ขอบเขตล่างของฟังก์ชัน Threshold

ในความซับซ้อนของต้นไม้ตัดสินใจของฟังก์ชันบูลีนวิธีการที่ จำกัด ขอบเขตที่รู้จักกันเป็นอย่างดีคือการค้นหาพหุนาม (โดยประมาณ) ที่แสดงถึงฟังก์ชัน Paturiให้ลักษณะของฟังก์ชั่นสมมาตรบูลีน (บางส่วนและทั้งหมด) ในแง่ของปริมาณที่แสดง$\Gamma$:

ทฤษฎีบท ( Paturi ): Let$f$ เป็นฟังก์ชันสมมาตรที่ไม่คงที่และแสดงว่า $f_k=f(x)$ เมื่อไหร่ $|x|=k$ (เช่นน้ำหนักของ $x$ คือ $k$) ระดับโดยประมาณของ$f$แสดงว่า $\widetilde{deg}(f)$, คือ $\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$ที่ไหน $\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

ตอนนี้ขอเป็นฟังก์ชั่นเกณฑ์คือถ้าที ในการนี้กระดาษ (cf มาตรา 8, หน้า 15) กล่าวว่า1)}$Thr_t(x)$$Thr_t(x)=1$$x\geq t$$\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$

สังเกตว่าสำหรับฟังก์ชั่นขีด จำกัด เรามีเพราะเมื่อฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงจาก 0 เป็น 1 ฉันถูกไหม?$\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$$|x|=t-1$

ถ้าฉันใช้ทฤษฎีบทของ Paturi โดยตรงกับค่าของนี้ฉันจะไม่ได้ขีด จำกัด ล่างของฟังก์ชันเพดานที่รายงานไว้ในเอกสารอื่น ค่าของถูกต้องหรือไม่? ฉันพลาดอะไรไป$\Gamma$$\Gamma(Thr_t)$

แก้ไข:ฉันยังลองคำนวณขีด จำกัด ล่างของคู่ต่อสู้สำหรับควอนตัม ก่อนอื่นเรามาทบทวนทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท (ปฏิปักษ์ควอนตัมแบบไม่ถ่วงน้ำหนัก):ปล่อยให้เป็นฟังก์ชันบูลีนบางส่วนและให้และเป็นชุดย่อยของอินพุต (ยาก) ให้จะเป็นความสัมพันธ์และการตั้งค่าสำหรับแต่ละn ให้แสดงจำนวนน้อยที่สุดของ 1s ในแถวใด ๆ และคอลัมน์ใด ๆ ในความสัมพันธ์ตามลำดับและให้แทนจำนวนสูงสุดของแถวในแถวและคอลัมน์ใด ๆ ในความสัมพันธ์ตามลำดับ จากนั้นell'}})$f$$A\subseteq f^{-1}(0)$$B\subseteq f^{-1}(1)$$R\subseteq A\times B$$R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$$1\leq i \leq n$$m,m'$$R$$\ell,\ell'$$R_i$$Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

ถ้าฉันนิยามเป็นชุดของอินพุตทั้งหมดที่มีจำนวน 1s มากกว่าหรือเท่ากับและทั้งหมดอินพุตที่มี 1s น้อยกว่าอย่างเคร่งครัดฉันจะได้รับ (หลังจากพีชคณิต) นั่น{NT})$B$$t$$A$$t$$\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

ดังนั้นถึงกระนั้นฉันก็ไม่ได้รับขอบเขตที่ต่ำกว่าเหมือนเดิมที่รายงานไว้ในเอกสารอื่น ทีนี้มาเปรียบเทียบขอบเขตเหล่านี้กัน รูปด้านล่างแสดงสำหรับและไม่มีรากที่สองการเปรียบเทียบระหว่างทฤษฎีบทของ Paturi ถูกผูกมัด (สีน้ำเงิน), ศัตรูที่ถูกผูก (แดง) และรายงานที่ถูกผูกไว้จากเอกสารอื่น (สีเขียว)$n=200$

คำถามของฉันคือ:

1- ฉันจะรับรายงานขอบเขตในเอกสารอื่นได้อย่างไร

2- คุณสามารถเห็นได้จากรูปที่ขอบเขตล่างที่รายงาน (สีเขียว) นั้นลดขอบเขตของ Paturi และขอบเขตของคู่ต่อสู้ นั่นไม่ได้ทำให้ขอบเขตที่ต่ำกว่า "ของจริง" อ่อนลงใช่ไหม ตัวอย่างเช่นถ้า Paturi บอกว่าสำหรับฟังก์ชันสมมาตรทั้งหมดเรามีขอบเขตนี้แล้วคุณจะได้รับขอบเขตบนของการนับควอนตัมอย่างไร ( ? นั่นไม่ใช่ขอบเขตบนที่ละเมิดทฤษฎีบทของ Paturi ใช่ไหม$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

ฉันไม่รู้ว่าคุณจะได้รับหรือดูขอบเขตของจากขอบเขตเดิมแต่นี่คือข้อพิสูจน์ว่าขอบเขตนี้มีค่าเท่ากับค่าคงที่เชิงเส้นกำกับ:$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$$\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

ดูครั้งแรกว่า (ฉันยกเว้นเพราะฟังก์ชันขีด จำกัด อยู่เสมอ ) $t = 0$$1$

$$n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert) = \left\lbrace \begin{array}{ll} n(2t-1) & 1 \leq t \leq n/2+1/2\\ n(2n-2t+1) & n/2+1/2 \leq t \leq n-1 \end{array} \right.$$

กำหนด ,และ1)$f_1(t) = n(2t-1)$$f_2(t) = n(2n-2t+1)$$g(t) = (t+1)(n-t+1)$

ตอนนี้คุณต้องคำนวณค่าสูงสุด (ตามภายใน intervalls ที่กำหนด) ของเศษส่วน , ,และ(t) คุณสามารถทำเช่นนี้กับแคลคูลัสความแตกต่างหรือประมาณด้วยความช่วยเหลือของกราฟ (กับพอขนาดใหญ่):$t$$f_1(t)/g(t)$$f_2(t)/g(t)$$g(t)/f_1(t)$$g(t)/f_2(t)$$n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

นี่จะให้คุณ และยังต้องการผลลัพธ์

$$n(n-\vert 2(t-1)-n-1\vert) = \Theta((t+1)(n-t+1))$$ $$\sqrt{n(n-\vert 2(t-1)-n-1 \vert)} = \Theta(\sqrt{(t+1)(n-t+1)}).$$

มีวิธีที่ง่ายกว่าในการดู / รับผลนี้หรือไม่?