ที่มาของความคิดของ treewidth

คำถามของฉันในวันนี้คือ (ตามปกติ) เล็กน้อยโง่; แต่ฉันจะขอให้คุณพิจารณาด้วยความกรุณา

ฉันต้องการทราบเกี่ยวกับแหล่งกำเนิดและ / หรือแรงบันดาลใจที่อยู่เบื้องหลังแนวคิดเรื่องความน่าเชื่อถือ ฉันแน่ใจว่าเข้าใจว่ามันถูกใช้ในอัลกอริธึม FPT แต่ฉันไม่คิดว่านั่นเป็นเหตุผลที่ความคิดนี้ถูกกำหนดไว้

ฉันได้เขียนขึ้นบันทึกอาลักษณ์ในหัวข้อนี้ในชั้นเรียนของศาสตราจารย์โรบินโทมัส ฉันคิดว่าฉันเข้าใจบางส่วนของการประยุกต์ใช้แนวคิดนี้ (ในขณะที่มันถ่ายโอนคุณสมบัติการแยกของต้นไม้ไปยังกราฟที่สลายตัว) แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันไม่เชื่อจริง ๆ ว่าเหตุผลที่แนวคิดนี้ถูกพัฒนาขึ้นเพื่อวัดความใกล้ชิดของกราฟ กับต้นไม้

ฉันจะพยายามทำให้ตัวเองชัดเจนยิ่งขึ้น (ฉันไม่แน่ใจว่าฉันสามารถได้โปรดแจ้งให้เราทราบหากคำถามไม่ชัดเจน) ฉันต้องการทราบว่ามีความคิดที่คล้ายกันอยู่ที่อื่นในสาขาคณิตศาสตร์อื่นจากที่ซึ่งความคิดนี้ถูก "ยืม" หรือไม่ การเดาของฉันจะเป็นทอพอโลยี - แต่เนื่องจากขาดพื้นฐานฉันจึงไม่สามารถพูดอะไรได้

เหตุผลหลักว่าทำไมฉันอยากรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้จะเป็น - ครั้งแรกที่ฉันอ่านคำนิยามของมันฉันไม่แน่ใจว่าทำไมและทุกคนจะตั้งครรภ์และท้ายที่สุด หากคำถามยังไม่ชัดเจนในที่สุดฉันก็จะพยายามระบุด้วยวิธีนี้ - ให้เราแกล้งความคิดของความกังวลที่ไม่มีอยู่ คำถามธรรมชาติอะไร (หรือส่วนขยายของทฤษฎี / แนวคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่าง) ในการตั้งค่าแบบไม่ต่อเนื่องจะนำไปสู่การเข้าใจคำจำกัดความ (ให้ฉันใช้คำที่เกี่ยวข้อง) เป็นความกังวล

ถ้าคุณอยากรู้ว่าอะไรทำให้ Neil Robertson และฉันมีความกว้างของต้นไม้มันไม่ใช่อัลกอริทึมเลย เรากำลังพยายามที่จะแก้ปัญหาการคาดเดาของแว็กเนอร์ว่าในกราฟที่ไม่มีที่สิ้นสุดหนึ่งในนั้นคือกราฟย่อยหนึ่งและเรามีจุดเริ่มต้นที่ถูกต้อง เรารู้ว่ามันเป็นเรื่องจริงถ้าเรา จำกัด กราฟที่ไม่มีเส้นทาง k-vertex; ให้ฉันอธิบายว่าทำไม เรารู้ว่ากราฟดังกล่าวทั้งหมดมีโครงสร้างอย่างง่าย (ยิ่งกว่านั้นกราฟทุกเส้นที่ไม่มีเส้นทาง k-vertex มีโครงสร้างนี้และกราฟที่มีโครงสร้างนี้ทั้งหมดไม่มีเส้นทาง ^ k-vertex 2) และเรารู้ว่าในทุก ๆ กราฟฟิคที่ไม่มีที่สิ้นสุดในโครงสร้างนี้หนึ่งในนั้นเป็นกราฟย่อย ดังนั้นการคาดเดาของแว็กเนอร์จึงเป็นจริงสำหรับกราฟที่มีความยาวเส้นทางสูงสุด

เรารู้ด้วยว่ามันเป็นความจริงสำหรับกราฟที่ไม่มีดาวฤกษ์เป็นรองอีกครั้งเพราะเรามีทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับกราฟดังกล่าว เราพยายามมองหาผู้เยาว์ทั่วไปที่มีทฤษฎีบทโครงสร้างที่สอดคล้องกันซึ่งเราสามารถใช้เพื่อพิสูจน์การคาดเดาของแว็กเนอร์และนั่นนำเราไปสู่ความกว้างของเส้นทาง ยกเว้นต้นไม้ใด ๆ ในฐานะผู้เยาว์และคุณได้รับความกว้างของเส้นทางที่ถูก จำกัด และถ้าคุณมีความกว้างเส้นทางที่ จำกัด แล้วมีต้นไม้ที่คุณไม่สามารถมีได้ในระดับรอง (นั่นเป็นทฤษฎีบทที่ยากสำหรับเราเรามีการพิสูจน์ที่หนักหน่วงอย่างมากในกระดาษกราฟผู้เยาว์แรกอย่าอ่านมันสามารถทำได้ง่ายขึ้นมาก) แต่เราสามารถพิสูจน์การคาดเดาของแว็กเนอร์สำหรับกราฟที่มีเส้นทางกว้าง และนั่นหมายความว่ามันเป็นความจริงสำหรับกราฟที่ไม่มีต้นไม้คงที่ใด ๆ ภาพรวมของเส้นทางและดาวกรณีใหญ่ที่ฉันกล่าวถึงไปก่อนหน้านี้

อย่างไรก็ตามด้วยสิ่งที่ทำเราพยายามที่จะได้รับเพิ่มเติม เราทำกราฟทั่วไปไม่ได้ดังนั้นเราจึงคิดถึงกราฟระนาบ เราพบทฤษฎีโครงสร้างสำหรับกราฟระนาบที่ไม่ได้มีกราฟระนาบคงที่ใด ๆ (เป็นเรื่องง่าย); มันถูกล้อมรอบความกว้างของต้นไม้ เราพิสูจน์แล้วว่าสำหรับกราฟระนาบคงที่ใด ๆ กราฟระนาบทั้งหมดที่ไม่มีในขณะที่ผู้เยาว์ได้ล้อมรอบความกว้างของต้นไม้ อย่างที่คุณจินตนาการได้นั่นเป็นเรื่องที่น่าตื่นเต้นมาก โดยบังเอิญทฤษฎีโครงสร้างสำหรับการยกเว้นกราฟระนาบ (ในกราฟระนาบที่ใหญ่กว่า) เป็นบิดธรรมชาติในทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับการยกเว้นต้นไม้ (ภายในกราฟทั่วไป) เรารู้สึกว่าเรากำลังทำสิ่งที่ถูกต้อง และนั่นให้เราพิสูจน์การคาดคะเนของ Wagner สำหรับกราฟระนาบทั้งหมดเพราะเรามีทฤษฎีบทโครงสร้างนี้

เนื่องจากความกว้างของต้นไม้ทำงานได้โดยไม่รวมกราฟระนาบในกราฟระนาบที่ใหญ่กว่ามันเป็นคำถามที่เป็นธรรมชาติไม่ว่าจะทำงานเพื่อยกเว้นกราฟระนาบในกราฟที่ไม่ใช่ภาพถ่าย - มันเป็นความจริงหรือไม่สำหรับกราฟระนาบคงที่ทุกกราฟ ผู้เยาว์ล้อมรอบความกว้างของต้นไม้หรือไม่ สิ่งนี้เราไม่สามารถพิสูจน์ได้เป็นเวลานาน แต่นั่นคือวิธีที่เราได้คิดเกี่ยวกับกราฟทั่วไปของต้นไม้ และเมื่อเรามีแนวคิดเกี่ยวกับความกว้างของต้นไม้มันค่อนข้างชัดเจนว่ามันดีสำหรับอัลกอริทึม (และใช่เราไม่รู้ว่า Halin คิดเรื่องต้นไม้แล้ว)

นี่คือวิธีที่คุณจะได้มากับแนวคิดความกว้างของต้นไม้ด้วยตัวคุณเอง

สมมติว่าคุณต้องการนับจำนวนชุดอิสระในกราฟต่อไปนี้

ชุดอิสระสามารถแบ่งพาร์ติชันเป็นชุดที่โหนดด้านบนถูกครอบครองและชุดที่ไม่มีการว่าง

ตอนนี้สังเกตว่าการรู้ว่าโหนดบนครอบครองหรือไม่คุณสามารถนับจำนวนชุดอิสระในแต่ละปัญหาย่อยแยกกันและคูณมันได้ การทำซ้ำกระบวนการนี้ซ้ำจะให้อัลกอริธึมการนับชุดอิสระตามตัวแยกกราฟ

ทีนี้สมมติว่าคุณไม่มีต้นไม้แล้ว ซึ่งหมายความว่าตัวคั่นใหญ่กว่า แต่คุณสามารถใช้แนวคิดเดียวกันได้ พิจารณาการนับชุดอิสระในกราฟต่อไปนี้

ใช้แนวคิดเดียวกันในการแบ่งปัญหาออกเป็นปัญหาย่อยในตัวแยกที่คุณได้รับต่อไปนี้

เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้าแต่ละคำในผลรวมจะแบ่งออกเป็นสองงานที่มีขนาดเล็กกว่าในตัวแยก

โปรดทราบว่าเรามีคำศัพท์เพิ่มเติมในผลรวมมากกว่าในตัวอย่างก่อนหน้านี้เนื่องจากเราต้องระบุการกำหนดค่าทั้งหมดในตัวคั่นของเราซึ่งอาจเติบโตได้ทวีคูณด้วยขนาดของตัวคั่น (ขนาด 2 ในกรณีนี้)

การสลายตัวของต้นไม้เป็นโครงสร้างข้อมูลเพื่อจัดเก็บขั้นตอนการแบ่งพาร์ติชันแบบเรียกซ้ำเหล่านี้ พิจารณากราฟต่อไปนี้และการสลายตัวของต้นไม้

ในการนับการใช้การย่อยสลายนี้คุณต้องแก้ไขค่าในโหนด 3,6 ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 ปัญหาย่อย ในปัญหาย่อยแรกที่คุณจะต้องแก้ไขเพิ่มเติมโหนด 5 ซึ่งแบ่งส่วนของมันออกเป็นสองส่วนย่อยที่เล็กกว่า

ขนาดของตัวแยกที่ใหญ่ที่สุดในการย่อยสลายแบบเรียกซ้ำที่เหมาะสมคือความกว้างของต้นไม้อย่างแม่นยำ สำหรับปัญหาการนับที่ใหญ่ขึ้นขนาดของตัวแยกที่ใหญ่ที่สุดจะควบคุมรันไทม์ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมปริมาณนี้จึงสำคัญ

สำหรับแนวคิดเกี่ยวกับการวัดความกว้างของต้นไม้ว่ากราฟใกล้เคียงกับต้นไม้อย่างไรวิธีหนึ่งที่จะทำให้เข้าใจได้ง่ายคือดูที่ทางเลือกที่มาของการสลายตัวของต้นไม้ - จากการโต้ตอบกับกราฟที่มี chordal ขั้นแรกให้สามเหลี่ยมกราฟโดยการแวะจุดยอดเพื่อเชื่อมต่อระหว่างเพื่อนบ้านที่ "สูงกว่า" ของแต่ละจุดยอด

จากนั้นสร้างการสลายตัวของต้นไม้โดยการใช้กลุ่มโบราณสูงสุดและเชื่อมต่อพวกมันถ้าจุดตัดของพวกมันคือตัวคั่นสูงสุด

ตัวแยกแบบเรียกซ้ำและวิธีการแบบสามเหลี่ยมที่ใช้ในการสร้างการสลายตัวของต้นไม้จะเทียบเท่า ความกว้างของต้นไม้ + 1 คือขนาดของกลุ่มที่ใหญ่ที่สุดในการหาสมการที่ดีที่สุดของกราฟหรือถ้ากราฟนั้นได้รับการวิเคราะห์แล้วเพียงขนาดของกลุ่มที่ใหญ่ที่สุด

ดังนั้นในแง่หนึ่งกราฟ chordal ของ treewidth tw สามารถคิดได้ว่าเป็นต้นไม้ที่แทนที่จะเป็นโหนดเดียว กราฟที่ไม่ใช่ chordal นั้นเป็น "ต้นไม้ต้นก๊ก" ที่ขาดหายไป

นี่คือกราฟคอร์ดและความกว้างของต้นไม้

ฉันเชื่อว่าความกังวลเริ่มต้นด้วยกระดาษโรเบิร์ตสันซีมัวร์ที่ได้รับแล้ว แต่สารตั้งต้นบางตัวก่อนหน้านี้ดูเหมือนจะเป็น:

• แนวคิดของ "ส่วนข้อมูล" ของกราฟที่จะควบคุมพฤติกรรมของอัลกอริธึมแบบไดนามิกโพรแกรมในแบบไดนามิกจากBertelé, Umberto; Brioschi, ฟรานเชส (1972) Nonserial แบบไดนามิกการเขียนโปรแกรม

• แนวคิดของเกมไล่ตามบนกราฟจาก Parsons, TD (1976) "การแสวงหาการหลีกเลี่ยงในกราฟ" ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้กราฟ Springer-Verlag pp. 426–441 สิ่งหนึ่งที่แตกต่างจากนี้ก็แสดงให้เห็นว่าจะเทียบเท่ากับความกังวล: มัวร์พอลดี โทมัสโรบิน (1993), "การค้นหากราฟและทฤษฎีบทนาทีสูงสุดสำหรับต้นไม้ที่มีความกว้าง" วารสารทฤษฎี Combinatorial ชุด B 58 (1): 22-33, ดอย: 10.1006 / jctb.1993.1027

• ลำดับชั้นของตัวคั่นสำหรับกราฟระนาบเริ่มต้นจาก Ungar, Peter (1951), "ทฤษฎีบทบนกราฟระนาบ", วารสารสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน 1 (4): 256, ดอย: 10.1112 / jlms / s1-26.4.256และต่อเนื่อง มีเอกสารหลายฉบับโดย Lipton และ Tarjan ในปีค. ศ. ขนาดของตัวคั่นที่ใหญ่ที่สุดในลำดับชั้นของประเภทนี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความน่าเชื่อถือ

ก้าวไปข้างหน้าเมื่อถึงเวลาที่แนวคิดของโรเบิร์ตสันสัน - มัวร์อาจเริ่มลอยไปรอบ ๆ แล้วยังมีกระดาษเร็วกว่า Graph Minors II ที่เชื่อมโยงการแสวงหาการหลีกเลี่ยงและการแยกอย่างชัดเจนและกำหนดแนวคิดของความกว้างเทียบเท่ากับความกว้างของเส้นทาง : Ellis, JA; Sudborough, IH; เทอร์เนอร์, JS (1983), "การแยกกราฟและหมายเลขค้นหา", Proc 2526 Allerton Conf บนการสื่อสารการควบคุมและการคำนวณ

ในเอกสารของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟ Reinhard Diestel มีร่องรอยแนวคิดเรื่องการทวีคูณและการย่อยสลายต้นไม้กลับไปที่กระดาษ 1976 โดย Halin (แม้ว่าจะไม่ได้ใช้ชื่อเหล่านี้) เขายังกล่าวถึงผลการวิจัยที่ว่ากราฟกริดของระนาบนี้มีความกังวลมากมาย แน่นอนเขายังกล่าวถึงเอกสารฉบับต่อมาของ Robertson และ Seymour ซึ่ง "ค้นพบแนวคิดใหม่โดยไม่ทราบว่ามีงานของ Halin" (ขออภัยถ้าการแปลของฉันแย่)

• Rudolf Halin -functions สำหรับกราฟ, J. Geometry 8 (1976): 171–186$S$
• Reinhard Diestel Graphentheorieฉบับภาษาเยอรมันฉบับที่ 3, Notizen zu Kapitel 10. (หนังสือภาษาอังกฤษบางเล่มสามารถดาวน์โหลดออนไลน์ได้ฟรี)

ความคิดของต้นไม้ที่มีความกว้าง [1] (และความคิดที่คล้ายกันสาขาที่มีความกว้าง ) ได้รับการแนะนำให้รู้จักกับโรเบิร์ตและซีมัวร์ในหนังสือพิมพ์น้ำเชื้อของพวกเขาในกราฟผู้เยาว์

พวกเขาเปิดตัวครั้งแรกของต้นไม้ที่มีความกว้างในการสั่งซื้อที่จะได้รับการทดสอบขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาถ้ากราฟมี subgraph หดตัวไปยังภาพถ่ายกราฟคงH$G$$H$

ดู: N. Robertson, PD Seymour ผู้เยาว์กราฟ ครั้งที่สอง ด้านอัลกอริทึมของต้นไม้ที่มีความกว้าง JCT Series B (1986)