ทำไม P = NP ถึง P = AP ไม่ได้ (เช่น P = PSPACE)

มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าถ้าแล้วลำดับชั้นของพหุนามทรุดและ{}$\mathbf{P}=\mathbf{NP}$$\mathbf{P}=\mathbf{PH}$

สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้โดยง่ายโดยใช้เครื่อง oracle คำถามคือ - ทำไมเราไม่สามารถดำเนินกระบวนการอุปนัยเกินกว่าระดับคงที่และพิสูจน์ (aka )?$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(n^{O(1)})$$\mathbf{AP}=\mathbf{PSPACE}$

ฉันกำลังมองหาคำตอบที่ใช้งานง่าย

หลักฐานสำหรับ$\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(O(1))$ ( $=\mathbf{PH}$ ) คือการเหนี่ยวนำโดยใช้$\mathbf{P}=\mathbf{NP}$ P การเหนี่ยวนำแสดงให้เห็นว่าสำหรับจำนวน ธรรมชาติ$k$ , $\mathbf{P}=\mathbf{AltTime}(k)$ (และ$\mathbf{AltTime}(O(1))$ เป็นเพียงสหภาพของพวกเขา)

อุปนัยไม่ทำงานเมื่อจำนวนของการเปลี่ยนแปลงสามารถเปลี่ยนแปลงได้ด้วยขนาดอินพุต (เช่นเมื่อจำนวนตัวเลือกที่เป็นไปได้ของเครื่องไม่ใช่ตัวเลขแต่เป็นฟังก์ชั่นของขนาดอินพุตเช่นเราไม่ได้แสดงให้เห็นว่าการทำงานของเครื่อง ในอินพุตเดียวสามารถลดลงเป็นไม่มีการสลับเราแสดงให้เห็นว่าการประมวลผลของเครื่องในอินพุตทั้งหมดสามารถลดลง "สม่ำเสมอ" เป็นไม่มีการสลับ)

ลองดูข้อความที่คล้ายกัน แต่ง่ายกว่ากัน เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าการทำงานของตัวตนในที่สุดก็ครอบงำฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องทั้งหมด ( ฉ« กรัม IFF สำหรับทุกคน แต่หลายขีดn F ( n ) ≤ กรัม( n ) ) มันสามารถพิสูจน์ได้ว่าโดยการเหนี่ยวนำ สำหรับทุกk , k « n (เช่นฉk « ฉันวันที่ฉk ( n ) = $id(n)=n$$f \ll g$$n$ $f(n) \leq g(n)$$k$$k \ll n$$f_k \ll id$$f_k(n)=k$$n^2$$n^2 \not \ll n$

เปรียบเทียบลำดับชั้นพหุนามกับลำดับชั้นสำหรับการพิสูจน์เชิงโต้ตอบ ถ้าสำหรับk ที่ตายตัวบางตัวคุณมีk การสลับกันในการพิสูจน์แบบโต้ตอบ - IP ( k ) - ระดับความซับซ้อนที่เกิดขึ้นไม่มีอำนาจมากไปกว่าสิ่งที่คุณได้รับจากการสลับสองทาง - นั่นคือ IP ( k ) = IP (2) ) = AM (สมมติว่าk ≥2) อย่างไรก็ตามหากคุณอนุญาตให้มีการสลับจำนวนโพลิโนเมียลคุณจะได้รับระดับความซับซ้อนของ IP = PSPACE ซึ่งเชื่อว่าใหญ่กว่า AM มากคลาสจะมีอยู่ในΠ ₂ P ที่ระดับที่สองของลำดับชั้นพหุนาม ดังนั้นปรากฏการณ์นี้จึงเกิดขึ้นจริง (แม้ว่าจะไม่เท่าที่เราทราบด้วยลำดับชั้นพหุนาม)

สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการลดลงซึ่งใช้ปัญหาขนาดnใน IP ( k ) และเปลี่ยนเป็นปัญหาใน IP (2) ทำให้ขนาดของปัญหาใหญ่ขึ้นดังนั้นในขณะที่ IP เฉพาะ ( k ) ปัญหาใด ๆยังคงเป็นขนาดพหุนาม ถ้าคุณให้kแตกต่างกันการลดลงส่งผลให้ไม่ให้ปัญหาที่เป็นพหุนามในk

นี่คือสัญชาตญาณเล็กน้อยที่เกี่ยวข้องกับช่องว่างระหว่างการสลับคงที่และไม่ จำกัด : การดำเนินการพหุนามซ้ำจำนวนคงที่หลายครั้งคือพหุนาม แต่ซ้ำจำนวนพหุนามซ้ำหลายครั้งสามารถอธิบายได้ ตัวอย่างเช่นใช้การคูณซ้ำกับตัวเอง:

v = 2
for(i=1 to n)
  v = v*v

จำนวนการวนซ้ำเป็นเส้นตรงและเอาต์พุตเป็นเลขชี้กำลัง แต่ถ้าคุณแก้ไข n มันก็คือพหุนามกับขนาดของค่าเริ่มต้น

ด้านล่างฉันขยายจุดเล็กน้อยในคำตอบของปีเตอร์โดยพยายามกำจัดปริมาณสำหรับจำนวนขั้นตอนมากกว่าคงที่เพื่อดูว่ามันล้มเหลวและหากมีสิ่งใดที่สามารถกู้จากความพยายามดังกล่าว

ลองขยาย$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$มากกว่าจำนวนครั้งคงที่

สมมติว่า$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ P ดังนั้นจึงมีไทม์แมชชีนพหุนามที่แก้ Ext-Circuit-SAT (มีส่วนขยายที่น่าพอใจสำหรับวงจรที่กำหนดและการกำหนดบางส่วนให้กับอินพุตหรือไม่)

อย่างเป็นทางการมากขึ้นเรามีอัลกอริทึมแบบ polytime $A$พร้อมพหุนามเวลาทำงาน$p(n)\in\rm{poly}(n)$ st

รับบูลีนวงจร$\varphi$และการกำหนดค่าบางส่วน$\tau$ให้กับอินพุท
$A$จะคืนค่า "ใช่" ถ้ามีส่วนขยายของ$\tau$ที่สอดคล้องกับ$\varphi$และส่งคืน "ไม่"

เพื่อให้ผ่านช่วงเวลาคงที่เราต้องทำการกำจัดปริมาณอย่างมีประสิทธิภาพ เราสามารถทำสิ่งนี้ได้เพราะทฤษฎีบท Cook-Levin เป็นทฤษฎีที่สร้างสรรค์ในความเป็นจริงมันให้อัลกอริธึมเวลาพหุนาม$Cook$ st

กำหนด DTM $M$รับสองอินพุตและหมายเลขเอกภาพ$n$ , $m$ , และ$t$ ,
$Cook(M, n, m, t)$ส่งคืนวงจรบูลีนขนาด$O(t^2)$ที่จำลอง$M$บนอินพุตของความยาว$(n,m)$สำหรับขั้นตอน$t$

ลองใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อขยายการโต้แย้งสำหรับ$\mathsf{P}=\mathsf{PH}$เพื่อให้ได้อัลกอริทึมที่แก้ปัญหา TQBF (อันที่จริงแล้ว TQBCircuit เช่นปัญหาวงจรบูลีนทั้งหมด

แนวคิดของอัลกอริทึมมีดังนี้: เราใช้$Cook$บน$A$ซ้ำ ๆเพื่อลบปริมาณออกจากวงจรเชิงปริมาณที่กำหนด มีจำนวนเชิงเส้นของปริมาณที่มีดังนั้นเราจึงหวังที่จะได้รับอัลกอริทึมเวลาพหุนาม (เรามีขั้นตอนวิธีการที่มีหลายขั้นตอน polynomially ใช้เวลาพหุนามย่อย$Cook$ ) ในตอนท้ายของกระบวนการกำจัดปริมาณเราจะมีวงจรที่ไม่มีปริมาณซึ่งสามารถประเมินได้ในเวลาพหุนาม (ปัญหาค่าวงจรเป็น$\mathsf{P}$ , ให้$CV$เป็นอัลกอริทึมเวลาพหุนามในการคำนวณค่าวงจรของวงจรที่กำหนด) .

อย่างไรก็ตามเราจะเห็นว่าความคิดนี้ไม่ได้ผล (ด้วยเหตุผลเดียวกันที่ชี้ให้เห็นโดยปีเตอร์)

• ให้$\varphi$เป็นวงจรเชิงปริมาณ (เริ่มต้นกับสูตรที่ให้ปริมาณแล้ว)
• อนุญาต$k$จำนวนปริมาณในφ$\varphi$

• สำหรับ$i$ตั้งแต่$k$ถึง$1$ทำ

  • ให้$\psi$ = $Qx_k \sigma(x_1,...,x_k)$เป็นปริมาณที่ผ่านมาและส่วนปริมาณฟรี

  • หาก$Q = "\exists"$ ,

    1. Compute $C = Cook(A, |\sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$ ,
    2. แทนบิตการป้อนข้อมูลด้วย$\sigma$ในวงจร$C$ ,
    3. แทนที่$\psi$กับ$C$ในφ $\varphi$

  • หาก$Q = "\forall"$ ,

    1. พิจารณา$\psi$เป็น$\lnot \exists x_k \lnot \sigma$ ,
    2. Compute $C = Cook(A, |\lnot \sigma|, |x_1|+...+|x_k-1|, p)$ ,
    3. แทนบิตการป้อนข้อมูลที่มี$\lnot \sigma$ในวงจร$C$ ,
    4. แทนที่$\psi$กับ$\lnot C$ในφ$\varphi$
• Compute และผลตอบแทน$CV(\varphi)$ )

อัลกอริทึมที่ได้จะดูเวลาพหุนาม: เรามีพหุนามหลายขั้นตอนแต่ละขั้นตอนจะคำนวณเวลาพหุนาม อย่างไรก็ตามนี่ไม่ถูกต้องอัลกอริทึมไม่ใช่เวลาพหุนาม

การใช้รูทีนย่อยเวลาพหุนามในอัลกอริทึมเวลาพหุนามคือเวลาพหุนาม ปัญหาคือโดยทั่วไปสิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงหากค่าที่ส่งคืนโดยรูทีนย่อยไม่ได้มีขนาดพหุนามในอินพุตดั้งเดิมและเราถือว่าเราทำการมอบหมายเกี่ยวกับค่าที่ส่งคืนจากรูทีนย่อย (ในโมเดล TM เราต้องอ่านผลลัพธ์ของรูทีนย่อยเวลาพหุนามใด ๆ ทีละบิต) นี่ขนาดของค่าที่ส่งคืนจากอัลกอริทึม$Cook$กำลังเพิ่มขึ้น (อาจเป็นขนาดกำลังไฟฟ้าของอินพุตที่ป้อน พลังงานที่แน่นอนขึ้นอยู่กับเวลาในการทำงานของ$A$และประมาณ$p^2(|input|)$ดังนั้นตั้งแต่เรารู้ว่าไม่สามารถจะน้อยกว่าเส้นเวลา| o u t p u t | อย่างน้อยก็คือ| ฉันn p u t | 2 )$A$$|output|$$|input|^2$

ปัญหาคล้ายกับรหัสง่าย ๆ ด้านล่าง:

• ได้รับ$x$ ,
• ให้$n = |x|$,
• Let $y = x$ ,
• สำหรับ$i$ตั้งแต่$1$ถึง$n$ทำ
  • ปล่อยให้$y = y^{|y|}$, (เรียงต่อกันคือ$|y|$สำเนาของ$y$ )
• ส่งคืน y

ทุกครั้งที่เราดำเนินการ$y = y^{|y|}$เราตารางขนาดของปี$y$หลังจากการประมวลผล$n$เราจะมี$y$ซึ่งคือ$x^{2^n}$และมีขนาด$n2^n$แน่นอนว่าไม่ใช่พหุนามในขนาดของอินพุต

สมมติว่าเราพิจารณาเฉพาะสูตรเชิงปริมาณด้วยการสลับปริมาณ quantifier $k(n)$ (โดยที่$n$คือขนาดรวมของสูตรเชิงปริมาณ)

สมมติว่าวิ่งในเวลาพี (เช่นเส้นตรงเวลาที่ไม่ได้ตัดออกเพื่อให้ห่างไกล) และมีอาจจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นC o o kอัลกอริทึม outputting วงจรขนาดเล็กขนาดL ( T )ในสถานที่ของที2แล้วที่เราได้รับ อัลกอริทึมสำหรับ ExtCircuitSat ที่ทำงานในเวลา( l ∘ p ) O ( k ) ( n ) = l ( p ( l ( p ( … ( l ( p )$A$$p$$Cook$$l(t)$$t^2$$(l\circ p)^{O(k)}(n)=\underbrace{l(p(l(p(\dots(l(p(n)))))))}_{O(k)\mbox{ compositions}}$องค์ประกอบ แม้ในกรณีที่ว่าทั้งสอง$l$และ$p$เป็นเชิงเส้น ( แต่มีค่าสัมประสิทธิ์รวม≥2) เราจะได้รับอัลกอริทึมที่ทำงานในเวลาΩ(n2k(n))และถ้าk(n)=Θ(n)มัน จะเป็นΩ(n2n)$a\geq 2$$\Omega(n2^{k(n)})$$k(n) = \Theta(n)$$\Omega(n2^n)$ คล้ายกับอัลกอริธึมกำลังเดรัจฉาน (และแม้นี้จะขึ้นอยู่กับการสมมติว่า Cook-Levin สามารถดำเนินการกับอัลกอริทึมที่ทำให้เกิดวงจรขนาดเชิงเส้นในเวลาทำงานของอัลกอริทึม)

ฉันคิดว่านี่เป็นเพราะในแต่ละระดับของ PH จำนวนของการสลับจะเป็นค่าคงที่ (กล่าวคือเป็นอิสระจากขนาดอินพุต) ในขณะที่ AP จำนวนการสลับสามารถถูก จำกัด ได้