ่านบทความตรวจสอบกรณีทั่วไปมากขึ้นด้วยผลบวกหรือเชิงลบใน polysize CFGs สำหรับภาษาที่ จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด

— jerr18

มีนี้เขียนเป็น: cs.toronto.edu/~yuvalf/cfg.pdf

— Yuval Filmus

ฉันคิดว่าโดยข้อยกเว้น

N_{\geq 1}

$N_{\geq 1}$ คุณหมายถึง "การเกิดขึ้นของเครื่องอย่างน้อยหนึ่งครั้ง" นี่หมายความว่าคุณสามารถสร้างพีชคณิตทั้งหมดได้ด้วยการตัดกัน

Σ^{| Σ |}

$\Sigma^{|\Sigma|}$ ?

— jerr18

See related question cstheory.stackexchange.com/q/5014 where Yuval posted an answer with a published reference.

— András Salamon