การคำนวณผลรวมของพหุนามแบบกระจัดกระจายกำลังสองในเวลา O (n log n)?

สมมติว่าเรามีพหุนามของระดับมากที่สุด ,เช่นนั้นจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดคือ (กล่าวคือพหุนามมีเบาบาง) ฉันสนใจอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณพหุนาม:$p_1,...,p_m$$n$$n>m$$n$

ตั้งแต่พหุนามนี้มีการศึกษาระดับที่มากที่สุดทั้งอินพุทและเอาท์พุทขนาดคือ(n) ในกรณีเราสามารถคำนวณผลโดยใช้ FFT ในเวลาn) สามารถทำได้สำหรับใด ๆ? ถ้ามันสร้างความแตกต่างฉันสนใจในกรณีพิเศษที่ค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0 และ 1 และการคำนวณควรทำกับจำนวนเต็ม$2n$$O(n)$$m=1$$O(n \log n)$$m<n$

ปรับปรุง ฉันรู้ว่าวิธีแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วสำหรับด้านบนจะบอกเป็นนัยถึงความก้าวหน้าในการคูณเมทริกซ์อย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราสามารถอ่านเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของใน 2 ดังนั้นการคำนวณสอดคล้องกับการคำนวณผลิตภัณฑ์ด้านนอกของเวกเตอร์สองตัวและการคำนวณผลรวมสอดคล้องกับการคำนวณผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ หากมีวิธีการแก้ปัญหาที่ใช้เวลาในการคำนวณจากนั้นเราสามารถคูณเมทริกซ์สองโดย -ในเวลา$p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$$a_{ik} b_{kj}$$x^{i+nj}$$p_k(x)^2$$p_k(x)^2$$\sum_k p_k(x)^2$∑ k p k ( x ) 2 n n f ( n 2 , n $f(n,m)$$\sum_k p_k(x)^2$$n$$n$$f(n^2,n)$ซึ่งหมายความว่าสำหรับจะต้องมีการค้นพบครั้งใหญ่ แต่ , โดยที่\ omegaคือเลขชี้กำลังปัจจุบันของการคูณเมทริกซ์อาจเป็นไปได้ ไอเดียใคร ๆm ≤ n f ( n , m ) = n ω / 2$f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

กู้หน้าพหุนามกับภัณฑ์สัมประสิทธิ์ต้องใช้เวลาใช้คูณระยะโดยระยะสามัญดังนั้นนี้ควรได้รับการแนะนำในการ FFT สำหรับหลายชื่อเหล่านั้นที่n} ถ้าจำนวนพหุนามที่มีมากกว่าคือและสิ่งเหล่านี้จะใช้เวลาไปยังสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรวม (เช่นชื่อพหุนามที่เหลือ) นี่คือการปรับปรุงกว่าอย่างเห็นได้ชัดที่ถูกผูกไว้เมื่อเป็นn}) O ( x 2 i ) x i < $x_i$$O(x_i^2)$ ∑ฉันxi=nxi$x_i < \sqrt{n \log n}$$\sum_i x_i = n$$x_i$ O($\sqrt{n \log n}$O(n 3 / 2 (บันทึกn) 1 / 2 )O(มnlogn)ม.Θ($O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ แต่อาจมีประโยชน์

Caveat: ใช้งานได้ดีถ้าการสนับสนุนของมีขนาดเล็ก$p_i^2$

สำหรับพหุนามให้ได้รับการสนับสนุนและเป็นขนาดของการสนับสนุน ส่วนใหญ่จะเบาบางนั่นคือจะมีการสนับสนุนเล็กน้อย$q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

มีอัลกอริธึมที่จะกระจายพหุนามและ ในเวลากึ่งเส้นตรงในขนาดของการสนับสนุนของผลิตภัณฑ์ดูตัวอย่างเช่นhttp://arxiv.org/abs/0901.4323$a$$b$$a b$

การสนับสนุนของเป็น (ที่มีอยู่ใน)ที่ผลรวมของสองชุดและถูกกำหนดให้เป็น\} หากการสนับสนุนของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่มีขนาดเล็ก, การพูด, การเชิงเส้นในรวมแล้วหนึ่งก็สามารถคำนวณผลิตภัณฑ์และเพิ่มขึ้น monomials ทั้งหมด$ab$$S_a + S_b$$S$$T$$S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$$n$

แต่มันเป็นเรื่องง่ายมากที่จะหาพหุนามและดังกล่าวว่าขนาดของการสนับสนุนของเป็นกำลังสองในขนาดของการสนับสนุนของและขในแอปพลิเคชันนี้โดยเฉพาะเรากำลังประมวลผลพหุนาม ดังนั้นคำถามคือวิธีการที่มีขนาดใหญ่มากเมื่อเทียบกับSการวัดตามปกติสำหรับสิ่งนี้คือจำนวนสองเท่า. มีชุดที่มีจำนวนสองเท่าไม่ จำกัด แต่ถ้าคุณสามารถแยกชุดที่มีจำนวนสองเท่าเป็นจำนวนมากเพื่อรองรับคุณจะได้อัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับปัญหาของคุณ $a$$b$$ab$$a$$b$$S + S$$S$$|S + S|/|S|$$p_i$

อยากทราบอัลกอริทึมการประมาณตามธรรมชาติ สิ่งนี้ไม่ได้ใช้ประโยชน์จาก sparsity แม้ว่า

คุณสามารถใช้การสุ่มลำดับ$(\sigma_i)_{i\in[n]}$ ถ่าย$X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$เราสามารถคำนวณ$X^2$ใน$n\log n$เวลาใช้ FFT จากนั้น$EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$และ$\sqrt{VX^2} = O(S)$) ดังนั้นคุณจะได้รับ$1+\varepsilon$ประมาณในเวลา$O(\varepsilon^{-2} n \log n )$)