ภาษานี้รู้จักสัญลักษณ์ 3 ตัว TM ใน O (n log n) หรือไม่?

ฉันกำลังเล่นกับคำถามที่น่าสนใจและยังคงเปิดอยู่ " ตัวอักษรของเครื่องจักรทัวริงเทปเดี่ยว " (โดย Emanuele Viola) และเกิดขึ้นด้วยภาษาต่อไปนี้:

$L = \{ x \in \{0,1\}^n \text{ s.t. } |x| = n = 2^m \text{ and } count1(x) = k * m; \; n,m,k \geq 1 \}$

โดยที่คือจำนวนวินาทีในสตริง x $count1(x)$ $1$

ตัวอย่างเช่นถ้า x = 01101111 ดังนั้น n = 8, m = 3, k = 2; ดังนั้น $x \in L$

เครื่องทัวริงสามารถรับรู้ L ด้วยเทปเดียวและสัญลักษณ์ 3 ตัวอักษรในขั้นตอนหรือไม่ $\{ \epsilon, 0, 1 \}$ $O(n \log{n})$

หากเราใช้ 4 สัญลักษณ์คำตอบคือใช่:

ตรวจสอบว่าแทน s ด้วยและ s ด้วยและในเวลาเดียวกันเก็บ s ทางด้านขวา; $|x|=2^m$ $0$ $\epsilon$ $1$ $2$ $m$ $1$
แล้วนับจำนวน s โมดูโลใน ) $2$ $m$ $O(n \log{n})$

ตัวอย่างเช่น:

....01101111....... input x  (|x| = 8 = 2^3)
000.021.1212.0001.. div 2, first sweep (000. can safely be used as a delimiter)
000.022.1222.00011. div 2, second sweep
000.022.2222.000111 div 2, third sweep --> m = 3 (= log(n) )
000..22.2222....111 cleanup (original 1s are preserved as 2)
000..22.2221102.... start modulo m=3 calculation
000..22.2210022.... mod 3 = 2
000..22.2000222.... mod 3 = 0
000..22.0012222.... mod 3 = 1
000..20112.2222.... mod 3 = 2
000..11122.2222.... ACCEPT

cc.complexity-theory turing-machines time-complexity

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

| x | = n = 2^{m}

$\vert x \vert = n = 2^m$

x

$x$

c o u n t 1 (x)

$count1(x)$

1

$1$

L = {10}

$L = \lbrace 10 \rbrace$

x \in L

$x \in L$

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

คุณไม่สามารถใช้แนวคิดเดียวกันกับสิ่งที่คุณมีสำหรับกรณีของสัญลักษณ์ 4 ตัวโดยมีการแก้ไขดังต่อไปนี้:

ประมวลผลคู่สัญลักษณ์พร้อมกันเสมอ
$(00, 01, 10, 11) \mapsto (\epsilon0, \epsilon1, 0\epsilon, 1\epsilon)$ $\epsilon\epsilon$
ใช้เคล็ดลับที่คล้ายกันสำหรับขั้นตอน "mod 2"

$O(1)$

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

คุณถูก! ... ตอนนี้ฉันสงสัยว่าคำตอบสำหรับคำถามของ Emanuele คือใช่ ... แต่มันยังเปิดอยู่ดังนั้นอาจไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าเป็นทางการ :-( ขอบคุณ!

— Marzio De Biasi