เหตุผลของการบันทึก f ในทฤษฎีบทลำดับชั้นของ DTIME

ถ้าเราดูที่ทฤษฎีลำดับชั้นของ DTIME เราจะได้รับการบันทึกเนื่องจากค่าใช้จ่ายในการจำลองเครื่องทัวริงที่กำหนดขึ้นโดยเครื่องจักรสากล:

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

เราไม่มีค่าใช้จ่ายประเภทนี้สำหรับ NTIME ของ DSPACE เหตุผลพื้นฐานมาจากรายละเอียดของการพิสูจน์โดยพิจารณาความแตกต่างระหว่างเครื่องจำลอง

คำถามของฉันมีดังต่อไปนี้: โดยไม่ต้องพิจารณารายละเอียดของการพิสูจน์ทฤษฎีบทลำดับชั้นของ DTIME มีเหตุผลของบันทึกนี้หรืออาจเป็นเพียงผลสืบเนื่องของการพิสูจน์และมันจะสมเหตุสมผลที่จะจินตนาการว่าถ้าแล้วก็$f = o(g)$

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

ในความเห็นของฉันการพิจารณาว่าคำอธิบายการจำลองนั้นเป็นเหตุผลที่ดีควรพิสูจน์ด้วยตัวเองโดยการพิสูจน์ว่าถ้าเราได้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า

ทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลาเป็นเรื่องของโครงการประกาศนียบัตรของฉันบางทีคุณอาจต้องการที่จะดูความคิดเห็นในคำถามของฉันขอบเขตล่างและการแยกชั้น

เมื่อมองย้อนกลับไปที่คำถามนี้และเกี่ยวข้องกับสิ่งที่คุณขอมาอย่างไรฉันมีความคิดที่อาจแสดงให้เห็นว่าค่าใช้จ่ายในการจำลองมัลติทีพีอาร์ไปสู่เทปเดี่ยว TM ที่จำเป็นโดยหลักฐานของทฤษฎีบทไม่สามารถปรับปรุงได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีวิธีการอื่นหากเราต้องการปรับปรุงผลลัพธ์นี้

แก้ไข: หลักฐานนี้ไม่ถูกต้องดูความคิดเห็นด้านล่างเพื่อเหตุผลที่แน่นอน ฉันกำลังแก้ไขคำตอบเพื่อแสดงว่า

ให้เป็นภาษา\}$A$$\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

ในเครื่องเทปเดี่ยวมีอัลกอริทึม (คุณสามารถหารายละเอียดของอัลกอริทึมนี้ในบทที่ 7.1.2 ของหนังสือ Sipser "คำแนะนำเกี่ยวกับทฤษฎีการคำนวณ) ในการอ้างอิงเดียวกันคุณสามารถดู ภาษานั้นอยู่ใน o (n \ log n) ถ้าหากเป็นเรื่องปกติKavehยังจัดเตรียมเอกสารต้นฉบับสำหรับการอ้างสิทธิ์นี้ในคำถามที่เชื่อมโยงข้างต้น$O(n \log n)$

ในความคิดเห็นของคำถามของฉันRyan Williamsแสดงให้เห็นถึงอัลกอริทึมสำหรับปัญหาเดียวกันโดยใช้ 2-tape TM$O(n)$

สมมติว่าขณะนี้มีเทคนิคสำหรับการจำลองมัลติทาสก์ TM ลงในเทปเดี่ยว TM ที่มีเวลาทำงานของโดยที่เป็นเวลาทำงานของ TM จำลอง . โดยนำไปใช้กับเครื่องไรอันแสดงให้เห็นถึงเราจะได้รับเทป TM เดียวที่จะทำงานในn) ดังนั้นจึงเป็นปกติซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าค่าโสหุ้ยของเป็นวิธีที่ดีที่สุดที่เราสามารถทำได้เมื่อจำลองเครื่องเทปหลายเครื่องด้วยเครื่องเทปเดี่ยว$o( T(n) \log T(n) )$$T(n)$$o( n \log n)$$A$$\log T(n)$

ฉันรู้ว่านี่เป็นคำพูดที่แข็งแกร่งดังนั้นฉันอาจผิดในการตีความของฉัน

แม้ว่าเทคนิคที่มีอยู่ที่ช่วยในการปรับปรุงผลนี้ผมเชื่อว่ามันเป็นไปไม่ได้เพื่อให้ตรงกับผลการหรือSPACEสัญชาตญาณของฉันมาจากข้อเท็จจริงต่อไปนี้:$NTIME$$SPACE$

มีเป็นผลรู้จักกันเป็นอย่างที่ระบุ(n) ภายใต้สมมติฐานที่ว่าฉันเชื่อว่าผลลัพธ์นี้ได้รับการปรับปรุงให้เป็นสำหรับ . So ใด ๆชั้นเรียนที่ไม่ได้ จำกัด ขนาดเล็กมากมีประสิทธิภาพมากกว่าที่กำหนดไว้ . ดังนั้นเมื่อเวลาที่ไม่ได้กำหนดค่าทรัพยากรมีประสิทธิภาพเพียงใดฉันจึงคาดหวังว่าจะต้องใช้เวลากำหนดเวลามากขึ้นในการทำให้ TM มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการชดเชยอำนาจที่ไม่ได้กำหนดระดับ$DTIME(n) \neq NTIME(n)$$P \neq NP$$DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$$k$

สำหรับ n-tape TMs ผลลัพธ์ลำดับขั้นของเวลาที่ จำกัด คล้ายกับทฤษฎีลำดับชั้นของอวกาศได้รับการพิสูจน์โดย Furer ในปี 1982 ไม่จำเป็นต้องใช้ปัจจัย$\lg$

ปัจจัยทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลาที่ระบุไว้ในโพสต์ของคุณเป็นเพียงสำหรับหน่วยความจำเทปเดียว ยกเว้นว่าคุณมีความมุ่งมั่นอย่างมากต่อโมเดลเทปเดี่ยวด้วยเหตุผลบางอย่างไม่มีความแตกต่างระหว่างช่องว่างและเวลาเกี่ยวกับทฤษฎีบทลำดับชั้น$\lg$

มีเหตุผลและข้อโต้แย้งบางประการสำหรับการใช้ TM เทปเดี่ยวเพื่อกำหนดคลาสความซับซ้อนของเวลา แต่การใช้ TM เทปเดี่ยวสำหรับการกำหนดคลาสความซับซ้อนนั้นไม่เป็นสากลเช่นดู Lance Fortnow และ Rahul Santhanam [2007] ที่พวกเขาใช้หลายเทป หน่วยความจำ

การอ้างอิงดั้งเดิมสำหรับทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาคือ Hennie and Stearns [1966] พวกเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทของเครื่องจักรสองเทป ทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมของ Odifreddi อ้างถึงพวกเขาและ Hartmanis [1968] และอธิบายหลักฐานที่มีลักษณะคล้ายกับที่อยู่ในหนังสือของ Sipser

อย่างไรก็ตามการพิสูจน์สำหรับเทป TM เดี่ยวในกระดาษของ Hartmanis ไม่ได้ใช้การจำลองเพียงอย่างเดียว มันพิเศษระหว่างสองกรณี 1. เวลาทำงานเป็นอยู่และ 2. การเรียกใช้เวลาเป็น2)$\Omega(n^2)$$o(n^2)$

1. สำหรับกรณีแรกใช้การจำลองและดูเหมือนว่ามีใครสามารถกำจัด factor ได้หากการจำลองสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น$\lg$

2. สำหรับกรณีที่สองกระดาษให้ภาษาโดยตรงสำหรับการแยกและไม่ใช้การจำลองเลย สิ่งนี้ใช้คุณสมบัติเฉพาะของ TM เทปเดี่ยวพร้อมกับรันไทม์ย่อยกำลังสอง

หนึ่งควรทราบว่า TM เทปเดี่ยวที่มีเวลาไม่แข็งแรงและมีกำลังสองลดลง (เช่น Palindroms) ในเทปเดี่ยว TM ขณะที่เทปสอง TM สามารถแก้ปัญหาดังกล่าวได้ในเวลาเชิงเส้น$o(n^2)$

อย่างที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นเว้นแต่ว่าคุณจะมุ่งมั่นในโมเดล TM เทปเดี่ยวด้วยเหตุผลบางอย่างแม้ว่าเวลาจะเป็นกำลังสองย่อยไม่มีช่องว่างในการเติม แต่ทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลานั้นแน่นที่สุดเท่าที่จะทำได้

ป.ล. : ถ้าเราใช้หลายเทป TM นั่นคือเครื่องทัวริงในคลาสสามารถแก้ไขได้ แต่จำนวนเทปโดยพลการของFürerไม่สามารถใช้ได้

1. Martin Fürer, " ลำดับขั้นของเวลาที่ จำกัด ", 1982
2. Piergiorgio Odifreddi, "Classical Recursion Theory", vol. II, 1999 (หน้า 84)
3. Juris Hartmanis, " ความซับซ้อนในการคำนวณของเครื่องคำนวณทัวริงเทปเดียว ", 1968
4. FC Hennie และ RE Stearns, " การจำลองเทปสองมิติของเครื่องทัวริงมัลติทาสก์ ", 1966
5. Lance Fortnow และ Rahul Santhanam ของหนังสือพิมพ์ " ลำดับชั้นของเวลา: การสำรวจ ", 2007

$\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$$f$

$\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$$k$$k+1$$k$

$\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

ในความเป็นจริงเรามีดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท:สำหรับทุกๆและทุกๆของรูปแบบ (และ rational;หรือ ),(ฉ))$ε>0$$f$$n^a (\log n)^b$$a$$b$$a>1$$a=1∧b≥0$$\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

พิสูจน์: หากทุกภาษาที่มีอัลกอริทึมการตัดสินใจสามารถตัดสินใจได้ในเวลาจากนั้นโดยการเติมอินพุต, ทุกภาษาที่มีอัลกอริทึมการตัดสินใจสามารถตัดสินใจได้ในเวลา (โดยที่ได้รับการแก้ไข ) และทุก ๆ ค่าคงที่ ,ขัดแย้งกับทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา$O(f)$$O(f / (\log f)^ε)$$O(f(n) (\log f(n))^{kε})$$O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$$k≥0$$c≥0$$\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

อย่างไรก็ตามการพิสูจน์แบบไม่มีโครงสร้างนี้มีข้อ จำกัด สามประการ:
* การพิสูจน์ต้องใช้ให้มีความประพฤติดี (ไม่เพียง แต่สามารถสร้างเวลาได้ * เราไม่ทราบว่าภาษาใดภาษาหนึ่งที่อยู่ในแต่ไม่ได้อยู่ใน . สำหรับขนาดใหญ่พอ , แบบจำลองของ -tape เครื่องจักรทัวริงไม่ได้อยู่ในแต่เรายังไม่ได้ตัดออกไปว่าแม้สำหรับและอย่างน้อยนั้นคือ> BB (BB (1,000)) โดยที่ BB เป็นฟังก์ชันบีเวอร์ที่ยุ่ง * เราไม่ทราบว่าการรวมนั้นมีประสิทธิภาพ A$f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$$k$$k$$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$$ε=1$$f(n)=n^2$$k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$อัลกอริทึมจะล้มเหลวสำหรับอินพุตบางตัว แต่เรายังไม่ได้พิสูจน์ว่ามันล้มเหลวสำหรับอินพุตบางส่วนสำหรับทุกคน แต่มีขนาดอินพุตที่หลากหลายอย่างน่าทึ่ง ถ้ามันไม่ได้)